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Prova de Matemática da Fuvest 2018 Resolvida

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11) Considere as funções  e  definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1  f = f  f-1 = id e g-1  g = g  g-1 = id, em que id é a função identidade. 

    FAZER COMENTÁRIO

    a) 

    0leq alpha leq1 \ g(f^{-1})(alpha)= sqrt{1-alpha^2}

    Substituindo as funções f e g no que deve ser demonstrado:

    cos(arcsen : alpha)= sqrt{1-alpha^2}

    Considerando arcsen : alpha=y

    Então aplicando sen em ambos os lados da equação:

    sen: y= alpha

    pela relação fundamental:  sen^2y+cos^2y=1

    substituindo 

    alpha^2 + cos^2y=1 \ cos: y=pm sqrt{1- alpha^2}

    como estamos alfa deve estar entre 0 e 1, estamos no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo, logo:

    cos(arcsen: alpha)=cos(y)= sqrt{1- alpha ^2}: therefore

    _______________________________________________________________

    b)

    f^{-1}(frac{1}{2})+g^{-1}(frac{sqrt6+sqrt2}{4})=frac{ pi }{4}

    analisando a primeira parte, temos:

    arcsen(frac{1}{2}) = alphaRightarrow sen alpha= frac{1}{2}Rightarrow alpha= frac{ pi }{6}

    analisando a segunda parte, temos:

    arccos(frac{sqrt6+sqrt2}{4}) = betaRightarrow cos beta= frac{sqrt6+sqrt2}{4}

    Mas, como: 

    alpha+beta= frac{ pi}{4}

    Substituindo alfa, e isolando beta, temos:

    beta= frac{ pi}{4}-frac{ pi}{6}

    Aplicando cosseno em ambos os lados:

    cos : beta=cos( frac{ pi}{4}-frac{ pi }{6})

    Usando a relação de soma / subtração de arcos:

    cos :beta= sen :frac{ pi}{4} cdot sen : frac{ pi}{6} +cos :frac{ pi}{4} cdot cos : frac{ pi}{6}

    Substituindo os valores de seno e cosseno conhecidos:

    cos :beta= frac{sqrt2}{2} cdot frac{1}{2}+frac{sqrt2}{2} cdot frac{sqrt3}{2}

    cos :beta= frac{sqrt2+sqrt6}{4}

    Provando a relação que devemos encontrar na segunda parte.

    12) Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade  de vencer.

      FAZER COMENTÁRIO

      a) Como se tratam de 5 times, cada um deles fará 4 jogos, um com cada outro time da competição. Portanto, se um time vencer os 4 jogos, consequentemente os outros 4 times terão perdido pelo menos um jogo, não sendo possível então, dois times terem 4 vitórias cada. 

      ----------------------------------------------------------------------------------

      b) Supondo que o time "A" seja o campeão com 4 vitórias, temos:

      probabilidade de 4 vitórias de A: frac{1}{2} timesfrac{1}{2} timesfrac{1}{2} timesfrac{1}{2} =frac{1}{16}

      como o primeiro classificado pode ser qualquer um dos 5 times, e a probabilidade de um deles é  frac{1}{16}, basta multiplicá-la por 5: 5 times frac{1}{16} =frac{5}{16}

      --------------------------------------------------------------------------------------------

      c) 

      A única forma de se terminar a competição com as 5 equipes empatadas é se todas vencerem 2 jogos e perderem 2.

      Sendo assim, vamos calcular de quantas maneiras isso pode ocorrer fixando configurações para alguns times e analisando as consequências para os outros. 

      Fixando a configuração A vence B e C e perde para D e E, temos os seguintes desdobramentos possíveis:

      (obs: V significa vitória do time da linha sobre o time da coluna e D, derrota  do time da linha sobre o time da coluna)

      Com B vencendo C e D (e perdendo para A e E)

       

      A

      B

      C

      D

      E

      A

      -

      V

      V

      D

      D

      B

      D

      -

      V

      V

      D

      C

      D

      D

      -

      V

      V

      D

      V

      D

      D

      -

      V

      E

      V

      V

      D

      D

      -

      Com B vencendo C e E (e perdendo para A e D)

       

      A

      B

      C

      D

      E

      A

      -

      V

      V

      D

      D

      B

      D

      -

      V

      D

      V

      C

      D

      D

      -

      V

      V

      D

      V

      V

      D

      -

      D

      E

      V

      D

      D

      V

      -

      Com B vencendo D e E (e perdendo para A e C)

       

      A

      B

      C

      D

      E

      A

      -

      V

      V

      D

      D

      B

      D

      -

      D

      V

      V

      C

      D

      V

      -

      D

      V

      D

      V

      D

      V

      -

      D

      E

      V

      D

      D

      V

      -

      ou

       

      A

      B

      C

      D

      E

      A

      -

      V

      V

      D

      D

      B

      D

      -

      D

      V

      V

      C

      D

      V

      -

      V

      D

      D

      V

      D

      D

      -

      V

      E

      V

      D

      V

      D

      -

      Sendo assim, há 4 configurações possíveis para cada configuração de A. 
      Para calcular o total de configurações possíveis de A, basta permutar os quatro elementos ( V,V,D,D). Como são repetidos 2 a 2, trata-se de uma permutação com repetição:

      P^4_{2,2}=frac{4!}{2!2!}=3times2=6

      Como há seis configurações possíveis para A vencer duas e perder duas e para cada uma há 4 configurações possíveis para os outros times, temos um total de: 6 times4=24  formas possíveis dos 5 times empatarem. 

      Para se determinar a probabilidade, temos que descobrir todos os resultados possíveis.

      Como o campeonato tem 10 jogos:

      AxB , AxC , AxD , AxE

      BxC , BxD , BxE

      CxD , CxE

      DxE

      E cada jogo tem 2 resultados possíveis (vitória ou derrota), temos 2^{10} formas possíveis. 

      Portanto, a probabilidade será:

      frac{24}{2^{10}}=frac{3}{128}

       

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