Prova de Matemática da Fuvest 2018 Resolvida

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1) (FUVEST – 2018 – 1a fase) Considere o polinômio

$P(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},$

em que $a_{0},...,a_{n-1} in mathbb{R}.$ Sabe-se que as suas n raízes estão sobre a circunferência unitária e que $a_{0}<0$ .

O produto das n raízes de P(x), para qualquer inteiro $n geq 1$ , é:

A) -1
B) $i^{n}$
C) $i^{n+1}$
D) $(-1)^{n}$
E) $(-1)^{n+1}$

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A alternativa correta é letra E)

Utilizando a relação de Girard, temos que o produtos das raízes desse polinômio é dada pela divisão de $a_{0}$ pelo coeficiente de $x^{n}$ , com seu sinal variando de acordo com o valor de n.

$P = left(-1 right )^{n}.a_{0}$ .

Como as raízes estão sobre a circunferência unitaria, o módulo de todas as raízes vale 1. Logo o módulo do produto das raízes também vale 1.

$left | P right | = left | left(-1 right )^{n} a_{0} right |$ $rightarrow$ $left | P right | = left | left(-1 right )^{n} right |left | a_{0} right |$ (O módulo dos produtos é o produto dos módulos)

$left | a_{0} right | = 1$

No enunciado está escrito que $a_{0}$ < 0.

Logo, $a_{0} = -1$

Então o produto das raízes é:

$P = left(-1 right )^{n}.-1 = left(-1 right )^{n+1}$

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2) Doze pontos são assinalados sobre quatro segmentos de reta de forma que três pontos sobre três segmentos distintos nunca são colineares, como na figura.

O número de triângulos distintos que podem ser desenhados com os vértices nos pontos assinalados é

A) 200
B) 204
C) 208
D) 212
E) 220

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A alternativa correta é letra D)

Para resolver essa questão, devemos observar que, dada uma escolha de 3 vértices, a ordem destes não importa na formação do triângulo. Logo, levando em consideração, apenas o número de vértices e de que a ordem não importa, temos uma combinação de 12 termos tomados 3 a 3.

$C_{12,3} = frac{12!}{3!left(12- 3 right )!}$ $rightarrow$ $frac{12!}{3!9!}$

$frac{12.11.10.9!}{3.2.9!} = 2.11.10 = 220$

Porém ainda devemos contar os casos que não são triângulos, formados por vértices na mesma linha.

Isso ocorre na reta r e na reta s. Com 4 pontos da. Então vamos subtrair do resultado anterior, 2 combinções de 4 termos tomados 3 a 3.

$2. frac{4!}{3!} = 2.4 = 8$

Logo, $220 - 8 = 212$

3) Sejam F:R→R e g:R+ → R definidas por

$f(x)= frac{1}{2}5^{x}$ e $g(x)=log_{10}x$ ,

respectivamente.

o gráfico da função composta gºf é:

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A alternativa correta é letra A)

$f(x)=frac{1}{2}5^x$

$g(x)=log_{10}x$

$gcirc f=log_{10}(frac{1}{2}5^x)$

$=log_{10}2^{-1}+log_{10}5^x$

$=xlog_{10}5-log_{10}2$

Para x=0:

$gcirc f=-log_{10}2$

Como $-log_{10}2$ é um número real e negativo, então a interseção do gráfico com o eixo y deve ser negativa.

Para f(x)=0:

$xlog_{10}5-log_{10}2=0$

$xlog5-log2$ é uma reta com coeficiente angular $log 5 > 0$ (reta crescente) e coeficiente linear $– log10 2 < 0$ (intersecta o eixo das ordenadas abaixo da origem).

A única alternativa que contempla essas condições é a letra A.

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4) Em uma urna, há bolas amarelas, brancas e vermelhas. Sabe-se que:

I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha dessa urna é o dobro da probabilidade de retirar uma bola amarela.

II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola vermelha passa a ser $frac{1}{2}$ .

