Questões Sobre o Descritor D22 - Matemática - 3º ano do ensino médio
D22: Resolver problema envolvendo P.A/P.G dada a fórmula do termo geral.
1) Em um rally de motociclismo com 13 etapas, Luiz percorreu 325 quilômetros na primeira etapa. Para conseguir ser o vencedor, ele teria que percorrer 28 quilômetros a mais em relação a cada etapa anterior até o final da competição. Luiz foi o vencedor desse rally.
- A) 336
- B) 364
- C) 661
- D) 689
- E) 717
A resposta correta é a letra C)
A questão trata-se de uma P.A. de razão 28. Logo:
325 - 353 - 381 - 409 - 437 - 465 - 493 - 521 - 549 - 577 - 605 - 633 - 661
ou
[tex] a_{13} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} =\ 325 [tex]
[tex] r = 28 [tex]
[tex] n =\ 13 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{13} = 325 + (13 - 1) \cdot 28 [tex]
[tex] a_{13} = 325 + 12 \cdot 28 [tex]
[tex] a_{13} = 325 + 336 [tex]
[tex] a_{13} = 661 [tex]
2) No meio de uma avenida movimentada, o motorista aciona os freios de seu automóvel. Após a freada, o automóvel percorre 24 metros no 1º segundo, 12 metros no 2º segundo, e assim por diante, percorrendo, em cada segundo, metade da distância que percorreu no segundo anterior.
- A) 15 metros.
- B) 21 metros.
- C) 27 metros.
- D) 42 metros.
- E) 45 metros.
A resposta correta é a letra E)
A questão trata-se de uma P.G. de razão [tex]\frac{1}{2}[tex]. Logo:
24 + 12 + 6 + 3 = 45 metros
ou
[tex] a_{4} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 24\ metros [tex]
[tex] a_{2} = 12\ metros [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{24}{12} = \frac{1}{2} [tex]
[tex] n =\ 4 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{4-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{3} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{8}) [tex]
[tex] a_{4} = \frac{24}{8} [tex]
[tex] a_{4} = 3\ m [tex]
Então, a distância total percorrida foi de:
[tex] S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{24\ \cdot\ ((\frac{1}{2})^{4} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{24\ \cdot\ (\frac{1}{16} - 1)}{-\frac{1}{2}} [tex]
[tex] S_{n} = -48\ \cdot\ (-\frac{15}{16}) [tex]
[tex] S_{n} = 45\ metros [tex]
3) No dia em que foi lançado um novo modelo de telefone celular, uma loja vendeu 1 024 aparelhos desse tipo. Em cada um dos nove dias seguintes, o número de aparelhos desse modelo que essa loja vendeu foi sempre igual à metade do que foi vendido no dia anterior.
- A) 2 040
- B) 2 044
- C) 2 046
- D) 2 048
- E) 2 096
A resposta correta é a letra C)
A questão trata-se de uma P.G. de razão [tex]\frac{1}{2}[tex]. Logo, em 10 dias serão vendidos:
1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 2046 telefones
ou
[tex] a_{10} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 1024\ telefones [tex]
[tex] a_{2} = 512\ telefones [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{512}{1024} = \frac{1}{2} [tex]
[tex] n =\ 10 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{10-1} [tex]
[tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{9} [tex]
[tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ \frac{1}{512} [tex]
[tex] a_{10} = \frac{1024}{512} [tex]
[tex] a_{10} = 2\ telefones [tex]
Então, o total de telefones vendidos foram:
[tex] S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{1024\ \cdot\ ((\frac{1}{2})^{10} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} [tex]
[tex] S_{n} = \frac{1024\ \cdot\ (\frac{1}{1024} - 1)}{-\frac{1}{2}} [tex]
[tex] S_{n} = -2048\ \cdot\ (-\frac{1023}{1024}) [tex]
[tex] S_{n} = 2\ \cdot\ 1023 [tex]
[tex] S_{n} = 2046\ telefones[tex]
4) Carol pegou uma folha de papel e cortou-a ao meio, obtendo 2 pedaços. Colocou um pedaço sobre o outro e cortou novamente ao meio, obtendo 4 pedaços. Repetiu o processo com mais um corte, obtendo 8 pedaços.
- A) 14
- B) 49
- C) 64
- D) 100
- E) 128
A resposta correta é a letra E)
A questão trata-se de uma P.G. de razão 2. Logo:
2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128
ou
Dados:
[tex] a_{7} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 2\ pedaços [tex]
[tex] a_{2} = 4\ pedaços [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{4}{2} = 2 [tex]
[tex] n =\ 7 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{7} = 2\ \cdot\ (2)^{7-1} [tex]
[tex] a_{7} = 2\ \cdot\ (2)^{6} [tex]
[tex] a_{7} = 2\ \cdot\ 64 [tex]
[tex] a_{7} = 128 [tex]
5) Numa festa, os balões estão arrumados em arranjos enfileirados de modo que, a partir do segundo, cada arranjo tenha 50 balões a mais do que o anterior. No 5º arranjo, há 600 balões.
- A) 110
- B) 170
- C) 250
- D) 350
- E) 400
A resposta correta é a letra E)
A questão trata-se de uma P.A. de razão 50. Logo:
400 - 450 - 500 - 550 - 600
ou
Dados:
[tex] a_{5} =\ 600\ balões [tex]
[tex] a_{1} =\ ? [tex]
[tex] r = 50\ balões [tex]
[tex] n =\ 5 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] 600 = a_{1} + (5 - 1) \cdot 50 [tex]
[tex] 600 = a_{1} + 4 \cdot 50 [tex]
[tex] 600 = a_{1} + 200 [tex]
[tex] 600 - 200 = a_{1} [tex]
[tex] a_{1} = 400 [tex]
6) Um atleta iniciou o treino para uma corrida percorrendo no primeiro dia 2 000 m; no segundo, 2200 m; no terceiro, 2400 m e assim por diante, obedecendo à sequência (2000, 2200, 2400, …).
