Questões Sobre o Descritor D10 - Matemática - 3º ano do ensino médio
D10: Reconhecer, dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências.
1) Observe no plano cartesiano abaixo a representação gráfica de uma circunferência de centro.
Qual é a equação dessa circunferência?
- A) (x – 4)² + (y – 3)² = 4
- B) (x – 4)² + (y – 3)² = 2
- C) (x – 3)² + (y – 4)² = 4
- D) x² + y² = 4
- E) x² + y² = 2
A resposta correta é a letra C)
Calcular a equação da circunferência de centro O(3, 4) e raio R = 2.
[tex] (x - x_{O})^{2} + (y - y_{O})^{2} = R^{2} [tex]
[tex] (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 2^{2} [tex]
[tex] (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4 [tex]
Logo, opção C.
2) A circunferência de centro T representada no plano cartesiano abaixo é tangente ao eixo x.
Qual é a equação dessa circunferência?
- A) (x – 2)² + (y – 3)² = 4
- B) (x + 3)² + (y + 2)² = 16
- C) (x + 3)² + (y + 2)² = 4
- D) (x + 2)² + (y + 3)² = 16
- E) (x – 3)² + (y – 2)² = 4
A resposta correta é a letra E)
Calcular a equação da circunferência de centro T(3, 2) e raio R = 2.
[tex] (x - x_{T})^{2} + (y - y_{T})^{2} = R^{2} [tex]
[tex] (x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 2^{2} [tex]
[tex] (x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4 [tex]
Logo, opção E.
3) Observe a circunferência no plano cartesiano abaixo.
Qual é a equação dessa circunferência?
- A) x² + y² = 1.
- B) x² + y² = 3.
- C) x² + y² = 6.
- D) x² + y² = 9.
- E) x² + y² = 27
A resposta correta é a letra D)
Calcular a equação da circunferência de centro C(0, 0) e raio R = 3.
[tex] (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = R^{2} [tex]
[tex] (x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 3^{2} [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} = 9 [tex]
Logo, opção D.
4) Observe a circunferência dada na figura abaixo.
Qual é a equação dessa circunferência?
- A) (x - 2)² + (y - 2)² = 8
- B) (x + 2)² + (y + 2)² = 8
- C) (x - 2)² + (y - 2)² = 4
- D) (x + 2)² + (y + 2)² = 4
- E) (x + 3)² + (y + 3)² = 9
A resposta correta é a letra A)
Cálculo do raio da circunferência que passa pelos pontos C(2, 2) e P(0, 0):
[tex] R = \sqrt{(x_{C} - x_{P})^{2} + (y_{C} - y_{P})^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{(2 - 0)^{2} + (2 - 0)^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{(2)^{2} + (2)^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{4 + 4} [tex]
[tex] R = \sqrt{8}[tex]
Agora, calcular a equação da circunferência de centro C(2, 2) e raio [tex] R = \sqrt{8}[tex] :
[tex] (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = R^{2} [tex]
[tex] (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = (\sqrt{8})^{2} [tex]
[tex] (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 8 [tex]
Logo, opção A.
5) A circunferência é uma figura constituída de infinitos pontos, que tem a seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto P(x, y), da circunferência até o seu centro C(a, b) é sempre igual ao seu raio R. A forma geral da circunferência é dada por: (x – a)² + (y – b)² = R². Assim, a equação da circunferência de centro na origem dos eixos e que passa pelo ponto (3, 4) é:
- A) x² + y² = 4
- B) x² + y² = 9
- C) x² + y² = 16
- D) x² + y² = 25
- E) x² + y² = 49
A resposta correta é a letra D)
Cálculo do raio da circunferência que passa pelos pontos C(0, 0) e P(3, 4):
[tex] R = \sqrt{(x_{C} - x_{P})^{2} + (y_{C} - y_{P})^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{(0 - 3)^{2} + (0 - 4)^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{(-3)^{2} + (-4)^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{9 + 16} [tex]
[tex] R = \sqrt{25} [tex]
[tex] R = 5 [tex]
Agora, calcular a equação da circunferência de centro C(0, 0) e raio R = 5 :
[tex] (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = R^{2} [tex]
[tex] (x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 5^{2} [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} = 25 [tex]
Logo, opção D.
6) Qual é a equação da circunferência de centro C(1,0) e raio r = 3?
