Prova de Matemática da Fuvest 2019 Resolvida

Questão 1

Para entender melhor a relação entre os dois índices, um novo gráfico foi feito com os pares $(x_i,y_i)$ , isto é, com o índice 1 na abscissa contra o índice 2 na ordenada. O resultado foi:

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A alternativa correta é letra B)

Os índices foram normalizados tal que a média de todos $x_i : e: y_i$ desse 1. Logo :

$frac{x_1+x_2+...+x_i+...+x_n}{n}=frac{y_1+y_2+...+y_i+...+y_n}{n}=1$

Repare do gráfico do enunciado que, quando $x_ileqslant 1,0$ , quase sempre $y_igeqslant 1,0$ e o oposto disso também ocorre.

Logo, no início do no gráfico, $x_ileqslant 1,0$ os pontos estão acima de $y_i=1,0$

Depois de $x_igeqslant 1,0$ , os pontos estão abaixo de $y_i=1,0$

Desta forma, temos um gráfico decrescente

O melhor gráfico que mais se assemelha ao descrito acima é o da letra B.

Questão 2

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?

A) $frac{1}{9}$
B) $frac{17}{81}$
C) $frac{1}{3}$
D) $frac{51}{125}$
E) $frac{125}{243}$

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A alternativa correta é letra B)

Para que a seta pare na sua posição original, o número de passos para a esquerda deve ser igual ao número de passos para a direita:

E = Passos para a esquerda

D = Passos para a direita

P = Parada

Logo, temos as seguintes possibilidades (P+E+D=5)

P = 1, E=2, D=2

Permutando todas as letras (para considerar as ordens diferentes que essa configuração pode acontecer) excluindo-se as repetições:

$underline{E} underline{E} underline{P} underline{D} underline{D} rightarrow Possibilidades = frac{5!}{2!2!} = 30$

P = 3, E=1, D=1

$underline{E} underline{P} underline{P} underline{P} underline{D} rightarrow Possibilidades = frac{5!}{3!} = 20$

P = 5, E=0, D=0

$underline{P} underline{P} underline{P} underline{P} underline{P} rightarrow Possibilidades = 1$

Assim, temos 30+20+1 = 51 possibilidades de se atingir o objetivo.

O total de possibilidades de jogadas são: $3^5$

Assim, a probabilidade pedida é:

$Probabilidade = frac{5!}{3^5} = frac{51}{3^5}=frac{17}{81}$

3) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Se log₂ y = – (1/2) + (2/3) log₂ x, para x > 0 , então

A) $y = frac{sqrt[3]{x^2}}{sqrt{2}}$
B) $y = sqrt{frac{x^3}{2}}$
C) $y = -frac{1}{sqrt{2}}+sqrt[3]{x^2}$
D) $y = sqrt{2}cdotsqrt[3]{x^2}$
E) $y = sqrt{2x^3}$

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A alternativa correta é letra A)

$log_{2}y = -frac{1}{2}+frac{2}{3}log_{2}x$ , x > 0:

$log_{2}y = -frac{1}{2}+log_{2}left (x^{frac{2}{3}} right )$

$log_{2}y - log_{2}left (x^{frac{2}{3}} right )= -frac{1}{2}$

$log_{2}left (frac{y}{x^{frac{2}{3}}} right ) = -frac{1}{2}$

Colocando ambos os lados da equação como expoentes na base 2, obtemos:

$frac{y}{x^{frac{2}{3}}} = 2^{-frac{1}{2}}$

$y = frac{1}{sqrt{2}}cdot x^{frac{2}{3}}$

$y = frac{sqrt[3]{x^2}}{sqrt{2}}$

Questão 4

A) 300 m²
B) 360 m²
C) 600 m²
D) 720 m²
E) 1.200 m²

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A alternativa correta é letra C)

Da figura do enunciado e sabendo que $l_2=28cm$ e $l_1=20cm$ , respectivamente as larguras dos prédios 2 e 1, podemos deduzir que a lona será num formato de um trapézio.

