Questões Sobre o Descritor D09 - Matemática - 3º ano do ensino médio
D9: Relacionar a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas
1) Num sistema cartesiano, o ponto Q representa a intersecção das retas [tex]2x – y – 1 = 0[tex] e [tex]5x – y – 4 = 0[tex].
Quais são as coordenadas desse ponto Q?
- A) (1, 1)
- B) (–1, –1)
- C) (–1, 4)
- D) (2, 5)
- E) (5, 2)
A resposta correta é a letra A)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} 5x - y - 4 = 0 ×(-1)\\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -5x + y + 4 = 0 \\ 2x - y - 1 = 0 \end{cases} + [tex]
[tex] -3x + 3 = 0 [tex]
[tex] 3 = 3x [tex]
[tex] x = \frac{3}{3} = 1 [tex]
e,
[tex] 2x - y - 1 = 0 [tex]
[tex] 2 \cdot 1 - y - 1 = 0 [tex]
[tex] 2 - y - 1 = 0 [tex]
[tex] 1 = y [tex]
Logo, solução (1; 1). Portanto, opção A.
2) (SAEPE). As retas, cujas equações são [tex] 2x – 3y = 2 [tex] e [tex] x = – 2[tex], se interceptam no ponto
- A) (– 2, 2)
- B) (– 2, – 2)
- C) (2, – 2)
- D) (– 2, 0)
- E) (2, – 3)
A resposta correta é a letra B)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} 2x - 3y = 2 \\ x = -2 \end{cases} [tex]
Fazendo a substituição de [tex]x = -2[tex].
[tex] 2x - 3y = 2 [tex]
[tex] 2 \cdot (-2) - 2 = 3y [tex]
[tex] -4 - 2 = 3y [tex]
[tex] - 6 = 3y [tex]
[tex] y = \frac{-6}{3} = -2 [tex]
Logo, solução (-2; -2). Portanto, opção B.
3) Observe o gráfico representado na figura a seguir.
Nele o ponto é a intersecção das retas r e s, representadas respectivamente pelas equações [tex] y = 2x – \frac{3}{2} [tex] e [tex] y = -x + 6 [tex].
Com base nessas informações as coordenadas do ponto são aproximadamente
- A) (2,4; 2,6)
- B) (2,5; 3,5)
- C) (3,4; 3,6)
- D) (3,6; 3,4)
- E) (5,4; 5,6)
A resposta correta é a letra B)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} y = 2x - \frac{3}{2} ×(-1)\\ y = -x + 6 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -y = -2x + 1,5 \\ y = -x + 6 \end{cases} + [tex]
[tex] 0 = -3x + 7,5 [tex]
[tex] 3x = 7,5 [tex]
[tex] x = \frac{7,5}{3} = 2,5 [tex]
e,
[tex] y = -x + 6[tex]
[tex] y = -2,5 + 6 [tex]
[tex] y = 3,5 [tex]
Logo, solução (2,5; 3,5). Portanto, opção B.
4) As retas r: [tex]y = 2x[tex] e s: [tex]y = 3x – 9[tex] descrevem as trajetórias de dois aviões que levantaram voo de uma mesma pista, conforme indica o desenho abaixo.
As coordenadas do ponto P são
- A) (– 9, – 18)
- B) (0, – 9)
- C) (3, 0)
- D) (9, 18)
- E) (18, 9)
A resposta correta é a letra D)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} y = 2x ×(-1)\\ y = 3x - 9 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -y = -2x \\ y = 3x - 9 \end{cases} + [tex]
[tex] 0 = x - 9 [tex]
[tex] 9 = x [tex]
e,
[tex] y = 2x [tex]
[tex] y = 2 \cdot 9 [tex]
[tex] y = 18 [tex]
Logo, solução (9, 18). Portanto, opção D.
5) As duas retas a e b, representadas na figura abaixo, têm as seguintes equações:
O ponto P (m, n) é intersecção das duas retas. O valor de m – n é igual a:
- A) 1
- B) –2
- C) – 5
- D) – 7
- E) 5
A resposta correta é a letra C)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} y = x + 5 \\ y = -2x + 11 ×(-1)\end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} y = x + 5 \\ -y = 2x - 11 \end{cases} + [tex]
[tex] 0 = 3x -6 [tex]
[tex] 6 = 3x [tex]
[tex] x = \frac{6}{3} = 2 [tex]
e,
[tex] y = x + 5 [tex]
[tex] y = 2 + 5 [tex]
[tex] y = 7 [tex]
Logo, [tex]P(x, y) = P(m, n) = P(2, 7)[tex]. Então, [tex]m - n = 2 - 7 = -5[tex]
Logo, opção C.
