Questões Sobre o Descritor D10 - Matemática - 9º ano
D10: Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas significativos.
1) A figura abaixo mostra a estrutura de metal que sustenta o telhado de uma residência. Devido à presença da caixa d’água, as peças são cortadas com dois metros de comprimento e colocadas a meia distância das extremidades A e C da laje. Assim, ABD é um triângulo retângulo de catetos com três metros e dois metros.
- A) 3 metros.
- B) 3,6 metros.
- C) 4,6 metros.
- D) 2,7 metros.
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular o comprimento da peça AB no triângulo ABD (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] (AB)^{2} = (AD)^{2} + (BD)^{2} [tex]
[tex] (AB)^{2} = 3^{2} + 2^{2} [tex]
[tex] (AB)^{2} = 9 + 4 [tex]
[tex] AB = \sqrt{13} [tex]
[tex] AB\ \cong\ 3,6\ m [tex]
Portanto, opção B.
2) Um portão retangular com barras de metal teve sua estrutura reforçada por barras metálicas mais resistentes, formando um triângulo retângulo, conforme representado no desenho abaixo.
- A) 2,04
- B) 3,70
- C) 4,05
- D) 4,70
A resposta correta é a letra C)
Primeiro, calcular a altura do portão (PH).
[tex] (PH)^{2} = m \cdot n [tex]
[tex] (PH)^{2} = NH \cdot HM [tex]
[tex] (PH)^{2} = 1,2 \cdot 3,5 [tex]
[tex] PH = \sqrt{4,2} [tex]
[tex] PH\ \cong\ 2,05 [tex]
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a distância PM, do triângulo PMH (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] (PM)^{2} = (PH)^{2} + (HM)^{2} [tex]
[tex] (PM)^{2} = (2,05)^{2} + (3,5)^{2} [tex]
[tex] (PM)^{2} = 4,2025 + 12,25 [tex]
[tex] PM = \sqrt{16,4525} [tex]
[tex] a = 4,05\ m [tex]
Portanto, opção C.
3) Ao avistar um ninho de pombinhos no alto de um poste de 6 m de altura, um ciclista parou a uma distância de 6 m do poste para visualizar o ninho, conforme ilustra o desenho abaixo.
- A) 5,7 m
- B) 6,0 m
- C) 7,5 m
- D) 10,5 m
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a distância x (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 6^{2} + (6\ -\ 1,5)^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 36 + (4,5)^{2} [tex]
[tex] x^{2} = 36 + 20,25 [tex]
[tex] a = \sqrt{56,25} [tex]
[tex] a = 7,5\ m [tex]
Portanto, opção C.
4) Paulo queria saber a altura do prédio onde mora. Ele se lembrou da aula que teve sobre semelhança de triângulos e resolveu fazer um experimento: em uma determinada hora do dia percebeu que uma régua de 30 cm, apoiada verticalmente no chão, formava pelo sol uma sombra de 15 cm. No mesmo instante mediu com uma fita métrica a sombra formada pelo seu prédio e percebeu que dava 10 metros, conforme mostra a figura.
- A) 20 m.
- B) 35 m.
- C) 40 m.
- D) 55 m.
A resposta correta é a letra A)
Utilizando semelhança de triângulo:
[tex] \frac{altura_{(prédio)}}{altura_{(régua)}} = \frac{Sombra_{(prédio)}}{Sombra_{(régua)}}[tex]
[tex] \frac{h}{0,3\ m} = \frac{10\ m}{0,15\ m}[tex]
[tex] 0,15h = 3[tex]
[tex] h = \frac{3}{0,15}[tex]
[tex] h = 20\ m [tex]
Portanto, opção A.
5) Observe a figura a seguir:
- A) Sim, dá exatamente.
- B) Não, a escada deve ter 10 metros.
- C) Não, a escada deveria ser um pouco menor.
- D) Não, a escada deveria ser um pouco maior.
A resposta correta é a letra D)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento da ESCADA (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 4^{2} + 7^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 16 + 49 [tex]
[tex] a^{2} = 65 [tex]
[tex] a = \sqrt{65} [tex]
[tex] a \cong 8,06\ m [tex]
Portanto, opção D.
6) A Marta está a brincar com um papagaio.
- A) O fio mede 23 metros
- B) O fio mede 25 metros
- C) O fio mede 31 metros
- D) O fio mede 35 metros
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do comprimento do fio (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 24^{2} + 7^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 576 + 49 [tex]
[tex] a^{2} = 625 [tex]
[tex] a = \sqrt{625} [tex]
[tex] a = 25\ m [tex]
Portanto, opção B.
7) A altura de uma árvore é 7 m. Será fixada uma escada a 1 m de sua base para que um homem possa podar os seus galhos.
- A) [tex] 2\sqrt{3} [tex]
- B) [tex] 4\sqrt{3} [tex]
- C) [tex] 5\sqrt{2} [tex]
- D) [tex] 7\sqrt{2} [tex]
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida do menor comprimento dessa escada (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 7^{2} + 1^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 49 + 1 [tex]
[tex] a^{2} = 50 [tex]
[tex] a = \sqrt{50} [tex]
[tex] a = \sqrt{2 \cdot 25} [tex]
[tex] a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{25}[tex]
[tex] a = 5\sqrt{2}\ m [tex]
Portanto, opção C.
8) Observe a figura a seguir:
- A) [tex] \frac{x}{2} [tex]
- B) [tex] x [tex]
- C) [tex] x\sqrt{2} [tex]
- D) [tex] 3x [tex]
A resposta correta é a letra C)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida da diagonal D - (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = x^{2} + x^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 2x^{2} [tex]
[tex] a = \sqrt{2x^{2}} [tex]
[tex] a = x\sqrt{2} [tex]
Portanto, opção C.
9) Uma formiga saiu do ponto A passou em B e chegou em C, como mostra a figura abaixo.
- A) 35 cm
- B) 25 cm
- C) 20 cm
- D) 15 cm
A resposta correta é a letra B)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida da distância AC (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 20^{2} + 15^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 400 + 225 [tex]
[tex] a^{2} = 625 [tex]
[tex] a = \sqrt{625} [tex]
[tex] a = 25\ m [tex]
Portanto, opção B.
10) A figura, abaixo, mostra um portão feito com barras de ferro. Para garantir sua rigidez, foi colocada uma barra de apoio.
- A) 2,5 m
- B) 3,9 m
- C) 4,1 m
- D) 4,5 m
A resposta correta é a letra A)
Aplicando o Teorema de Pitágoras, para calcular a medida dessa barra de apoio (hipotenusa):
[tex] a^{2} = b^{2} + c^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 2^{2} + (1,5)^{2} [tex]
[tex] a^{2} = 4 + 2,25 [tex]
[tex] a^{2} = 6,25 [tex]
[tex] a = \sqrt{6,25} [tex]
[tex] a = 2,5\ m [tex]
Portanto, opção A.