Uma cerca tem formato de um polígono regular de n lados, cada lado com comprimento l. A égua Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de comprimento 1, no exterior da região delimitada pelo polígono. Calcule a área disponível para pasto supondo que:
a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono;
b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca.
Resposta:
a) O ângulo interno de um polígono de n lados é:
.
O espaço que a Estrela terá para pastar será um setor circular externo à cerca, em qualquer um de seus vértices. Este setor círcular têm ângulo:
Logo, sua área será:
b) Independente do número de lados do polígono, o espaço de pasto sempre se apresentará da seguinte forma:
Como um quadrado de lado l acima de todas as arestas, e um setor circular de ângulo entre estes quadrados.
O ângulo mede:
A área de pasto terá n quadrados e n setores circulares (um quadrado para cada aresta, um setor para cada vértice), assim sendo, a área total é:
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