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Foram identificados, até agora, aproximadamente 4.000 planetas fora do Sistema Solar, dos quais cerca de 10 são provavelmente rochosos e estão na chamada região habitável, isto é, orbitam sua estrela a uma distância compatível com a existência de água líquida, tendo talvez condições adequadas à vida da espécie humana. Um deles, descoberto em 2016, orbita Proxima Centauri, a estrela mais próxima da Terra. A massa, MP, e o raio, RP, desse planeta são diferentes da massa, MT, e do raio, RT, do planeta Terra, por fatores  e  : MP = MT e RP = RT.1

a) Qual seria a relação entre alphabeta se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?

Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra. Nas condições do item a), obtenha, em função de beta

b) a razão rg = g/ gt entre o valor da aceleração da gravidade, gp, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, gt, na superfície da Terra;

c) a razão rt = tP / tT entre o intervalo de tempo, tP, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, tT, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento L, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);

d) a razão rV = vP / vT entre os módulos das velocidades do robô no planeta, vP, e na Terra, vT.

Resposta:

a) Se ambos os planetas tem a mesma densidade deve valer a relação:

frac{M_T}{M_P} = frac{ V_T}{V_P}.

Os volumes dos planetas são proporcionais aos cubos de seus respectivos raios.

Portanto:

frac{M_T}{alpha M_T} = frac{ R_T^3}{beta^3 R_T^3}.

beta^3 = alpha.

b) A gravidade na superfície de um planeta é dada por g = GM/R².

Sendo os planetas esféricos, vale M = frac{4pi dR^3}{3}, com d sendo a densidade do planeta.

Portanto,  g = frac{4Gpi dR}{3}.

Sendo assim, r_g = frac{g_P}{g_T} = frac{R_P}{R_T} = beta.

c) Os passos são dados em intervalos de tempo proporcionais aos períodos de oscilação da perna.

Logo, vale a relação:

r_t = frac{2pi(L/g_P)^{1/2}}{2pi(L/g_T)^{1/2}}

r_t = (frac{g_T}{g_P})^{1/2}

r_t = sqrt{frac{1}{beta}}.

d) Podemos determinar a velocidade do robô sabendo o comprimento x de cada passo e o intervalo de tempo tque cada passo leva para acontecer.

Sendo assim V = x/t.

Logo, r_V = frac{frac{x}{t_P}}{frac{x}{t_T}} = frac{t_T}{t_P}.

r_V = sqrt{beta}

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