III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas dessa urna, a probabilidade de retirar uma bola branca passa a ser $frac{1}{2}$ .

A quantidade de bolas brancas na urna é

A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16

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A alternativa correta é letra C)

[C]

5) Uma cerca tem formato de um polígono regular de n lados, cada lado com comprimento l. A égua Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de comprimento 1, no exterior da região delimitada pelo polígono. Calcule a área disponível para pasto supondo que:

a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono;

b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca.

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a) O ângulo interno de um polígono de n lados é:

$frac{(n-2)times180}{n}$ .

O espaço que a Estrela terá para pastar será um setor circular externo à cerca, em qualquer um de seus vértices. Este setor círcular têm ângulo:

$360 -frac{(n-2)times180}{n}$

Logo, sua área será:

$pi l^2timesfrac{(360 -frac{(n-2)times180}{n})}{360}Rightarrow pi l^2timesfrac{(180n +360)}{360n}Rightarrow pi l^2(frac{1}{2}+frac{1}{n})$

b) Independente do número de lados do polígono, o espaço de pasto sempre se apresentará da seguinte forma:

Como um quadrado de lado l acima de todas as arestas, e um setor circular de ângulo $alpha$ entre estes quadrados.

O ângulo $alpha$ mede:

$alpha = 360 - 180 - frac{(n-2)times180}{n}Rightarrow alpha =frac{360}{n}$

A área de pasto terá n quadrados e n setores circulares (um quadrado para cada aresta, um setor para cada vértice), assim sendo, a área total é:

$ntimes l^2 + n times(frac{frac{360}{n}pi l^2}{360})$

$nl^2 + pi l^2$

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6) Considere a função real definida por .

a) Qual é o domínio de $f$ ?

b) Encontre o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) f(x) = 0.

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Resolução em produção:

a) Para encontrar o domínio, temos que são os números reais desde que as regras abaixo sejam respeitadas:

$x-frac{1}{x}geq 0$ e $1-frac{1}{x}geq 0$ e $xneq0$

1) Para $x-frac{1}{x}geq 0$ :

$frac{x^2-1}{x}ge :0$

$mathrm{Encontre:os:sinais:dos:fatores:de:}frac{x^2-1}{x}$ :

Logo, $-1le :x<0quad mathrm{ou}quad :xge :1$

2) Para $1-frac{1}{x}geq 0$

$frac{x-1}{x}ge :0$

$mathrm{Encontre:os:sinais:dos:fatores:de:}frac{x-1}{x}$ :

Logo, $x<0quad mathrm{or}quad :xge :1$

3) Unindo os intervalos:

$-1le :x<0quad mathrm{ou}quad :xge :1$

4) Colocando em notação de intervalo:

$mathrm{D={x in mathbb{R}/:-1le :x<0quad mathrm{ou}quad :xge :1}}$

b) Temos que f(x)=0, logo

$sqrt{x-frac{1}{x}}+sqrt{1-frac{1}{x}} -x=0$

1) Organizando:

$sqrt{x-frac{1}{x}}=x-sqrt{1-frac{1}{x}}$

2) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$left(sqrt{x-frac{1}{x}}right)^2=left(x-sqrt{1-frac{1}{x}}right)^2$

$x-frac{1}{x}=x^2-2sqrt{1-frac{1}{x}}x+1-frac{1}{x}$

3) Simplificando:

$-x^2+x-1=-2sqrt{1-frac{1}{x}}x$

4) Elevando ambos os lados ao quadrado:

$left(-x^2+x-1right)^2=left(-2sqrt{1-frac{1}{x}}xright)^2$

$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=4x^2-4x$

5) Simplificando:

$x^4-2x^3-x^2+2x+1=0$

6) Desenvolvendo encontramos:

$frac{x^4-2x^3-x^2+2x+1}{x^2}=0$

Lembre-se que $x neq 0$ .