- A) x² + y² - 2x - 8 = 0
- B) x² + y² + 2x - 8 = 0
- C) x² + y² - 2x - 5 = 0
- D) x² + y² + 2x - 5 = 0
- E) x² + y² - 9 = 0
A resposta correta é a letra A)
Calcular a equação da circunferência de centro C(1, 0) e raio R = 3 :
[tex] (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = R^{2} [tex]
[tex] (x - 1)^{2} + (y - 0)^{2} = 3^{2} [tex]
[tex] x^{2} - 2x + 1 + y^{2} = 9 [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} - 2x + 1 - 9 = 0 [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} - 2x - 8 = 0 [tex]
Logo, opção A.
7) Dentre as equações abaixo, pode-se afirmar que a de uma circunferência é:
- A) (x - 1)² + y² = 25
- B) x² - y - 4x = -3
- C) x² + y² = -16
- D) x² - y - 9 = 0
- E) x² - y - 9 = 0
A resposta correta é a letra A)
A equação da circunferência tem a forma [tex] (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = R^{2} [tex]
Sendo assim, a unica alternativa que satisfazem é a A. Pois, a alternativa C tem o raio negativo.
Logo, opção A.
8)
A equação da circunferência que passa pelo ponto (2, 0) e que tem centro no ponto (2, 3) é dada por:
- A) x² + y² – 4x – 6y + 4 = 0
- B) x² + y² – 4x – 9y – 4 = 0
- C) x² + y² – 2x – 3y + 4 = 0
- D) 3x² + 2y² – 2x – 3y – 4 = 0
- E) (x – 2)² + y² = 9
A resposta correta é a letra A)
Cálculo do raio da circunferência que passa pelos pontos C(2, 3) e P(2, 0):
[tex] R = \sqrt{(x_{C} - x_{P})^{2} + (y_{C} - y_{P})^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{(2 - 2)^{2} + (3 - 0)^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{(0)^{2} + (-3)^{2}} [tex]
[tex] R = \sqrt{9} [tex]
[tex] R = 3 [tex]
Agora, calcular a equação da circunferência de centro C(2, 3) e raio R = 3 :
[tex] (x - x_{C})^{2} + (y - y_{C})^{2} = R^{2} [tex]
[tex] (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 3^{2} [tex]
[tex] x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 6y + 9 = 9 [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 4 + 9 - 9 = 0 [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 4 = 0 [tex]
Logo, opção A.
9) Ao fazer uma planta de um canteiro de uma praça, um engenheiro determinou que, no sistema de coordenadas usado, tal pista deveria obedecer à equação:
[tex] x^{2} + y^{2} – 8x + 4y + 11 = 0 [tex]
Desse modo, os encarregados de executar a obra começaram a construção e notaram que se tratava de uma circunferência de:
- A) raio 3 e centro nos pontos de coordenadas (4, - 2).
- B) raio 4 e centro nos pontos de coordenadas (2, -4).
- C) raio 11 e centro nos pontos de coordenadas (–8, -4).
- D) raio 3 e centro nos pontos de coordenadas (2, 4).
- E) raio 4 e centro nos pontos de coordenadas (–2, 3).
A resposta correta é a letra A)
Transformando a equação geral da circunferência para a reduzida :
[tex] x^{2} + y^{2} - 8x + 4y + 11 = 0 [tex]
[tex] (x^{2} - 8x\ +\ ?) + (y^{2} + 4y\ +\ ?) = -11 [tex]
[tex] (x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = -11 + 16 + 4 [tex]
[tex] (x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 9 = R^{2} [tex]
Logo, a circunferência tem centro (4, -2) e raio: r = 3.
Logo, opção A.
10) João construiu, utilizando um programa de computador, a circunferência de centro P, conforme representado no plano cartesiano abaixo.
Qual é a representação algébrica dessa circunferência construída por João?
- A) x² + y² – 6x + 4y + 4 = 0
- B) x² + y² – 6x + 4y + 10 = 0
- C) x² + y² – 6x – 4y + 4 = 0
- D) x² + y² + 6x + 4y + 4 = 0
- E) x² + y² + 4 = 0
A resposta correta é a letra A)
Calcular a equação da circunferência de centro na origem C(3, -2) e raio 3:
[tex] (x - x_{C}) + (y - y_{C}) = R^{2} [tex]
[tex] (x - 3)^{2} + (y - (-2))^{2} = 3^{2} [tex]
[tex] (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 3^{2} [tex]
[tex] x^{2} - 6x + 9 + y^{2} + 4y + 4 = 9 [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 9 + 4 - 9 = 0 [tex]
[tex] x^{2} + y^{2} - 6x + 4y + 4 = 0 [tex]
Logo, opção A.