O número de diagonais (d) de um polígono é dado pela fórmula: [tex] d = \frac{n(n – 2)}{3} [tex], em que (n) representa o número de lados do polígono.
O número de lados de um polígono que tem 90 diagonais é
- A) 12
- B) 15
- C) 27
- D) 45
- E) 90
Resposta:
A resposta correta é a letra B)
Pode-se ser por tentativas: [tex] 90 = \frac{n(n - 3)}{2} \Rightarrow 180 = n(n - 3) [tex].
A) Para n = 12.
[tex] 180 = 12(12 - 3) \Rightarrow 180 = 12 \cdot 9 \Rightarrow 180 ≠ 108 [tex] (Falso)
B) Para n = 15.
[tex] 180 = 15(15 - 3) \Rightarrow 180 = 15 \cdot 12 \Rightarrow 180 = 180 [tex] (Verdadeiro)
C) Para t = 27.
[tex] 180 = 27(27 - 3) \Rightarrow 180 = 27 \cdot 24 \Rightarrow 180 ≠ 648 [tex] (Falso)
D) Para t = 45.
[tex] 180 = 45(45 - 3) \Rightarrow 180 = 45 \cdot 42 \Rightarrow 180 ≠ 1890 [tex] (Falso)
E) Para t = 90.
[tex] 180 = 90(90 - 3) \Rightarrow 180 = 90 \cdot 87 \Rightarrow 180 ≠ 7830 [tex] (Falso)
Logo, opção "B".
Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.
Então, encontrando a solução da equação [tex] 90 = \frac{n(n - 3)}{2} \Rightarrow n^{2} - 3n - 180 = 0 [tex].
[tex] a = 1,\ b = -3,\ c = -180 [tex]
[tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]
[tex] Δ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 [tex]
Agora, encontrando as raízes:
[tex] n = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-3)\ \pm\ \sqrt{729}}{2 \cdot 1} [tex]
[tex] n' = \frac{3\ + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15 [tex]
[tex] n'' = \frac{3\ - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]n > 0[tex]).
Logo, opção "B".
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