Prova de Matemática da Fuvest 2019 Resolvida

Continua após a publicidade..

11) A multiplicação de matrizes permite codificar mensagens. Para tanto, cria-se uma numeração das letras do alfabeto, como na tabela abaixo. (O símbolo * corresponde a um espaço).

Como exemplo, suponha que a mensagem a ser transferida seja FUVEST, e que as matrizes codificadora e decodificadora sejam

$A=bigl(begin{smallmatrix} 3 &2 \ 1& 1 end{smallmatrix}bigr)$ e $B=bigl(begin{smallmatrix} 1 &-2 \ -1& 3 end{smallmatrix}bigr)$ , respectivamente. A matriz em que se escreve a mensagem é $M=bigl(begin{smallmatrix} F & U & V\ E & S & T end{smallmatrix}bigr)$ , que, numericamente corresponde a $M=bigl(begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}bigr).$

Para fazer a codificação da mensagem, é feito o produto de matrizes $N=Acdot M=bigl(begin{smallmatrix} 3 &2 \ 1 & 1 end{smallmatrix}bigr)bigl(begin{smallmatrix} 6 & 21 & 22\ 5 & 19 & 20 end{smallmatrix}bigr) = bigl(begin{smallmatrix} 28 & 101 & 106\ 11 & 40 & 42 end{smallmatrix}bigr)$ .

a) Se a matriz codificadora é $A=bigl(begin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}bigr)$ e a mensagem a ser transmitida é ESCOLA, qual é a mensagem codificada que o destinatário recebe?

b) Se a matriz codificadora é $A=bigl(begin{smallmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{smallmatrix}bigr)$ e o destinatário recebe a matriz codificada $N = bigl(begin{smallmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\\ 47 & 13 & 9 & 75 end{smallmatrix}bigr)$ , qual foi a mensagem enviada ?

c) Nem toda matriz A é uma matriz eficaz para enviar mensagens. Por exemplo, se $A=bigl(begin{smallmatrix} 2 &-7 \\ 4& -14 end{smallmatrix}bigr)$ , encontre 4 sequências de 4 letras de forma que as respectivas matrizes codificadas sejam sempre iguais a $bigl(begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 end{smallmatrix}bigr)$

FAZER COMENTÁRIO

Seja A = matriz codificadora e B = matriz decodificadora, é certo que A.B = I.

a) $A=begin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}$ , $Mbegin{pmatrix} E & S & C\ O & L & A end{pmatrix}=begin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}$

$N = Acdot M=begin{pmatrix} 1 & 1\ 1& 2 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} 5 & 19 & 3\ 15 & 12 & 1 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 20 & 31 & 4\ 35 & 43 & 5 end{pmatrix}$

b) Temos que $N = Acdot M$ , se fizermos $A^{-1}N=Acdot A^{-1}cdot M$ , vem : $A^{-1}N=M$ . Logo, a matriz decodificadora é $B=A^{-1}$ . Assim,

$Acdot A^{-1}=Irightarrow begin{pmatrix} 1 &1 \ 1& 2 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} a & b\ c& d end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Pela igualdade, vem:

$begin{pmatrix} a +c& b+d\ a+2c& b+2d end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$left{begin{matrix} a+2c=0rightarrow a=-2c\ a+c=1rightarrow -2c+c=1therefore c=-1, a=2\ b+d=0therefore b=-d\ b+2d=1therefore d=1, b=-1 end{matrix}right.$

portanto, A^-1=B= $begin{pmatrix} 2 & -1\ -1 & 1 end{pmatrix}$ . Com isso, descobrimos a matriz codificadora.

$M=A^{-1}cdot N=begin{pmatrix} 2 & -1\ -1 & 1 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} 33 & 9 & 8 & 48\ 47& 13 & 9 & 75 end{pmatrix}$

$M=begin{pmatrix} 19 & 5 & 7 & 21\ 14& 4 & 1 & 27 end{pmatrix}=begin{pmatrix} S & E & G & U\ N& D & A & * end{pmatrix}$

c) $N=Acdot M=begin{pmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 2 & -7\ 4& -14 end{pmatrix}cdot begin{pmatrix} a & b\ c & d end{pmatrix}$

Pela igualdade, vem,

$0=2a-7cRightarrow 2a=7c$

$0=2b-7dRightarrow 2b=7d$

$0=4a-14cRightarrow 4a=14cRightarrow 2a=7c$

$0=4b-14dRightarrow 2b=7d$

Podemos fazer,

$c=2, a=7, d=4, b=14Rightarrow M=begin{pmatrix} G& N\ B& D end{pmatrix}$

$c=4, a=14, d=2, b=7Rightarrow M=begin{pmatrix} N& G\ D& B end{pmatrix}$

$c=6, a=21, d=2, b=7Rightarrow M=begin{pmatrix} U& G\ F& B end{pmatrix}$

$c=2, a=7, d=6, b=21Rightarrow M=begin{pmatrix} G& U\ B& F end{pmatrix}$

Continua após a publicidade..

