Prova de Matemática da Fuvest 2018 Resolvida

Questão 11

a) Para $0 leq alpha leq 1$ , mostre que $left ( g circ f^{-1} right )(alpha )=sqrt{1-alpha ^{2}}$ .

b) Mostre que $f^{-1}left ( frac{1}{2} right )+g^{-1}left ( frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} right )=frac{pi }{4}$ .

FAZER COMENTÁRIO

$0leq alpha leq1 \ g(f^{-1})(alpha)= sqrt{1-alpha^2}$

Substituindo as funções f e g no que deve ser demonstrado:

$cos(arcsen : alpha)= sqrt{1-alpha^2}$

Considerando $arcsen : alpha=y$

Então aplicando sen em ambos os lados da equação:

$sen: y= alpha$

pela relação fundamental: $sen^2y+cos^2y=1$

substituindo

$alpha^2 + cos^2y=1 \ cos: y=pm sqrt{1- alpha^2}$

como estamos alfa deve estar entre 0 e 1, estamos no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo, logo:

$cos(arcsen: alpha)=cos(y)= sqrt{1- alpha ^2}: therefore$

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$f^{-1}(frac{1}{2})+g^{-1}(frac{sqrt6+sqrt2}{4})=frac{ pi }{4}$

analisando a primeira parte, temos:

$arcsen(frac{1}{2}) = alphaRightarrow sen alpha= frac{1}{2}Rightarrow alpha= frac{ pi }{6}$

analisando a segunda parte, temos:

$arccos(frac{sqrt6+sqrt2}{4}) = betaRightarrow cos beta= frac{sqrt6+sqrt2}{4}$

Mas, como:

$alpha+beta= frac{ pi}{4}$

Substituindo alfa, e isolando beta, temos:

$beta= frac{ pi}{4}-frac{ pi}{6}$

Aplicando cosseno em ambos os lados:

$cos : beta=cos( frac{ pi}{4}-frac{ pi }{6})$

Usando a relação de soma / subtração de arcos:

$cos :beta= sen :frac{ pi}{4} cdot sen : frac{ pi}{6} +cos :frac{ pi}{4} cdot cos : frac{ pi}{6}$

Substituindo os valores de seno e cosseno conhecidos:

$cos :beta= frac{sqrt2}{2} cdot frac{1}{2}+frac{sqrt2}{2} cdot frac{sqrt3}{2}$

$cos :beta= frac{sqrt2+sqrt6}{4}$

Provando a relação que devemos encontrar na segunda parte.

12) Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade de vencer.

FAZER COMENTÁRIO

a) Como se tratam de 5 times, cada um deles fará 4 jogos, um com cada outro time da competição. Portanto, se um time vencer os 4 jogos, consequentemente os outros 4 times terão perdido pelo menos um jogo, não sendo possível então, dois times terem 4 vitórias cada.

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b) Supondo que o time "A" seja o campeão com 4 vitórias, temos:

probabilidade de 4 vitórias de A: $frac{1}{2} timesfrac{1}{2} timesfrac{1}{2} timesfrac{1}{2} =frac{1}{16}$

como o primeiro classificado pode ser qualquer um dos 5 times, e a probabilidade de um deles é $frac{1}{16}$ , basta multiplicá-la por 5: $5 times frac{1}{16} =frac{5}{16}$

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A única forma de se terminar a competição com as 5 equipes empatadas é se todas vencerem 2 jogos e perderem 2.

Sendo assim, vamos calcular de quantas maneiras isso pode ocorrer fixando configurações para alguns times e analisando as consequências para os outros.

Fixando a configuração A vence B e C e perde para D e E, temos os seguintes desdobramentos possíveis:

(obs: V significa vitória do time da linha sobre o time da coluna e D, derrota do time da linha sobre o time da coluna)

Com B vencendo C e D (e perdendo para A e E)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	V	V	D
C	D	D	-	V	V
D	V	D	D	-	V
E	V	V	D	D	-

Com B vencendo C e E (e perdendo para A e D)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	V	D	V
C	D	D	-	V	V
D	V	V	D	-	D
E	V	D	D	V	-

Com B vencendo D e E (e perdendo para A e C)

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	D	V	V
C	D	V	-	D	V
D	V	D	V	-	D
E	V	D	D	V	-

	A	B	C	D	E
A	-	V	V	D	D
B	D	-	D	V	V
C	D	V	-	V	D
D	V	D	D	-	V
E	V	D	V	D	-

Sendo assim, há 4 configurações possíveis para cada configuração de A.
Para calcular o total de configurações possíveis de A, basta permutar os quatro elementos ( V,V,D,D). Como são repetidos 2 a 2, trata-se de uma permutação com repetição:

$P^4_{2,2}=frac{4!}{2!2!}=3times2=6$

Como há seis configurações possíveis para A vencer duas e perder duas e para cada uma há 4 configurações possíveis para os outros times, temos um total de: $6 times4=24$ formas possíveis dos 5 times empatarem.

Para se determinar a probabilidade, temos que descobrir todos os resultados possíveis.

Como o campeonato tem 10 jogos:

AxB , AxC , AxD , AxE

BxC , BxD , BxE

CxD , CxE

DxE

E cada jogo tem 2 resultados possíveis (vitória ou derrota), temos $2^{10}$ formas possíveis.

Portanto, a probabilidade será:

$frac{24}{2^{10}}=frac{3}{128}$

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