7) Organizando

$x^2-2x-1+frac{2}{x}+frac{1}{x^2}=0$

$x^2+frac{1}{x^2}-2left (x-frac{1}{x} right )-1=0$

8) Fazendo $x-frac{1}{x}=y$ , temos que:

$(y^2+2)-2y-1=0$

9) Logo, y=1 (perceba que trata-se de uma raiz dupla).

10) Logo,

$x-frac{1}{x}=1$

11) Com isso, temos:

$x^2-x-1=0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-1right)pm sqrt{left(-1right)^2-4cdot :1left(-1right)}}{2cdot :1}$

$x_1=frac{1+sqrt{5}}{2},:x_2=frac{1-sqrt{5}}{2}$

12) Ao verificar as respostas, encontramos que apenas

$x_1=frac{1+sqrt{5}}{2}$ é solução.

7) No plano cartesiano real, considere o triângulo ABC, em que A = (5,0), B = (8,0), C = (5,5), e a reta de equação y = αx, 0 < α < 1. Seja ƒ(α) a área do trapézio ABED, em que D é a intersecção da reta y = αx com a reta de equação x = 5, e o segmento DE é paralelo ao eixo Ox.

a) Encontre o comprimento do segmento DE em função de $alpha$ .

b) Expresse $f(alpha )$ e esboce o gráfico da função $f$ .

FAZER COMENTÁRIO

a) Primeiramente, a medida AD depende de $alpha$ , pois D é o ponto onde AC e y se interceptam. Como AC existe na reta x=5, o ponto D é representado por $(alpha , 5alpha)$ , sendo $5alpha$ a medida do segmento AD.

Logo, o segmento CD mede $5-5alpha$ . Os triângulos CDE e CAB são semelhantes, utilizando sua razão de semelhança:

$frac{CD}{CA}=frac{DE}{AB}$

$frac{5-5alpha }{5}=frac{DE}{3}$

$DE=3times(1-alpha )$

$DE=3-3alpha$

b) As bases do trapézio são BA e DE, sua altura é DA, logo:

$f(alpha )=frac{(3 + (3-3alpha ))times5alpha }{2}$

$f(alpha )=frac{30alpha-15alpha ^2 }{2}$

Assim, podemos ver que $f(alpha )$ é uma parábola, como o enunciado diz que $0< alpha <1$ :

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8) Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.1

a) Num tetraedro 0 ABC, os ângulos $Awidehat{O}B, Bwidehat{O}C$ e $Cwidehat{O}A$ medem 90º . Sendo $alpha$ e $beta$ as medidas dos ângulos $Awidehat{C}O$ e $Bwidehat{C}O$ , respectivamente, expresse o cosseno do ângulo $Awidehat{C}B$ em função de $alpha$ e $beta$ .

b) Um navio parte do ponto de latitude 0º e longitude 0º e navega até chegar a um ponto de latitude 45º sul e longitude 45º oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio R = 6000km. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

FAZER COMENTÁRIO

Usando trigonometria nos triângulos retângulos BOC, AOC e AOB, temos:

$cos : alpha= frac{OC}{AC}rightarrow AC= frac{OC}{cos : alpha}$

$cos : beta= frac{OC}{BC}rightarrow BC= frac{OC}{cos : beta}$

$sen : beta= frac{OB}{BC}rightarrow OB= BC cdot sen: beta$

$sen : alpha= frac{AO}{AC}rightarrow OA= AC cdot sen : alpha$

Pitágoras em AOB:

$AB^2= AO^2+ OB^2 rightarrow AB^2 = (AC cdot sen : alpha)^2+ (BC cdot sen: beta)^2$

Substituindo AC e AB isolados na expressão de AB, encontramos:

$AB^2 = (frac{OCcdot sen : alpha}{cos : alpha} )^2+ (frac{OCcdot sen : beta}{cos : beta} )^2 \ \ AB^2 = OC^2 cdot : tg^2 alpha + OC^2 cdot : tg^2 beta \ \ AB^2=OC^2(tg^2 alpha+tg^2 beta)$

Usando lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:

$AB^2=BC^2+AC^2-2BC cdot AC cdot cos Ahat{C}B$

substituindo os termos já encontrados, que estão em função de alfa, beta e OC, temos:

$OC^2(tg^2alpha+tg^2 beta)=frac{OC^2}{cos^2 beta}+ frac{OC^2}{cos^2 alpha}-2 cdot frac{OC}{cos beta} cdot frac{OC}{cos alpha} cdot cos Ahat{C}B$

Simplificando $OC^2$ dos dois lados da equação e remanejando, temos:

$[frac{sen^2 alpha}{cos^2alpha}-frac{1}{cos^2alpha}+frac{sen^2 beta}{cos^2beta}-frac{1}{cos^2beta}] cdot cos beta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

Pela relação fundamental, temos: $sen^2 x-1=-cos^2x$

Então:

$[frac{-cos^2alpha}{cos^2alpha}+frac{-cos^2beta}{cos^2beta}] cdot cos beta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

$[-1-1] cdot cos beta cdot cosalpha=-2cosAhat{C}B$

$cosAhat{C}B=cos beta cdot cosalpha$

_________________________________________________________________

Supondo A o ponto de coordenadas 0° e 0° (ponto de partida).
Supondo B o ponto de coordenadas 0° latitude e 45° longitude.
Supondo C o ponto de coordenadas 45° latitude e 45° longitude (ponto de chegada).

Percebemos que A e B estão sobre o mesmo paralelo (linha do equador) e B e C estão sobre o mesmo meridiano (de 45°).

Sendo O o centro do globo, traçamos retas (que equivalem ao raio) OA, OB e OC. Podemos perceber que o ângulo AÔB deve ser de 45° (já que o trajeto de A até B corresponde a percorrer 45° sobre a linha do equador na superfície do globo. Analogamente, o ângulo BÔC também deve medir 45°, porque ir de B para C corresponde a percorrer 45° no meridiano.

Dessa maneira, temos uma situação análoga à figura da questão a, onde:

O arco AC é a distância percorrida pelo navio. Sendo assim, para descobrir o comprimento do arco, devemos saber o ângulo correspondente, que é AÔC. Assim, podemos usar o resultado obtido no item anterior:

$cos(Ahat{O}C)=cos45^{circ} cdot sen45^{circ}$

Logo:

$cos45^{circ} cdot sen45^{circ}=frac{sqrt2}{2} cdotfrac{sqrt2}{2}=frac{1}{2}$

Portanto:

$cos(Ahat{O}C)=frac{1}{2}$

$Ahat{O}C= frac{ pi }{3}=60^{circ}$

Como $OA=OC=R=6000km$ podemos descobrir o comprimento do arco AC:

$AC=frac{60}{360} cdot 2 pi R$

$AC=2000pi : km$

9) Considere a sequência a1 = 6, a2 = 4, a3 = 1, a4 = 2, e an = an-4, para . Defina para , isto é, é a soma de k + 1 termos consecutivos da sequência começando do n-ésimo, por exemplo, .

a) Encontre n e k tal que $S_{n}^{k}=20$ .

b) Para cada inteiro j, $1leq jleq 12$ , encontre n e k tal que $S_{n}^{k}=j$ .

c) Mostre que, para qualquer inteiro j, $jgeq 1$ , existem inteiros $ngeq 1$ e $kgeq 0$ tais que $S_{n}^{k}=j$ .