6) Na figura, abaixo, estão representados um sistema de equações e os gráficos de duas retas.
Os valores de x e y para que o gráfico corresponda à solução do sistema são
- A) 12 e 2.
- B) – 9 e 6.
- C) – 6 e 4.
- D) – 36 e 6.
- E) – 12 e – 2.
A resposta correta é a letra C)
A solução de um sistema de equações é dado pelo ponto de intersecção entre as retas. Portanto, pelo gráfico, temos (-6, 4). Ou seja, x = -6 e y = 4.
Logo, opção C.
7) O ponto de interseção das retas de equações [tex]x + 3y – 1 = 0 [tex] e [tex]x – y + 3 = 0[tex] é:
- A) (1, -2).
- B) (-2, 1).
- C) (-1, -2).
- D) (-2, -1).
- E) (1, 2).
A resposta correta é a letra B)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} x + 3y -1 = 0 \\ x - y + 3 = 0 ×(3)\end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} x + 3y -1 = 0 \\ 3x - 3y + 9 = 0 \end{cases} + [tex]
[tex] 4x + 8 = 0 [tex]
[tex] 4x = -8 [tex]
[tex] x = \frac{-8}{4} = -2 [tex]
e,
[tex] x - y + 3 = 0 [tex]
[tex] -2 - y + 3 = 0 [tex]
[tex] 1 = y [tex]
Logo, solução (-2, 1). Portanto, opção B.
8) Na figura abaixo estão representadas as retas r, de equação [tex]y = –3x + b[tex], e a reta t, de equação [tex]y = ax + 1[tex].
A resolução do sistema formado por estas duas equações
- A) é dada por x = 2 e y = 3.
- B) é dada por x = –3 e y = 1.
- C) depende do valor de a e b.
- D) é dada por x = 3 e y = 2.
- E) é dada por x = 1 e y = 3.
A resposta correta é a letra A)
A solução de um sistema de equações é dado pelo ponto de intersecção entre as retas r e t. Portanto, pelo gráfico, temos (2, 3).
Logo, opção A.
9) Em um estacionamento há carros e motos num total de 12 veículos e 40 rodas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo.
Sabendo que “v” representa a reta de equação [tex]x + y = 12[tex] e “u” a reta de equação [tex]2x + 4y = 40[tex], onde x representa à quantidade de motos e y a quantidade de carros, a solução do sistema formado pelas equações de “u” e “v” é o par ordenado:
- A) (4, 8).
- B) (8, 4).
- C) (10, 5).
- D) (2, 10).
- E) (7, 7).
A resposta correta é a letra A)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} x + y = 12 ×(-2)\\ 2x + 4y = 40 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -2x - 2y = -24 \\ 2x + 4y = 40 \end{cases} + [tex]
[tex] 2y = 16 [tex]
[tex] y = \frac{16}{2} = 8 [tex]
e,
[tex] x + y = 12 [tex]
[tex] x + 8 = 12 [tex]
[tex] x = 12 - 8 = 4 [tex]
Logo, solução (4, 8). Portanto, opção A.
10) Um caixa eletrônico disponibiliza cédulas de R$ 20,00 e R$ 50,00. Um cliente sacou neste caixa um total de R$ 980,00, totalizando 25 cédulas. Essa situação está representada pelo gráfico abaixo.
Sabendo que [tex]r_{1}[tex] representa a reta de equação [tex] x + y = 25 [tex] e [tex]r_{2}[tex] a reta de equação [tex] 20x + 50y = 980 [tex], onde x representa a quantidade de cédulas de R$ 20,00 e y a quantidade de cédulas de R$ 50,00, a solução do sistema formado pelas equações de [tex]r_{1}[tex] e [tex]r_{2}[tex] é o par ordenado:
- A) (8, 17).
- B) (9, 16).
- C) (7, 18).
- D) (11, 14).
- E) (12, 13).
A resposta correta é a letra B)
Resolvendo o sistema de equações:
[tex] \begin{cases} x + y = 25 ×(-20)\\ 20x + 50y = 980 \end{cases} [tex]
[tex] \begin{cases} -20x - 20y = -500 \\ 20x + 50y = 980 \end{cases} + [tex]
[tex] 30y = 480 [tex]
[tex] y = \frac{480}{30} = 16 [tex]
e,
[tex] x + y = 25 [tex]
[tex] x + 16 = 25 [tex]
[tex] x = 25 - 16 = 9 [tex]
Logo, solução (9, 16). Portanto, opção B.