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Questões Sobre o Descritor D22 - Matemática - 3º ano do ensino médio

D22: Resolver problema envolvendo P.A/P.G dada a fórmula do termo geral.

1)     Em um rally de motociclismo com 13 etapas, Luiz percorreu 325 quilômetros na primeira etapa. Para conseguir ser o vencedor, ele teria que percorrer 28 quilômetros a mais em relação a cada etapa anterior até o final da competição. Luiz foi o vencedor desse rally.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])

Quantos quilômetros ele percorreu na décima terceira etapa?

  • A) 336
  • B) 364
  • C) 661
  • D) 689
  • E) 717
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra C)

A questão trata-se de uma P.A. de razão 28. Logo:

325 - 353 - 381 - 409 - 437 - 465 - 493 - 521 - 549 - 577 - 605 - 633 - 661

ou


[tex] a_{13} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} =\ 325 [tex]

[tex] r = 28 [tex]

[tex] n =\ 13 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]

      [tex] a_{13} = 325 + (13 - 1) \cdot 28 [tex]

      [tex] a_{13} = 325 + 12 \cdot 28 [tex]

      [tex] a_{13} = 325 + 336 [tex]

      [tex] a_{13} = 661 [tex]

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2)     No meio de uma avenida movimentada, o motorista aciona os freios de seu automóvel. Após a freada, o automóvel percorre 24 metros no 1º segundo, 12 metros no 2º segundo, e assim por diante, percorrendo, em cada segundo, metade da distância que percorreu no segundo anterior.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1}  e  S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} – 1)}{q – 1} [tex])

A distância total a ser percorrida no tempo de 4 segundos após a freada será de

  • A) 15 metros.
  • B) 21 metros.
  • C) 27 metros.
  • D) 42 metros.
  • E) 45 metros.
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra E)

A questão trata-se de uma P.G. de razão [tex]\frac{1}{2}[tex]. Logo:

24 + 12 + 6 + 3 = 45 metros

ou


[tex] a_{4} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} = 24\ metros [tex]

[tex] a_{2} = 12\ metros [tex]

[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{24}{12} = \frac{1}{2} [tex]

[tex] n =\ 4 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]

      [tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{4-1} [tex]

      [tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{3} [tex]

      [tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{8}) [tex]

      [tex] a_{4} = \frac{24}{8} [tex]

      [tex] a_{4} = 3\ m [tex]

Então, a distância total percorrida foi de:

      [tex] S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex]

      [tex] S_{n} = \frac{24\ \cdot\ ((\frac{1}{2})^{4} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} [tex]

      [tex] S_{n} = \frac{24\ \cdot\ (\frac{1}{16} - 1)}{-\frac{1}{2}} [tex]

      [tex] S_{n} = -48\ \cdot\ (-\frac{15}{16}) [tex]

      [tex] S_{n} = 45\ metros [tex]

3)     No dia em que foi lançado um novo modelo de telefone celular, uma loja vendeu 1 024 aparelhos desse tipo. Em cada um dos nove dias seguintes, o número de aparelhos desse modelo que essa loja vendeu foi sempre igual à metade do que foi vendido no dia anterior.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1}  e  S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} – 1)}{q – 1} [tex])

No total, quantos aparelhos desse modelo essa loja vendeu nesses dez dias?

  • A) 2 040
  • B) 2 044
  • C) 2 046
  • D) 2 048
  • E) 2 096
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra C)

A questão trata-se de uma P.G. de razão [tex]\frac{1}{2}[tex]. Logo, em 10 dias serão vendidos:

1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 2046 telefones

ou


[tex] a_{10} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} = 1024\ telefones [tex]

[tex] a_{2} = 512\ telefones [tex]

[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{512}{1024} = \frac{1}{2} [tex]

[tex] n =\ 10 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]

      [tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{10-1} [tex]

      [tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{9} [tex]

      [tex] a_{10} = 1024\ \cdot\ \frac{1}{512} [tex]

      [tex] a_{10} = \frac{1024}{512} [tex]

      [tex] a_{10} = 2\ telefones [tex]

Então, o total de telefones vendidos foram:

      [tex] S_{n} = \frac{a_{1}\ \cdot\ (q^{n} - 1)}{q - 1} [tex]

      [tex] S_{n} = \frac{1024\ \cdot\ ((\frac{1}{2})^{10} - 1)}{\frac{1}{2} - 1} [tex]

