O número de diagonais (d) de um polígono é dado pela fórmula: [tex] d = \frac{n(n – 2)}{3} [tex], em que (n) representa o número de lados do polígono.

A resposta correta é a letra B)

Pode-se ser por tentativas: [tex] 90 = \frac{n(n - 3)}{2}   \Rightarrow   180 = n(n - 3) [tex].

A) Para n = 12.

  [tex] 180 = 12(12 - 3)   \Rightarrow   180 = 12 \cdot 9   \Rightarrow   180 ≠ 108 [tex] (Falso)

B) Para n = 15.

  [tex] 180 = 15(15 - 3)   \Rightarrow   180 = 15 \cdot 12   \Rightarrow   180 = 180 [tex] (Verdadeiro)

C) Para t = 27.

  [tex] 180 = 27(27 - 3)   \Rightarrow   180 = 27 \cdot 24   \Rightarrow   180 ≠ 648 [tex] (Falso)

D) Para t = 45.

  [tex] 180 = 45(45 - 3)   \Rightarrow   180 = 45 \cdot 42   \Rightarrow   180 ≠ 1890 [tex] (Falso)

E) Para t = 90.

  [tex] 180 = 90(90 - 3)   \Rightarrow   180 = 90 \cdot 87   \Rightarrow   180 ≠ 7830 [tex] (Falso)

Logo, opção "B".

Ou utilizando a fórmula resolutiva de Baskara.

Então, encontrando a solução da equação [tex] 90 = \frac{n(n - 3)}{2}   \Rightarrow   n^{2} - 3n - 180 = 0 [tex].

[tex] a = 1,\ b = -3,\ c = -180 [tex]

  [tex] Δ = b^{2} - 4ac [tex]

  [tex] Δ = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729 [tex]

Agora, encontrando as raízes:

  [tex] n = \frac{-b\ \pm\ \sqrt{Δ}}{2a} = \frac{-(-3)\ \pm\ \sqrt{729}}{2 \cdot 1} [tex]

  [tex] n' = \frac{3\ + 27}{2} = \frac{30}{2} = 15 [tex]

  [tex] n'' = \frac{3\ - 27}{2} = \frac{-24}{2} = -12 [tex] (Não convém, pois deve-se ter [tex]n > 0[tex]).

Logo, opção "B".