Prova de Matemática da Fuvest 2018 Resolvida
11) Considere as funções e definidas por f(x) = senx e g(x) = cosx. Sendo f e g bijetoras, existem funções f-1 e g-1 tais que f-1 f = f f-1 = id e g-1 g = g g-1 = id, em que id é a função identidade.
a)
Substituindo as funções f e g no que deve ser demonstrado:
Considerando
Então aplicando sen em ambos os lados da equação:
pela relação fundamental:
substituindo
como estamos alfa deve estar entre 0 e 1, estamos no primeiro quadrante, onde o cosseno é positivo, logo:
_______________________________________________________________
b)
analisando a primeira parte, temos:
analisando a segunda parte, temos:
Mas, como:
Substituindo alfa, e isolando beta, temos:
Aplicando cosseno em ambos os lados:
Usando a relação de soma / subtração de arcos:
Substituindo os valores de seno e cosseno conhecidos:
Provando a relação que devemos encontrar na segunda parte.
12) Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade de vencer.
a) Como se tratam de 5 times, cada um deles fará 4 jogos, um com cada outro time da competição. Portanto, se um time vencer os 4 jogos, consequentemente os outros 4 times terão perdido pelo menos um jogo, não sendo possível então, dois times terem 4 vitórias cada.
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b) Supondo que o time "A" seja o campeão com 4 vitórias, temos:
probabilidade de 4 vitórias de A:
como o primeiro classificado pode ser qualquer um dos 5 times, e a probabilidade de um deles é , basta multiplicá-la por 5:
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c)
A única forma de se terminar a competição com as 5 equipes empatadas é se todas vencerem 2 jogos e perderem 2.
Sendo assim, vamos calcular de quantas maneiras isso pode ocorrer fixando configurações para alguns times e analisando as consequências para os outros.
Fixando a configuração A vence B e C e perde para D e E, temos os seguintes desdobramentos possíveis:
(obs: V significa vitória do time da linha sobre o time da coluna e D, derrota do time da linha sobre o time da coluna)
Com B vencendo C e D (e perdendo para A e E)
A | B | C | D | E | |
A | - | V | V | D | D |
B | D | - | V | V | D |
C | D | D | - | V | V |
D | V | D | D | - | V |
E | V | V | D | D | - |
Com B vencendo C e E (e perdendo para A e D)
A | B | C | D | E | |
A | - | V | V | D | D |
B | D | - | V | D | V |
C | D | D | - | V | V |
D | V | V | D | - | D |
E | V | D | D | V | - |
Com B vencendo D e E (e perdendo para A e C)
A | B | C | D | E | |
A | - | V | V | D | D |
B | D | - | D | V | V |
C | D | V | - | D | V |
D | V | D | V | - | D |
E | V | D | D | V | - |
ou
A | B | C | D | E | |
A | - | V | V | D | D |
B | D | - | D | V | V |
C | D | V | - | V | D |
D | V | D | D | - | V |
E | V | D | V | D | - |
Sendo assim, há 4 configurações possíveis para cada configuração de A.
Para calcular o total de configurações possíveis de A, basta permutar os quatro elementos ( V,V,D,D). Como são repetidos 2 a 2, trata-se de uma permutação com repetição:
Como há seis configurações possíveis para A vencer duas e perder duas e para cada uma há 4 configurações possíveis para os outros times, temos um total de: formas possíveis dos 5 times empatarem.
Para se determinar a probabilidade, temos que descobrir todos os resultados possíveis.
Como o campeonato tem 10 jogos:
AxB , AxC , AxD , AxE
BxC , BxD , BxE
CxD , CxE
DxE
E cada jogo tem 2 resultados possíveis (vitória ou derrota), temos formas possíveis.
Portanto, a probabilidade será: