Questões Sobre o Descritor D31 - Matemática - 9º ano
D31: Resolver problema que envolva equação de segundo grau.
1) Observe a seguir a equação matemática que modela o movimento de queda livre dos corpos. Nessa equação, d representa a distância percorrida pelo corpo até chegar ao chão, g a aceleração da gravidade na terra que pode ser considerada 10 m/s² e t o tempo de queda do corpo.
[tex] d = \frac{1}{2} g t^{2} [tex]
Desconsiderando a resistência do ar, em quanto tempo um tomate abandonado à uma altura de 125 m atinge o chão?
- A) 2,5 s
- B) 5 s
- C) 10,95 s
- D) 25 s
A resposta correta é a letra B)
Resolvendo a equação, sabendo que g = 10 m/s² e d = 125 m. Logo:
[tex] d = \frac{1}{2} g t^{2} [tex]
[tex] 125 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^{2} [tex]
[tex] 125 = \frac{10}{2} \cdot t^{2} [tex]
[tex] 125 = 5 \cdot t^{2} [tex]
[tex] \frac{125}{5} = t^{2} [tex]
[tex] 25 = t^{2} [tex]
[tex] \sqrt{25} = t [tex]
[tex] t = 5\ segundos [tex]
Portanto, opção "B".
2) Durante uma feira de automóveis, uma concessionária vendeu um número de veículos superior ao esperado. O quadrado da quantidade de veículos vendidos menos seu quíntuplo foi igual a 150 unidades.
Quantos veículos foram vendidos?
- A) 10
- B) 15
- C) 30
- D) 315
A resposta correta é a letra B)
Equacionando o problema, considerando x o número de veículos. Logo:
[tex] x^{2} - 5x = 150 [tex]
[tex] x^{2} - 5x - 150 = 0 [tex]
Agora, resolver a equação do 2° grau.
[tex] a = 1, b = -5, c = - 150 [tex]
Cálculo do discriminante (delta)
[tex] Δ = b² - 4ac [tex]
[tex] Δ = (-5)² - 4 \cdot 1 \cdot (- 150) [tex]
[tex] Δ = 25 + 600 [tex]
[tex] Δ = 625 [tex]
Agora, o valor de x.
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \ \sqrt{Δ}}{2a}[tex]
[tex] x = \frac{-(-5)\ \pm\ \sqrt{625}}{2\ \cdot\ 1}[tex]
[tex] x = \frac{5\ \pm\ 25}{2}[tex]
[tex] x' = \frac{5\ +\ 25}{2} = \frac{30}{2} = 15[tex]
[tex] x'' = \frac{5\ -\ 25}{2} = \frac{-\ 20}{2} = -10\ (Não\ convém!)[tex]
Logo, o número de veículos é:
[tex] x = 15\ veículos [tex]
Portanto, opção "B".
3) Janete tem número x de toalhas, esse número multiplicado pelo seu dobro é igual a 288.
Qual é esse número?
- A) 144.
- B) 14.
- C) 16.
- D) 12.
A resposta correta é a letra D)
Equacionando o problema. Seja x o número de toalhas. Logo:
[tex] x \cdot 2x = 288 [tex]
[tex] 2x^{2} = 288 [tex]
Agora, resolver a equação incompleta do 2° grau.
[tex] 2x^{2} = 288 [tex]
[tex] x^{2} = \frac{288}{2} [tex]
[tex] x^{2} = 144 [tex]
[tex] x = \sqrt{144} [tex]
[tex] x = 12 [tex]
Logo, o número de toalhas é:
[tex] x = 12\ toalhas [tex]
Portanto, opção "D".
4) Em uma empresa do ramo da construção civil, o custo de produção, milhares de reais, de n caçambas iguais é calculado pela expressão
[tex] C(n)= n^{2}\ –\ n + 10[tex]
Se o custo foi de 66 mil reais, então, o número de caçambas utilizadas na produção foi
- A) 6.
- B) 7.
- C) 8.
- D) 9.
A resposta correta é a letra B)
Resolvendo a equação, sabendo que o custo foi 62 (em milhares), temos:
[tex]C(x) = n^{2}\ –\ n + 10[tex]
[tex] 66 = n^{2}\ –\ n + 10[tex]
[tex] 0 = n^{2}\ –\ n + 10\ -\ 66[tex]
[tex] 0 = n^{2}\ –\ n\ -\ 56[tex]
Agora, resolver a equação do 2° grau.