- A) 2 600
- B) 3 600
- C) 3 800
- D) 4 000
- E) 4 400
A resposta correta é a letra C)
A questão trata-se de uma P.A. de razão 200. Logo:
2000 - 2200 - 2400 - 2600 - 2800 - 3000 - 3200 - 3400 - 3600 - 3800
ou
Dados:
[tex] a_{10} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} =\ 2000 [tex]
[tex] a_{2} =\ 2200 [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 2200 - 2000 = 200 [tex]
[tex] n =\ 10 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{10} = 2000 + (10 - 1) \cdot 200 [tex]
[tex] a_{10} = 2000 + 9 \cdot 200 [tex]
[tex] a_{10} = 2000 + 1800 [tex]
[tex] a_{10} = 3800 [tex]
7) Bianca está digitando seu trabalho de história no computador que ganhou de presente de aniversário. No primeiro dia, ela digitou 500 palavras, no segundo; 550 palavras e manteve esse ritmo de aumento até o quinto dia.
- A) 600.
- B) 700.
- C) 800.
- D) 900.
- E) 1000
A resposta correta é a letra B)
A questão trata-se de uma P.A. de razão 50. Logo:
500 - 550 - 600 - 650 - 700
ou
Dados:
[tex] a_{5} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 500\ palavras [tex]
[tex] a_{2} = 550\ palavras [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 550 - 500 = 50\ palavras [tex]
[tex] n =\ 5 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{5} = 500 + (5 - 1) \cdot 50 [tex]
[tex] a_{5} = 500 + 4 \cdot 50 [tex]
[tex] a_{5} = 500 + 200 [tex]
[tex] a_{5} = 700 [tex]
8) Em uma experiência, Pablo registra a amplitude da extensão de uma mola. No 1º segundo, ele registrou uma amplitude de 24 centímetros, no 2º segundo, uma amplitude de 12 centímetros, e, assim por diante, registrando, em cada segundo, a metade da amplitude registrada no segundo anterior.
- A) 3 centímetros.
- B) 6 centímetros.
- C) 12 centímetros.
- D) 36 centímetros.
- E) 45 centímetros.
A resposta correta é a letra A)
Como trata-se de uma P.G. de razão [tex] \frac{1}{2} [tex], o termo seguinte é a metade do anterior. Logo:
24 - 12 - 6 - 3
ou
A questão trata-se de uma P.G de razão [tex] \frac{1}{2} [tex].
Dados:
[tex] a_{4} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 24\ cm [tex]
[tex] a_{2} = 12\ cm [tex]
[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} [tex]
[tex] n =\ 4 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{4-1} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{3} [tex]
[tex] a_{4} = 24\ \cdot\ \frac{1}{8} [tex]
[tex] a_{4} = \frac{24}{8} [tex]
[tex] a_{4} = 3 [tex]
9) O diretor de uma escola resolveu melhorar sua biblioteca. Para tanto, pediu aos alunos que o ajudassem trazendo para a escola no primeiro mês 2 livros, no segundo mês 3 livros, no terceiro 4 livros e, assim, sucessivamente.
- A) 11
- B) 12
- C) 13
- D) 22
- E) 24
A resposta correta é a letra C)
A questão trata-se de uma P.A. de razão 1.
Podemos analisar da seguinte maneira:
2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13
ou
Dados:
[tex] a_{12} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 2\ livros [tex]
[tex] a_{2} = 3\ livros [tex]
[tex] r = a_{2} – a_{1} = 3 – 2 = 1\ livro [tex]
[tex] n =\ 12 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n – 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{10} = 2 + (12 – 1) \cdot 1 [tex]
[tex] a_{10} = 2 + 11 \cdot 1 [tex]
[tex] a_{10} = 2 + 11 [tex]
[tex] a_{10} = 13 [tex]
10) A empresa que realiza a manutenção nas rodovias estaduais do Norte do país, pintou as faixas de divisão das pistas após uma reforma. No primeiro dia de trabalho, a empresa pintou 5 km de faixa e nos dias subsequentes, sempre pintava 5 km a mais que no dia anterior até concluir o serviço.
- A) 90
- B) 95
- C) 100
- D) 105
- E) 125
A resposta correta é a letra D)
A questão trata-se de uma P.A.
Podemos analisar da seguinte maneira:
Total: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 105 km
ou
Dados:
[tex] a_{6} =\ ? [tex]
[tex] a_{1} = 5\ km [tex]
[tex] r = a_{2} - a_{1} = 10 - 5 = 5\ km [tex]
[tex] n =\ 6 [tex]
[tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]
[tex] a_{6} = 5 + (6 - 1) \cdot 5 [tex]
[tex] a_{6} = 5 + 5 \cdot 5 [tex]
[tex] a_{6} = 5 + 25 [tex]
[tex] a_{6} = 30 [tex]
Então, o total de quilômetros pintados até o 6° dia foi:
[tex] S_{6} = \frac{(a_{1}\ +\ a_{6})\ \cdot\ n}{2} [tex]
[tex] S_{6} = \frac{(5\ +\ 30)\ \cdot\ 6}{2} [tex]
[tex] S_{6} = \frac{35\ \cdot\ 6}{2} [tex]
[tex] S_{6} = \frac{210}{2} [tex]
[tex] S_{6} = 105\ km [tex]