AB = 28 cm

DC = 20 cm

DE = h = altura do trapézio (lona).

Logo a área total da lona se da pela área do trapézio

$A=frac{20+28}{2}h=24h$

O ponto M é a projeção do ponto D na lateral de 2.

Logo $overline{DM}$ = 15 m

$overline{ME}$ é igual ao desnível entre os dos prédios, ou seja, 80m - 60m = 20 m

Por Pitágoras temos :

$h^2=overline{DM}^2+overline{ME}^2\\h^2=15^2+20^2 \\h=25m$

Logo $A=24cdot 25=600m^2$

Questão 5

A) 2,1 m³
B) 2,3 m³
C) 3,0 m³
D) 4,2 m³
E) 6,0 m³

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A alternativa correta é letra A)

Base de um degrau:

Área da base = 20*50 = 1000 cm2

Altura de desnível (Entre um degrau e outro): 10 cm

Repare que quando adicionamos um degrau a outro, a altura do outro degrau em relação ao chão é igual à altura do degrau anterior em relação ao chão mais 10 cm.

Logo, para um n-ésimo degrau, a altura do mesmo em relação ao chão é

$H_{n} = H_{n-1}+10,$ onde Hn-1 é a altura do degrau anterior

Para se calcular o volume da escada somamos o volume de cada degrau, sendo o volume de cada degrau igual a ABASE vezes a altura em relação ao chão.

Para n = 20:

$V_{total} = A_{base}*H_{1}+ A_{base}*H_{2}+...+ A_{base}*H_{20}$

$V_{total} = A_{base}*(H_{1}+ H_{2}+...+ H_{19}+H_{20})$

Repare que o seguinte equacionamento pode ser feito:

Logo,

$H_{20}+H_{19}+...+H_{2}+H_{1}=H_{1}+19*10+H_{1}*18*10+...+H_{1}*10+H_{1} = 0$

$20H_{1}+10*(1+2+...+19),$

Como essa sequência (1+2+...+19) pode ser vista como uma P.A. de razão +1, podemos usar a soma dos n termos de uma P.A. $S_n=frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Logo, obtemos:

$1+2+...+19 = frac{(19+1)*19}{2}=190$

$H_{20}+H_{19}+...+H_{2}+H_{1}=20*H_{1}+10*190, sendo$

$H_{1} = 10$

$V_{TOTAL} = A_{BASE}*(20*10*10*190)$

$V_{TOTAL} = 1000*210*10 = 2,1*10^6 cm^3$

6) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1 mm de espessura. A pilha é formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de grandeza:

A) da altura de um poste
B) da altura de um prédio de 30 andares
C) do comprimento da Av. Paulista
D) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ)
E) do diâmetro da Terra.

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A alternativa correta é letra D)

1ª operação: 1 folha

2ª operação: 1 folha

3ª operação: 1+1 = 2 folhas

4ª operação: 1+1+2 = 4 folhas

5ª operação: 1+1+2+4 = 8 folhas

6ª operação: 16 folhas

Temos a seguinte sequência: (1,1,2,4,8,16,32,...) -> PG de razão q=2.

Após a 33ª operação teremos:

(1,1,2,4,8,16,32,64,...)

1 termo + 32 termos da PG = 33 operações

Nº folhas: $1 + S_{PG} = 1 + frac{1*(2^{32}-1)}{2-1}=2^{32} folhas$

Ordem de grandeza da altura

$H = 2^{32} folhas*0,1mm = (2^{12})^2*2^8*10^{-4}m$

$H = (4,096*10^3)^2*256*10^{-4}m$

$H = (4,0)^2*10^6*2,56*10^2*10^{-4}approx 16*3*10^4 m$

$H = 48*10^4 m cong 480 km$

7) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Um dono de restaurante assim descreveu a evolução do faturamento quinzenal de seu negócio, ao longo dos dez primeiros meses após a inauguração: “Até o final dos três primeiros meses, tivemos uma velocidade de crescimento mais ou menos constante, quando então sofremos uma queda abrupta, com o faturamento caindo à metade do que tinha sido atingido. Em seguida, voltamos a crescer, igualando, um mês e meio depois dessa queda, o faturamento obtido ao final do terceiro mês. Agora, ao final do décimo mês, estamos estabilizando o faturamento em um patamar 50% acima do faturamento obtido ao final do terceiro mês”. Considerando que, na ordenada, o faturamento quinzenal está representado em unidades desconhecidas, porém uniformemente espaçadas, qual dos gráficos é compatível com a descrição do comerciante?