[tex] a = 1, b = -1, c = - 56 [tex]
Cálculo do discriminante (delta)
[tex] Δ = b² - 4ac [tex]
[tex] Δ = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot (- 56) [tex]
[tex] Δ = 1 + 224 [tex]
[tex] Δ = 225 [tex]
Agora, o valor de n.
[tex] n = \frac{-b\ \pm\ \ \sqrt{Δ}}{2a}[tex]
[tex] n = \frac{-(-1)\ \pm\ \sqrt{225}}{2\ \cdot\ 1}[tex]
[tex] n = \frac{1\ \pm\ 15}{2}[tex]
[tex] n' = \frac{1\ +\ 15}{2} = \frac{16}{2} = 8[tex]
[tex] n'' = \frac{1\ -\ 15}{2} = \frac{-\ 14}{2} = -7\ (Não\ convém!)[tex]
Logo, o número de caçambas utilizadas é:
[tex] n = 8\ caçambas [tex]
Portanto, opção "C".
5) A temperatura C (em graus Celsius) de um forno é regulada de modo que varie com o tempo t (expresso em minutos) de acordo com a lei: [tex] C = 300\ -\ 0,5t^{2} + 15t [tex], com [tex] 0 ≤ t ≤ 30 [tex].
A temperatura no instante t = 0 é:
- A) 300 °C.
- B) 314,5 °C.
- C) 400 °C.
- D) 30 °C
A resposta correta é a letra A)
Substituindo [tex]t = 0[tex], obtemos:
[tex] C = 300\ -\ 0,5t^{2} + 15t [tex]
[tex] C = 300\ -\ 0,5 \cdot (0)^{2} + 15 \cdot 0 [tex]
[tex] C = 300\ -\ 0 + 0 [tex]
[tex] C = 300\ °C[tex]
Portanto, opção "A".
6) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por:
[tex] V = 50 \cdot (10\ -\ t)^{2} [tex]
A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento é:
- A) 1250 litros.
- B) 1000 litros.
- C) 1500 litros.
- D) 2500 litros.
A resposta correta é a letra A)
Substituindo [tex]t = 5 h[tex], obtemos:
[tex] V = 50 \cdot (10\ -\ t)^{2} [tex]
[tex] V = 50 \cdot (10\ -\ 5)^{2} [tex]
[tex] V = 50 \cdot (5)^{2} [tex]
[tex] V = 50 \cdot 25 [tex]
[tex] V = 1250\ litros [tex]
Portanto, opção "A".
7) Em uma indústria, o custo em reais para a produção de [tex]x[tex] toneladas de vigas de metal é dado pela fórmula:
[tex] C = 20 + 60x\ -\ 0,75x^{2} [tex]
O custo para que sejam produzidas 10 toneladas é:
- A) R$ 695,00.
- B) R$ 627,50.
- C) R$ 545,00.
- D) R$ 72,50.
A resposta correta é a letra D)
Substituindo [tex]x = 10\ ton[tex], obtemos:
[tex] C = 20 + 60x\ -\ 0,75x^{2} [tex]
[tex] C = 20 + 60 \cdot 10\ -\ 0,75 \cdot (10)^{2} [tex]
[tex] C = 20 + 600 -\ 0,75 \cdot 100 [tex]
[tex] C = 625 -\ 75 [tex]
[tex] C = R \$\ 545,00 [tex]
Portanto, opção "C".
8) Em uma loja de doces as caixas de bombons foram organizadas em filas. O número de caixas por fila corresponde ao quadrado de um número adicionado ao seu quíntuplo, obtendo-se o número 36.
Esse número é:
- A) 13
- B) 9
- C) 8
- D) 4
A resposta correta é a letra D)
Equacionando o problema. Seja x o número de caixas de bombons. Logo:
[tex] x^{2} + 5x = 36 [tex]
[tex] x^{2} + 5x\ -\ 36 = 0 [tex]
Agora, resolver a equação do 2° grau.
[tex] a = 1, b = 5, c = - 36 [tex]
Cálculo do discriminante (delta)
[tex] Δ = b² - 4ac [tex]
[tex] Δ = (5)² - 4 \cdot 1 \cdot (- 36) [tex]
[tex] Δ = 25 + 144 [tex]
[tex] Δ = 169 [tex]
Agora, o valor de x.
