Logo do Site - Banco de Questões
Continua após a publicidade..

Considere as funções  e  definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1  f = f  f-1 = id e g-1  g = g  g-1 = id, em que id é a função identidade. 

a) Para 0 leq alpha leq 1, mostre que left ( g circ f^{-1} right )(alpha )=sqrt{1-alpha ^{2}}.

b) Mostre que f^{-1}left ( frac{1}{2} right )+g^{-1}left ( frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} right )=frac{pi }{4}.

Resposta:

a) 

0leq alpha leq1 \ g(f^{-1})(alpha)= sqrt{1-alpha^2}

Substituindo as funções f e g no que deve ser demonstrado:

cos(arcsen : alpha)= sqrt{1-alpha^2}

Considerando arcsen : alpha=y

Então aplicando sen em ambos os lados da equação:

sen: y= alpha

pela relação fundamental:  sen^2y+cos^2y=1

substituindo 

alpha^2 + cos^2y=1 \ cos: y=pm sqrt{1- alpha^2}

como estamos alfa deve estar entre 0 e 1, estamos no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo, logo:

cos(arcsen: alpha)=cos(y)= sqrt{1- alpha ^2}: therefore

_______________________________________________________________

b)

f^{-1}(frac{1}{2})+g^{-1}(frac{sqrt6+sqrt2}{4})=frac{ pi }{4}

analisando a primeira parte, temos:

arcsen(frac{1}{2}) = alphaRightarrow sen alpha= frac{1}{2}Rightarrow alpha= frac{ pi }{6}

analisando a segunda parte, temos:

arccos(frac{sqrt6+sqrt2}{4}) = betaRightarrow cos beta= frac{sqrt6+sqrt2}{4}

Mas, como: 

alpha+beta= frac{ pi}{4}

Substituindo alfa, e isolando beta, temos:

beta= frac{ pi}{4}-frac{ pi}{6}

Aplicando cosseno em ambos os lados:

cos : beta=cos( frac{ pi}{4}-frac{ pi }{6})

Usando a relação de soma / subtração de arcos:

cos :beta= sen :frac{ pi}{4} cdot sen : frac{ pi}{6} +cos :frac{ pi}{4} cdot cos : frac{ pi}{6}

Substituindo os valores de seno e cosseno conhecidos:

cos :beta= frac{sqrt2}{2} cdot frac{1}{2}+frac{sqrt2}{2} cdot frac{sqrt3}{2}

cos :beta= frac{sqrt2+sqrt6}{4}

Provando a relação que devemos encontrar na segunda parte.

Continua após a publicidade..

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *