Questões Sobre o Descritor D10 - Matemática - 9º ano
D10: Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos.
1) A figura abaixo mostra a estrutura de metal que sustenta o telhado de uma residência. Devido à presença da caixa d’água, as peças são cortadas com dois metros de comprimento e colocadas a meia distância das extremidades A e C da laje. Assim, ABD é um triângulo retângulo de catetos com três metros e dois metros.
O comprimento da peça de metal com extremidades em A e B é aproximadamente de
- A) 3 metros.
- B) 3,6 metros.
- C) 4,6 metros.
- D) 2,7 metros.
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular o comprimento da peça AB no triângulo ABD (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] (AB)^{2} = (AD)^{2} + (BD)^{2} [tex]
[tex] (AB)^{2} = 3^{2} + 2^{2} [tex]
[tex] (AB)^{2} = 9 + 4 [tex]
[tex] AB = \sqrt{13} [tex]
[tex] AB\ \cong\ 3,6\ m [tex]
Portanto, opção B.
2) Um portão retangular com barras de metal teve sua estrutura reforçada por barras metálicas mais resistentes, formando um triângulo retângulo, conforme representado no desenho abaixo.
O comprimento da barra PM, em metros, é, aproximadamente,
- A) 2,04
- B) 3,70
- C) 4,05
- D) 4,70
A resposta correta é a letra C)
Primeiro, calcular a altura do portão (PH).
[tex] (PH)^{2} = m \cdot n [tex]
[tex] (PH)^{2} = NH \cdot HM [tex]
[tex] (PH)^{2} = 1,2 \cdot 3,5 [tex]
[tex] PH = \sqrt{4,2} [tex]
[tex] PH\ \cong\ 2,05 [tex]
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a distância PM, do triângulo PMH (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] (PM)^{2} = (PH)^{2} + (HM)^{2} [tex]
[tex] (PM)^{2} = (2,05)^{2} + (3,5)^{2} [tex]
[tex] (PM)^{2} = 4,2025 + 12,25 [tex]
[tex] PM = \sqrt{16,4525} [tex]
[tex] a = 4,05\ m [tex]
Portanto, opção C.
3) Ao avistar um ninho de pombinhos no alto de um poste de 6 m de altura, um ciclista parou a uma distância de 6 m do poste para visualizar o ninho, conforme ilustra o desenho abaixo.
A distância “x” do ninho até o ciclista é igual a
- A) 5,7 m
- B) 6,0 m
- C) 7,5 m
- D) 10,5 m
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a distância x (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 6^{2} + (6\ -\ 1,5)^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 36 + (4,5)^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 36 + 20,25 [tex]
[tex] a = \sqrt{56,25} [tex]
[tex] a = 7,5\ m [tex]
Portanto, opção C.
4) Paulo queria saber a altura do prédio onde mora. Ele se lembrou da aula que teve sobre semelhança de triângulos e resolveu fazer um experimento: em uma determinada hora do dia percebeu que uma régua de 30 cm, apoiada verticalmente no chão, formava pelo sol uma sombra de 15 cm. No mesmo instante mediu com uma fita métrica a sombra formada pelo seu prédio e percebeu que dava 10 metros, conforme mostra a figura.
Assim, calculou que a altura do prédio seria de:
- A) 20 m.
- B) 35 m.
- C) 40 m.
- D) 55 m.
A resposta correta é a letra A)
Utilizando semelhança de triângulo:
[tex] \frac{altura_{(prédio)}}{altura_{(régua)}} = \frac{Sombra_{(prédio)}}{Sombra_{(régua)}}[tex]
[tex] \frac{h}{0,3\ m} = \frac{10\ m}{0,15\ m}[tex]
[tex] 0,15h = 3[tex]
[tex] h = \frac{3}{0,15}[tex]
[tex] h = 20\ m [tex]
Portanto, opção A.
5) Observe a figura a seguir:
Será que uma escada com 7 m, apoiada numa parede, permitirá subir exatamente a uma altura de 6 m, se a sua base estiver a 4 m da parede?
- A) Sim, dá exatamente.
- B) Não, a escada deve ter 10 metros.
- C) Não, a escada deveria ser um pouco menor.
- D) Não, a escada deveria ser um pouco maior.
A resposta correta é a letra D)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento da ESCADA (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 4^{2} + 7^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 16 + 49 [tex]
[tex] a^{2} = 65 [tex]
[tex] a = \sqrt{65} [tex]
[tex] a \cong 8,06\ m [tex]
Portanto, opção D.
6) A Marta está a brincar com um papagaio.
Sabendo que o papagaio se encontra a 7 metros de altura e que a Marta está a 24 metros de distância da sombra do papagaio, indica quanto mede o fio que o segura.
- A) O fio mede 23 metros
- B) O fio mede 25 metros
- C) O fio mede 31 metros
- D) O fio mede 35 metros
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento do fio (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 24^{2} + 7^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 576 + 49 [tex]
[tex] a^{2} = 625 [tex]
[tex] a = \sqrt{625} [tex]
[tex] a = 25\ m [tex]
Portanto, opção B.
7) A altura de uma árvore é 7 m. Será fixada uma escada a 1 m de sua base para que um homem possa podar os seus galhos.
Qual o menor comprimento que esta escada deverá ter?
- A) [tex] 2\sqrt{3} [tex]
- B) [tex] 4\sqrt{3} [tex]
- C) [tex] 5\sqrt{2} [tex]
- D) [tex] 7\sqrt{2} [tex]
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do menor comprimento dessa escada (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 7^{2} + 1^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 49 + 1 [tex]
[tex] a^{2} = 50 [tex]
[tex] a = \sqrt{50} [tex]
[tex] a = \sqrt{2 \cdot 25} [tex]
[tex] a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{25}[tex]
[tex] a = 5\sqrt{2}\ m [tex]
Portanto, opção C.
8) Observe a figura a seguir:
A medida da diagonal D de um quadrado de lado x é
- A) [tex] \frac{x}{2} [tex]
- B) [tex] x [tex]
- C) [tex] x\sqrt{2} [tex]
- D) [tex] 3x [tex]
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida da diagonal D - (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = x^{2} + x^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 2x^{2} [tex]
[tex] a = \sqrt{2x^{2}} [tex]
[tex] a = x\sqrt{2} [tex]
Portanto, opção C.
9) Uma formiga saiu do ponto A passou em B e chegou em C, como mostra a figura abaixo.
A distância que ela ficou do ponto A é
- A) 35 cm
- B) 25 cm
- C) 20 cm
- D) 15 cm
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida da distância AC (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 20^{2} + 15^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 400 + 225 [tex]
[tex] a^{2} = 625 [tex]
[tex] a = \sqrt{625} [tex]
[tex] a = 25\ m [tex]
Portanto, opção B.
10) A figura, abaixo, mostra um portão feito com barras de ferro. Para garantir sua rigidez, foi colocada uma barra de apoio.
Qual a medida dessa barra de apoio?
- A) 2,5 m
- B) 3,9 m
- C) 4,1 m
- D) 4,5 m
A resposta correta é a letra A)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida dessa barra de apoio (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 2^{2} + (1,5)^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 4 + 2,25 [tex]
[tex] a^{2} = 6,25 [tex]
[tex] a = \sqrt{6,25} [tex]
[tex] a = 2,5\ m [tex]
Portanto, opção A.