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \ \sqrt{Δ}}{2a}[tex]
[tex] x = \frac{-(5)\ \pm\ \sqrt{169}}{2\ \cdot\ 1}[tex]
[tex] x = \frac{-5\ \pm\ 13}{2}[tex]
[tex] x' = \frac{-5\ +\ 13}{2} = \frac{8}{2} = 4[tex]
[tex] x'' = \frac{-5\ -\ 13}{2} = \frac{-\ 18}{2} = -9\ (Não\ convém!)[tex]
Logo, o número de caixas por fila é:
[tex] x = 4\ caixas [tex]
Portanto, opção "D".
9) O custo de uma produção, em milhares de reais, de [tex]x[tex] máquinas iguais é dado pela expressão [tex]C(x) = x^{2}\ –\ x + 10[tex].
Se o custo foi de 52 mil reais, então, o número de máquinas utilizadas na produção foi;
- A) 6.
- B) 7.
- C) 8.
- D) 9.
A resposta correta é a letra A)
Resolvendo a equação, sabendo que o custo foi 52 (em milhares), temos:
[tex]C(x) = x^{2}\ –\ x + 10[tex]
[tex] 52 = x^{2}\ –\ x + 10[tex]
[tex] 0 = x^{2}\ –\ x + 10\ -\ 52[tex]
[tex] 0 = x^{2}\ –\ x\ -\ 42[tex]
Agora, resolver a equação do 2° grau.
[tex] a = 1, b = -1, c = - 42 [tex]
Cálculo do discriminante (delta)
[tex] Δ = b² - 4ac [tex]
[tex] Δ = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot (- 42) [tex]
[tex] Δ = 1 + 169 [tex]
[tex] Δ = 169 [tex]
Agora, o valor de x.
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \ \sqrt{Δ}}{2a}[tex]
[tex] x = \frac{-(-1)\ \pm\ \sqrt{169}}{2\ \cdot\ 1}[tex]
[tex] x = \frac{1\ \pm\ 13}{2}[tex]
[tex] x' = \frac{1\ +\ 13}{2} = \frac{14}{2} = 7[tex]
[tex] x'' = \frac{1\ -\ 13}{2} = \frac{-\ 12}{2} = -6\ (Não\ convém!)[tex]
Logo, o número de máquinas na produção é:
[tex] x = 7\ máquinas [tex]
Portanto, opção "B".
10) Em um porta-retratos, a região retangular A, destinada à colocação da foto, é contornada por uma moldura de vidro fosco, que aparece sombreada na figura.
Sabendo que a moldura possui 132 cm², pode-se concluir que a medida indicada por x, na figura, é igual a
- A) 12 cm.
- B) 14 cm.
- C) 16 cm.
- D) 18 cm.
A resposta correta é a letra A)
A área a moldura pode ser encontrada subtraindo a área do retângulo maior do menor. Logo:
[tex] A_{(Maior)}\ -\ A_{(Menor)} = área\ da\ moldura [tex]
[tex] [(x + 4) × x]\ -\ (10 × 6) = 132 [tex]
[tex] x^{2} + 4x\ -\ 60\ -\ 132 = 0 [tex]
[tex] x^{2} + 4x\ -\ 192 = 0 [tex]
Agora, resolver a equação do 2° grau.
[tex] a = 1, b = 4, c = -192 [tex]
Cálculo do discriminante (delta)
[tex] Δ = b² - 4ac [tex]
[tex] Δ = 4² - 4 \cdot 1 \cdot (-192) [tex]
[tex] Δ = 16 + 768 [tex]
[tex] Δ = 784 [tex]
Agora, o valor de x.
[tex] x = \frac{-b\ \pm\ \ \sqrt{Δ}}{2a}[tex]
[tex] x = \frac{-(4)\ \pm\ \sqrt{784}}{2\ \cdot\ 1}[tex]
[tex] x = \frac{-4\ \pm\ 28}{2}[tex]
[tex] x' = \frac{-4\ +\ 28}{2} = \frac{24}{2} = 12[tex]
[tex] x'' = \frac{-4\ -\ 28}{2} = \frac{-32}{2} = -16[tex]
Como não tem comprimento negativo. Logo, o lado x é:
[tex] x = 12\ cm [tex]
Portanto, opção "A".