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(FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 2)1

Na figura, OABC é um quadrado e CDE é um triângulo equilátero tal que OC = CE = 2 .

a) Determine a equação da reta que passa por E e por A

b) Determine a equação da reta que passa por D e é perpendicular à reta $overleftrightarrow {AE}$

c) Determine um ponto P no segmento OA , de modo que a reta que passa por E e por P divida o quadrado em duas regiões, de tal forma que a área da região que contém o segmento OC seja o dobro da área da outra região.

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Resposta:

a) $r_a$ é a reta pedida.

$r_a$ = ax + by + c = 0

Para o ponto A = ( 2,0 ) temos :

a.2 + b.0 + c = 0

c = -2.a

Logo,

$r_a$ = a.x + by -2a = 0

Para o ponto E = ( 0,4 ) :

a.0 + b.4 - 2.a = 0

a = 2.b

Daí temos :

$r_a$ : 2b.x + b.y - 2.(2b) = 0

$r_a$ : 2x + y - 4 =0

b) $r_b$ é a reta pedida.

Como $r_b$ é perpendicular a $r_a$ então coeficiente angular de $r_b$ , $m_{r_b}$ , e o coeficiente angular de $r_a$ , $m_{r_a}$ , seguem a relação:

$\m_{r_a}cdot m_{r_b}=-1\\m_{r_b}=frac{-1}{m_{r_a}}$

Em $r_a$ :

y = - 2.x + 4

$m_{r_a}=-2$

Logo:

$m_{r_b}=frac{-1}{-2}=frac{1}{2}$

Portanto temos que:

$r_b:y=frac{1}{2}x+k$

Como $r_b$ passa em $D =(sqrt{3}:;3)$ , então :

$\3 = frac{1}{2}cdot sqrt{3}+k\\k=3-frac{sqrt{3}}{2}$

Logo:

$r_b:y=frac{1}{2}x+3-frac{sqrt{3}}{2}$

c) Seja P=(x ; y) = (x; 0) e P'=(x' ; y') = (x' ; 2)

Observe o quadrado OABC:

Como a reta tracejada passa por E = (0 ; 4), então:

a.0 + b.4 + c = 0

c = - 4b

Logo a reta tracejada tem como equação a.x + b.y - 4b =0

Em P' :

a. x' + b.2- 4b = 0

a.x' - 2.b = 0

a.x' = 2b

x' = 2b/a

Em P :

a.x + b.0 - 4b = 0

a.x = 4b

x = 4b/a

Logo x = 2.x'

Chamando x' de l , temos:

trapézio OPP'C

$S_1 = frac{(2l+l)2}{2}=3l$

trapézio APP'B :

$S_2 = frac{(2-2l+2-l)2}{2}=4-3l$

$\s_1 = 2cdot S_2 Rightarrow \\3l=2cdot (4-3l)\\3l = 8-6l\\9l=8\\l=frac{8}{9}\\\Como::P=(x;0)=(2x':;0)\\P=(frac{16}{9};0)$

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