      [tex] S_{n} = \frac{1024\ \cdot\ (\frac{1}{1024} - 1)}{-\frac{1}{2}} [tex]

      [tex] S_{n} = -2048\ \cdot\ (-\frac{1023}{1024}) [tex]

      [tex] S_{n} = 2\ \cdot\ 1023 [tex]

      [tex] S_{n} = 2046\ telefones[tex]

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4)     Carol pegou uma folha de papel e cortou-a ao meio, obtendo 2 pedaços. Colocou um pedaço sobre o outro e cortou novamente ao meio, obtendo 4 pedaços. Repetiu o processo com mais um corte, obtendo 8 pedaços.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1}[tex])

Continuando dessa forma, quantos pedaços de papel Carol terá após fazer 7 cortes?

  • A) 14
  • B) 49
  • C) 64
  • D) 100
  • E) 128
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra E)

A questão trata-se de uma P.G. de razão 2. Logo:

2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128

ou


Dados:

[tex] a_{7} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} = 2\ pedaços [tex]

[tex] a_{2} = 4\ pedaços [tex]

[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{4}{2} = 2 [tex]

[tex] n =\ 7 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]

      [tex] a_{7} = 2\ \cdot\ (2)^{7-1} [tex]

      [tex] a_{7} = 2\ \cdot\ (2)^{6} [tex]

      [tex] a_{7} = 2\ \cdot\ 64 [tex]

      [tex] a_{7} = 128 [tex]

5)     Numa festa, os balões estão arrumados em arranjos enfileirados de modo que, a partir do segundo, cada arranjo tenha 50 balões a mais do que o anterior. No 5º arranjo, há 600 balões.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])

Quantos balões há no primeiro arranjo?

  • A) 110
  • B) 170
  • C) 250
  • D) 350
  • E) 400
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra E)

A questão trata-se de uma P.A. de razão 50. Logo:

400 - 450 - 500 - 550 - 600

ou


Dados:

[tex] a_{5} =\ 600\ balões [tex]

[tex] a_{1} =\ ? [tex]

[tex] r = 50\ balões [tex]

[tex] n =\ 5 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]

      [tex] 600 = a_{1} + (5 - 1) \cdot 50 [tex]

      [tex] 600 = a_{1} + 4 \cdot 50 [tex]

      [tex] 600 = a_{1} + 200 [tex]

      [tex] 600 - 200 = a_{1} [tex]

      [tex] a_{1} = 400 [tex]

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6)     Um atleta iniciou o treino para uma corrida percorrendo no primeiro dia 2 000 m; no segundo, 2200 m; no terceiro, 2400 m e assim por diante, obedecendo à sequência (2000, 2200, 2400, …).

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])

Quantos metros ele percorrerá no 10º dia?

  • A) 2 600
  • B) 3 600
  • C) 3 800
  • D) 4 000
  • E) 4 400
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra C)

A questão trata-se de uma P.A. de razão 200. Logo:

2000 - 2200 - 2400 - 2600 - 2800 - 3000 - 3200 - 3400 - 3600 - 3800

ou


Dados:

[tex] a_{10} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} =\ 2000 [tex]

[tex] a_{2} =\ 2200 [tex]

[tex] r = a_{2} - a_{1} = 2200 - 2000 = 200 [tex]

[tex] n =\ 10 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]

      [tex] a_{10} = 2000 + (10 - 1) \cdot 200 [tex]

      [tex] a_{10} = 2000 + 9 \cdot 200 [tex]

      [tex] a_{10} = 2000 + 1800 [tex]

      [tex] a_{10} = 3800 [tex]

7)     Bianca está digitando seu trabalho de história no computador que ganhou de presente de aniversário. No primeiro dia, ela digitou 500 palavras, no segundo; 550 palavras e manteve esse ritmo de aumento até o quinto dia.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])

Então, a quantidade de palavras que Bianca digitou no quinto dia foi de

  • A) 600.
  • B) 700.
  • C) 800.
  • D) 900.
  • E) 1000
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra B)

A questão trata-se de uma P.A. de razão 50. Logo:

500 - 550 - 600 - 650 - 700

ou


Dados:

[tex] a_{5} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} = 500\ palavras [tex]

[tex] a_{2} = 550\ palavras [tex]

[tex] r = a_{2} - a_{1} = 550 - 500 = 50\ palavras [tex]

[tex] n =\ 5 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]

      [tex] a_{5} = 500 + (5 - 1) \cdot 50 [tex]

