Início » Prova da Fuvest 2019 Resolvida » Prova de Matemática da Fuvest 2019 Resolvida » (FUVEST – 2019) A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

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(FUVEST – 2019) A figura mostra uma escada maciça de quatro degraus, todos eles com formato de um paralelepípedo reto‐retângulo. A base de cada degrau é um retângulo de dimensões 20 cm por 50 cm, e a diferença de altura entre o piso e o primeiro degrau e entre os degraus consecutivos é de 10 cm. Se essa escada for prolongada para ter 20 degraus, mantendo o mesmo padrão, seu volume será igual a

A) 2,1 m³
B) 2,3 m³
C) 3,0 m³
D) 4,2 m³
E) 6,0 m³

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Resposta:

A alternativa correta é letra A)

Base de um degrau:

Área da base = 20*50 = 1000 cm2

Altura de desnível (Entre um degrau e outro): 10 cm

Repare que quando adicionamos um degrau a outro, a altura do outro degrau em relação ao chão é igual à altura do degrau anterior em relação ao chão mais 10 cm.

Logo, para um n-ésimo degrau, a altura do mesmo em relação ao chão é

$H_{n} = H_{n-1}+10,$ onde Hn-1 é a altura do degrau anterior

Para se calcular o volume da escada somamos o volume de cada degrau, sendo o volume de cada degrau igual a ABASE vezes a altura em relação ao chão.

Para n = 20:

$V_{total} = A_{base}*H_{1}+ A_{base}*H_{2}+...+ A_{base}*H_{20}$

$V_{total} = A_{base}*(H_{1}+ H_{2}+...+ H_{19}+H_{20})$

Repare que o seguinte equacionamento pode ser feito:

Logo,

$H_{20}+H_{19}+...+H_{2}+H_{1}=H_{1}+19*10+H_{1}*18*10+...+H_{1}*10+H_{1} = 0$

$20H_{1}+10*(1+2+...+19),$

Como essa sequência (1+2+...+19) pode ser vista como uma P.A. de razão +1, podemos usar a soma dos n termos de uma P.A. $S_n=frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Logo, obtemos:

$1+2+...+19 = frac{(19+1)*19}{2}=190$

$H_{20}+H_{19}+...+H_{2}+H_{1}=20*H_{1}+10*190, sendo$

$H_{1} = 10$

$V_{TOTAL} = A_{BASE}*(20*10*10*190)$

$V_{TOTAL} = 1000*210*10 = 2,1*10^6 cm^3$

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Resposta:

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