Início » Prova da Fuvest 2019 Resolvida » Prova de Matemática da Fuvest 2019 Resolvida » (Fuvest 2019 – 1ª fase) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

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(Fuvest 2019 – 1ª fase) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

Qual é a probabilidade de que, após 5 rodadas, a seta volte à posição inicial?

A) $frac{1}{9}$
B) $frac{17}{81}$
C) $frac{1}{3}$
D) $frac{51}{125}$
E) $frac{125}{243}$

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Resposta:

A alternativa correta é letra B)

Para que a seta pare na sua posição original, o número de passos para a esquerda deve ser igual ao número de passos para a direita:

E = Passos para a esquerda

D = Passos para a direita

P = Parada

Logo, temos as seguintes possibilidades (P+E+D=5)

P = 1, E=2, D=2

Permutando todas as letras (para considerar as ordens diferentes que essa configuração pode acontecer) excluindo-se as repetições:

$underline{E} underline{E} underline{P} underline{D} underline{D} rightarrow Possibilidades = frac{5!}{2!2!} = 30$

P = 3, E=1, D=1

$underline{E} underline{P} underline{P} underline{P} underline{D} rightarrow Possibilidades = frac{5!}{3!} = 20$

P = 5, E=0, D=0

$underline{P} underline{P} underline{P} underline{P} underline{P} rightarrow Possibilidades = 1$

Assim, temos 30+20+1 = 51 possibilidades de se atingir o objetivo.

O total de possibilidades de jogadas são: $3^5$

Assim, a probabilidade pedida é:

$Probabilidade = frac{5!}{3^5} = frac{51}{3^5}=frac{17}{81}$

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(Fuvest 2019 – 1ª fase) Uma seta aponta para a posição zero no instante inicial. A cada rodada, ela poderá ficar no mesmo lugar ou mover‐se uma unidade para a direita ou mover‐se uma unidade para a esquerda, cada uma dessas três possibilidades com igual probabilidade.

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