      [tex] a_{5} = 500 + 4 \cdot 50 [tex]

      [tex] a_{5} = 500 + 200 [tex]

      [tex] a_{5} = 700 [tex]

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8)     Em uma experiência, Pablo registra a amplitude da extensão de uma mola. No 1º segundo, ele registrou uma amplitude de 24 centímetros, no 2º segundo, uma amplitude de 12 centímetros, e, assim por diante, registrando, em cada segundo, a metade da amplitude registrada no segundo anterior.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1}[tex])

A amplitude registrada no 4° segundo foi de

  • A) 3 centímetros.
  • B) 6 centímetros.
  • C) 12 centímetros.
  • D) 36 centímetros.
  • E) 45 centímetros.
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra A)

Como trata-se de uma P.G. de razão [tex] \frac{1}{2} [tex], o termo seguinte é a metade do anterior. Logo:

24 - 12 - 6 - 3


ou

A questão trata-se de uma P.G de razão [tex] \frac{1}{2} [tex].

Dados:

[tex] a_{4} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} = 24\ cm [tex]

[tex] a_{2} = 12\ cm [tex]

[tex] q = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} [tex]

[tex] n =\ 4 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1}\ \cdot\ q^{n-1} [tex]

      [tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{4-1} [tex]

      [tex] a_{4} = 24\ \cdot\ (\frac{1}{2})^{3} [tex]

      [tex] a_{4} = 24\ \cdot\ \frac{1}{8} [tex]

      [tex] a_{4} = \frac{24}{8} [tex]

      [tex] a_{4} = 3 [tex]

9)     O diretor de uma escola resolveu melhorar sua biblioteca. Para tanto, pediu aos alunos que o ajudassem trazendo para a escola no primeiro mês 2 livros, no segundo mês 3 livros, no terceiro 4 livros e, assim, sucessivamente.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])

Quantos livros os alunos deveriam trazer no décimo segundo mês?

  • A) 11
  • B) 12
  • C) 13
  • D) 22
  • E) 24
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra C)

A questão trata-se de uma P.A. de razão 1.

Podemos analisar da seguinte maneira:

2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13

ou


Dados:

[tex] a_{12} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} = 2\ livros [tex]

[tex] a_{2} = 3\ livros [tex]

[tex] r = a_{2} - a_{1} = 3 - 2 = 1\ livro [tex]

[tex] n =\ 12 [tex]

     [tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]

      [tex] a_{10} = 2 + (12 - 1) \cdot 1 [tex]

      [tex] a_{10} = 2 + 11 \cdot 1 [tex]

      [tex] a_{10} = 2 + 11 [tex]

      [tex] a_{10} = 13 [tex]

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10)     A empresa que realiza a manutenção nas rodovias estaduais do Norte do país, pintou as faixas de divisão das pistas após uma reforma. No primeiro dia de trabalho, a empresa pintou 5 km de faixa e nos dias subsequentes, sempre pintava 5 km a mais que no dia anterior até concluir o serviço.

(Se necessário use: [tex] a_{n} = a_{1} + (n -1) \cdot r [tex])

Quantos quilômetros no total foram pintados até o final do sexto dia de serviço?

  • A) 90
  • B) 95
  • C) 100
  • D) 105
  • E) 125
FAZER COMENTÁRIO

A resposta correta é a letra D)

A questão trata-se de uma P.A.

Podemos analisar da seguinte maneira:

Total: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 105 km

ou


Dados:

[tex] a_{6} =\ ? [tex]

[tex] a_{1} = 5\ km [tex]

[tex] r = a_{2} - a_{1} = 10 - 5 = 5\ km [tex]

[tex] n =\ 6 [tex]

      [tex] a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r [tex]

      [tex] a_{6} = 5 + (6 - 1) \cdot 5 [tex]

      [tex] a_{6} = 5 + 5 \cdot 5 [tex]

      [tex] a_{6} = 5 + 25 [tex]

      [tex] a_{6} = 30 [tex]

Então, o total de quilômetros pintados até o 6° dia foi:

      [tex] S_{6} = \frac{(a_{1}\ +\ a_{6})\ \cdot\ n}{2} [tex]

      [tex] S_{6} = \frac{(5\ +\ 30)\ \cdot\ 6}{2} [tex]

      [tex] S_{6} = \frac{35\ \cdot\ 6}{2} [tex]

      [tex] S_{6} = \frac{210}{2} [tex]

      [tex] S_{6} = 105\ km [tex]

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