Início » Prova da Fuvest 2019 Resolvida » Prova de Matemática da Fuvest 2019 Resolvida » A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

Continua após a publicidade..

A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam

$A=bigl(begin{smallmatrix} 3 &2 \ 1& 1 end{smallmatrix}bigr)$ e $B=bigl(begin{smallmatrix} 1 &-2 \ -1& 3 end{smallmatrix}bigr)$ , respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é $M=bigl(begin{smallmatrix} F & U & V\ E & S & T end{smallmatrix}bigr)$ , que, numericamente corresponde a $M=bigl(begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}bigr).$

Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes $N=Acdot M=bigl(begin{smallmatrix} 3 &2 \ 1 & 1 end{smallmatrix}bigr)bigl(begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}bigr) = bigl(begin{smallmatrix} 28 & 101 & 106\ 11 & 40 & 42 end{smallmatrix}bigr)$ .

a) Se a matriz codificadora é $A=bigl(begin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}bigr)$ e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

b) Se a matriz codificadora é $A=bigl(begin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}bigr)$ e o destinatário recebe a matriz codificada $N = bigl(begin{smallmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\\ 47 & 13 & 9 & 75 end{smallmatrix}bigr)$ , qual foi a mensagem enviada ?

c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se $A=bigl(begin{smallmatrix} 2 &-7 \\ 4& -14 end{smallmatrix}bigr)$ , encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a $bigl(begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 end{smallmatrix}bigr)$

Resposta:

Seja A = matriz codificadora e B = matriz decodificadora, é certo que A.B = I.

a) $A=begin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}$ , $Mbegin{pmatrix} E & S & C\ O & L & A end{pmatrix}=begin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}$

$N = Acdot M=begin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 20 & 31 & 4\ 35 & 43 & 5 end{pmatrix}$

b) Temos que $N = Acdot M$ , se fizermos $A^{-1}N=Acdot A^{-1}cdot M$ , vem : $A^{-1}N=M$ . Logo, a matriz decodificadora é $B=A^{-1}$ . Assim,

$Acdot A^{-1}=Irightarrow begin{pmatrix} 1 &1 \ 1& 2 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} a & b\ c& d end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Pela igualdade, vem:

$begin{pmatrix} a +c& b+d\ a+2c& b+2d end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$left{begin{matrix} a+2c=0rightarrow a=-2c\ a+c=1rightarrow -2c+c=1therefore c=-1, a=2\ b+d=0therefore b=-d\ b+2d=1therefore d=1, b=-1 end{matrix}right.$

portanto, A^-1=B= $begin{pmatrix} 2 & -1\ -1 & 1 end{pmatrix}$ . Com isso, descobrimos a matriz codificadora.

$M=A^{-1}cdot N=begin{pmatrix} 2 & -1\ -1 & 1 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\ 47& 13 & 9 & 75 end{pmatrix}$

$M=begin{pmatrix} 19 & 5 & 7 & 21\ 14& 4 & 1 & 27 end{pmatrix}=begin{pmatrix} S & E & G & U\ N& D & A & * end{pmatrix}$

c) $N=Acdot M=begin{pmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 2 & -7\ 4& -14 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} a & b\ c & d end{pmatrix}$

Pela igualdade, vem,

$0=2a-7cRightarrow 2a=7c$

$0=2b-7dRightarrow 2b=7d$

$0=4a-14cRightarrow 4a=14cRightarrow 2a=7c$

$0=4b-14dRightarrow 2b=7d$

Podemos fazer,

$c=2, a=7, d=4, b=14Rightarrow M=begin{pmatrix} G& N\ B& D end{pmatrix}$

$c=4, a=14, d=2, b=7Rightarrow M=begin{pmatrix} N& G\ D& B end{pmatrix}$

$c=6, a=21, d=2, b=7Rightarrow M=begin{pmatrix} U& G\ F& B end{pmatrix}$

$c=2, a=7, d=6, b=21Rightarrow M=begin{pmatrix} G& U\ B& F end{pmatrix}$

Continua após a publicidade..

Deixe um comentário Cancelar resposta