Início » Prova da Fuvest 2018 Resolvida » Prova de Matemática da Fuvest 2018 Resolvida » Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade de vencer.

Continua após a publicidade..

Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade de vencer.

a) Explique por que 2 times não podem empatar na classificação com 4 vitórias cada um.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classificado termine a competição com 4 vitórias?
c) Qual é a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificação?

Resposta:

a) Como se tratam de 5 times, cada um deles fará 4 jogos, um com cada outro time da competição. Portanto, se um time vencer os 4 jogos, consequentemente os outros 4 times terão perdido pelo menos um jogo, não sendo possível então, dois times terem 4 vitórias cada.

----------------------------------------------------------------------------------

b) Supondo que o time "A" seja o campeão com 4 vitórias, temos:

probabilidade de 4 vitórias de A: $frac{1}{2} timesfrac{1}{2} timesfrac{1}{2} timesfrac{1}{2} =frac{1}{16}$

como o primeiro classificado pode ser qualquer um dos 5 times, e a probabilidade de um deles é $frac{1}{16}$ , basta multiplicá-la por 5: $5 times frac{1}{16} =frac{5}{16}$

--------------------------------------------------------------------------------------------

A única forma de se terminar a competição com as 5 equipes empatadas é se todas vencerem 2 jogos e perderem 2.

Sendo assim, vamos calcular de quantas maneiras isso pode ocorrer fixando configurações para alguns times e analisando as consequências para os outros.

Fixando a configuração A vence B e C e perde para D e E, temos os seguintes desdobramentos possíveis:

(obs: V significa vitória do time da linha sobre o time da coluna e D, derrota do time da linha sobre o time da coluna)

Com B vencendo C e D (e perdendo para A e E)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	V	V	D
C	D	D	-	V	V
D	V	D	D	-	V
E	V	V	D	D	-

Com B vencendo C e E (e perdendo para A e D)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	V	D	V
C	D	D	-	V	V
D	V	V	D	-	D
E	V	D	D	V	-

Com B vencendo D e E (e perdendo para A e C)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	D	V	V
C	D	V	-	D	V
D	V	D	V	-	D
E	V	D	D	V	-

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	D	V	V
C	D	V	-	V	D
D	V	D	D	-	V
E	V	D	V	D	-

Sendo assim, há 4 configurações possíveis para cada configuração de A.
Para calcular o total de configurações possíveis de A, basta permutar os quatro elementos ( V,V,D,D). Como são repetidos 2 a 2, trata-se de uma permutação com repetição:

$P^4_{2,2}=frac{4!}{2!2!}=3times2=6$

Como há seis configurações possíveis para A vencer duas e perder duas e para cada uma há 4 configurações possíveis para os outros times, temos um total de: $6 times4=24$ formas possíveis dos 5 times empatarem.

Para se determinar a probabilidade, temos que descobrir todos os resultados possíveis.

Como o campeonato tem 10 jogos:

AxB , AxC , AxD , AxE

BxC , BxD , BxE

CxD , CxE

DxE

E cada jogo tem 2 resultados possíveis (vitória ou derrota), temos $2^{10}$ formas possíveis.

Portanto, a probabilidade será:

$frac{24}{2^{10}}=frac{3}{128}$

Continua após a publicidade..

Resposta:

Deixe um comentário Cancelar resposta