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A alternativa correta é letra E)

1ª informação: Crescimento mais ou menos constante nos primeiros três meses

2ª informação: Na 1ª quinzena depois do terceiro mês, há uma queda abrupta, deixando o faturamento pela metade do que aquele conquistado ao fim do terceiro mês.

3ª informação: Voltando a crescer, iguala-se ao faturamento do final do terceiro mês, um mês e meio após a queda

4ª informação: Ao final do 10º mês o faturamento está 50% maior do que aquele do final do terceiro mês

8) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Considere a função polinomial ݂f: ℝ → ℝ definida por f(x) = ax² + bx +c, em que a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0

A) -2
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6

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A alternativa correta é letra B)

$f(x) = ax^2+bx+c, aneq 0$

$P(2,2) epsilon f(x)$

$Q(0,-6) epsilon f(x)$

Substituindo:

$P(2,2) rightarrow f(2) = 2 = 4a+2b+c$

$Q(0,-6) rightarrow f(0) = -6 = c$

Graficamente:

1) $P(2,2)$ é o único ponto de intersecção do polinômio com a reta y=2.

2) $f(x) = ax^2+bx+2$ é uma parábola.

3) f(x) intersecta a reta x=0.

Assim, temos que esta é a única configuração possível. Pelo gráfico, temos que:

$x_{v} = -frac{b}{2a} = 2$

$b = -4a$

Como temos:

$left{begin{matrix}2 = 4a+2b+c \ c=-6 \ b=-4a end{matrix}right.$

Concluímos que:

$2 = 4a+2(-4a)+-6$

$4a = -8$

$a = -2$

$b = 8$

Logo,

$a + b + c = -2 + 8 -6 = 0$

9) Se a função f: R – {2} → R é definida por f(x) = (2x+1) / (x-2) e a função g: R -{2} → R é definida por g(x) = f(f(x)), então g(x) é igual a

A) $frac{x}{2}$
B) $x^2$
C) $2x$
D) $2x+3$
E) $x$

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A alternativa correta é letra E)

$f(x)=frac{2x+1}{x-2}$

Como g(x) é definida como f(f(x)), então substituindo x por f(x) na expressão de f(x), temos:

$g(x)=frac{2f(x)+1}{f(x)-2} = frac{2frac{2x+1}{x-2}+1}{frac{2x+1}{x-2}-2}$

$g(x)= frac{frac{4x+2+x-2}{x-2}}{frac{2x+1-2x+4}{x-2}} = frac{5x}{x-2}*frac{x-2}{5} = x$

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10) (Fuvest 2019 – 1ª fase) Em uma família, o número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos. Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs. O número total de filhos e filhas da família é

A) 4
B) 5
C) 7
D) 10
E) 15

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A alternativa correta é letra C)

Irmãos : x

Irmãs: y

1º passo: 1 menina tem y - 1 irmãs.

Pelo enunciado, "número de irmãs de cada filha é igual à metade do número de irmãos":

$frac{x}{2}=y-1Rightarrow x=2y-2$

2º passo: 1 menino tem x - 1 irmãos

Pelo enunciado, "Cada filho tem o mesmo número de irmãos e irmãs":

$x-1=y$

Montando o sistema:

$left{begin{matrix} x=2y-2\x=y+1 end{matrix}right.$

Como x já está isolado (em ambas equações) basta substitui-lo em qualquer uma equação escolhida, obtendo:

$\2y-2=y+1\y=3\x=4\x+yRightarrow 3+4=7$

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