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Considere as funções e definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1 f = f f-1 = id e g-1 g = g g-1 = id, em que id é a função identidade.
a) Para , mostre que
.
b) Mostre que .
Resposta:
a)
Substituindo as funções f e g no que deve ser demonstrado:
Considerando
Então aplicando sen em ambos os lados da equação:
pela relação fundamental:
substituindo
como estamos alfa deve estar entre 0 e 1, estamos no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo, logo:
_______________________________________________________________
b)
analisando a primeira parte, temos:
analisando a segunda parte, temos:
Mas, como:
Substituindo alfa, e isolando beta, temos:
Aplicando cosseno em ambos os lados:
Usando a relação de soma / subtração de arcos:
Substituindo os valores de seno e cosseno conhecidos:
Provando a relação que devemos encontrar na segunda parte.
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