FAZER COMENTÁRIO

a) Como a sequência se trata de 6,4,1,2,6,4,1,2… e isso se repete periodicamente, percebemos que a soma de termos consecutivos é igual a 20 quando eles se iniciam em 4 e terminam 2.
Logo:

$S^k_n=20$

$n=2 : e: k=6$ ou $n=6 : e: k=6$ ou $n=10 : e: k=6$

Logo: $n=2,6,10...: e: k=6$

———————————————————————

$1leq jleq 12 : e: S^k_n=j$

$j=1 rightarrow n=3,7,11...: e: k=0$

$j=2 rightarrow n=4,8,12...: e: k=0$

$j=3 rightarrow n=3,7,11...: e: k=1$

$j=4 rightarrow n=2,6,10...: e: k=0$

$j=5 rightarrow n=2,6,10...: e: k=1$

$j=6 rightarrow n=1,5,9...: e: k=0$

$j=7 rightarrow n=2,6,10...: e: k=2$

$j=8 rightarrow n=4,8,12...: e: k=1$

$j=9 rightarrow n=3,7,11...: e: k=2$

$j=10 rightarrow n=1,5,9...: e: k=1$

$j=11 rightarrow n=1,5,9...: e: k=2$

$j=12 rightarrow n=4,8,12...: e: k=2$

——————————————————-

c) No item b, já encontramos que, para $1leq jleq 12$ existem n e k inteiros tais que $S^k_n=j$

Se observamos o caso de j=13 (ou múltiplo de 13) teremos:

$S^k_n=13rightarrow n=1,5,9...: e: k=3 : (para: j=13), 7 : (para: j=26)...$

No caso de j não ser múltiplo de 13, podemos escrevê-lo como:

j=13q + r

com q inteiro e r sendo um número inteiro entre 1 e 12.

Pela primeira parte, vemos que para 13q (como é múltiplo de 13) existem n e k que satisfazem a condição. Já pela resolução do item b, percebemos que existem n e k para qualquer j entre 1 e 12, então devem existir n e k para r.

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10) Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P C. Diz-se que “P enxerga C sob um ângulo ” se for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo indicado.

a) Se for um círculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 60° .

b) Se for a união dos segmentos OA e OB , em que A = (a, 0) e B = (0,b), com a,b > 0, determine o lugar geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 90°.

FAZER COMENTÁRIO

Em construção:

Pelo desenho, podemos observar que:

Devido à simetria, o segmento OP é bissetriz do ângulo em P e pela propriedade de tangência, PN e PM formam ângulos retos com os raios da circunferência.

Logo, temos dois triângulos retângulos PNO e PMO e seus ângulos em P valem 30° cada um. Sendo assim, podemos usar a trigonometria:

$sen : 30^{circ}=frac{r}{OP}=frac{1}{2}$

logo: $OP=2r$

Notamos que, por simetria, qualquer ponto da circunferência verde tracejada enxergará o círculo sobre essas mesmas condições. Portanto, o lugar geométrico dos pontos será a circunferência de raio 2r centrada na origem. Sua equação é:

$x^2+y^2=(2r)^2Rightarrow x^2+y^2=4r^2 : ou: x^2+y^2-4r^2=0$

_______________________________________________________________________________________________

Os pontos que enxergam um segmento de reta sob o ângulo de 90° formam uma semi-circunferência. Dessa maneira, obtemos:

Vemos que o semicírculo c "enxerga" o segmento OB, o semicírculo d enxerga o segmento OA e o semicírculo e enxerga o segmento AB. Sendo assim, basta determinar as equações desses semicírculos:

semicírculo c (para x<0)

Centro: $(0,frac{b}{2})$

Raio: $frac{b}{2}$

Equação: $x^2+(y-frac{b}{2})^2=frac{b^2}{4}$

-----------------------------------------------

semicírculo d (para y<0)

Centro: $(0,frac{a}{2})$

Raio: $frac{a}{2}$

Equação: $(x-frac{a}{2})^2+y^2=frac{a^2}{4}$

------------------------------------------------

semicírculo e (para x e y >0)

Centro: $(frac{a}{2},frac{b}{2})$

Raio: $frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Equação: $(x-frac{a}{2})^2+(y-frac{b}{2})^2=frac{a^2+b^2}{4}$

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