12) (FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 5) Conforme se vê na figura, em um plano, encontram – se:

– duas retas perpendiculares r e s e o ponto O de intersecção dessas duas retas;

– um ponto $Qin s$ tal que a medida de $overline{OQ}$ é 5;

– uma circunferência c, centrada em Q, de raio 1;

– um ponto $Pin c$ tal que o segmento $overline{OP}$ intersecta c apenas em P.

Denotam-se $Theta = Qwidehat{O}P$ e $beta = Owidehat{Q}P$ .

a) Calcule $sen Theta$ , no caso em que $Theta$ assume o máximo valor possível na descrição acima.

b) Calcule $sen Theta$ , no caso em que $beta =60$

Ainda na figura, encontram-se:

– a reta contendo Q e P;

– a semirreta u partindo de P e contendo O;

– a semirreta w partindo de P para fora de c de modo que u e w estão em semiplanos distintos relativos a t.

Supõe-se que os ângulos formados por u e t, e por w e t sejam iguais a um certo valor a, com $0leq aleq 90$ . Caso w intersecte

r (como é o caso da figura), denotam- se R como esse único ponto de intersecção e $gamma = Owidehat{R}P.$

c) Determine a medida de $overline{OR}$ , no caso em que $alpha=45$

FAZER COMENTÁRIO

a) O maior valor possível para $Theta$ será quando a semirreta u for tangente à circunferência c:

Nesse caso, $sen Theta =frac{raio de c}{OQ} = frac{1}{5} rightarrow senTheta = frac{1}{5}$

b) Quando $beta = 60^o$ teremos o seguinte triângulo:

Pela lei dos cossenos:

$x^2 = 5^2+1^2-2 cdot 5 cdot 1 cdot cos (60^o)$

$x^2 = 26-frac{10}{2}=21 rightarrow x = sqrt{21}$

Então, agora pela lei dos senos:

$frac{x}{senbeta } = frac{1}{senTheta }$

$senTheta =frac{senbeta }{x}=frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{1}{sqrt{21}}=frac{1}{2sqrt{7}}$

$senTheta =frac{sqrt{7}}{14}$

c) No caso em que $alpha = 45^o$ , o triângulo OPR será retângulo

Encontrando $Theta$ :

$frac{5}{sen (135^o)} = frac{1}{senTheta }$

$\ sen Theta =frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{1}{5}=frac{sqrt{2}}{10} \ cos Theta = frac{7sqrt{2}}{10}$

Encontrando o valor de y:

$frac{y}{senbeta }=frac{5}{sen 135^o} rightarrow frac{y}{sen(Theta + 135^o)} = frac{5}{frac{sqrt{2}}{2}} = 5sqrt{2}$

Abrindo o seno da soma de arcos e isolando y, obtemos:

$y = 5sqrt{2}[senTheta cdot cos 135^o + sen 135^o cdot cos Theta ]$

Como o 135° é o arco correspondente de 45° no segundo quadrante, temos:

$sen(135^{circ})=sen(45^{circ})$ e $cos(135^{circ})=-cos(45^{circ})$

Logo:

$y = 5sqrt{2} cdot frac{sqrt{2}}{2}[cos Theta - senTheta ] = 5[frac{7sqrt{2}}{10}-frac{sqrt{2}}{10}] = 3sqrt{2}$

Então, $frac{y}{x} = senTheta rightarrow x = frac{3sqrt{2}}{frac{sqrt{2}}{10}} = 30$

$x = 30$

13) (FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 4) Uma urna tem A bolas azuis e B bolas brancas. Ao seremretiradas duas delas de uma só vez, aleatoriamente, aprobabilidade de saírem duas bolas azuis é denotada por Pa , a probabilidade de saírem duas bolas brancas édenotada por Pb, e a probabilidade de saírem duas bolasde cores diferentes é denotada por Pm .

a) Se A = 2 e B = 5, determine Pb.

b) Se o total de bolas da urna é 21 e Pm é o triplo de Pa, quantas bolas azuis e quantas bolas brancas há na urna ?

c) Se A = 3 , para quais valores de B o valor de Pm é estritamente maior do que 1/2 ?

FAZER COMENTÁRIO

Para determinarmos o total de formas diferentes possíveis de se retirar simultaneamente duas bolas de um número n total de bolas qualquer, devemos fazer uma combinação de n e 2: $C^n_2$ .

Como a ordem não importa, dessa maneira excluímos os resultados similares. Sendo assim, podemos escrever $p_a$ , $p_b$ e $p_m$ como:

$p_a=frac{binom{A}{2}}{binom{A+B}{2}};::P_b=frac{binom{B}{2}}{binom{A+B}{2}};::P_m=frac{A.B}{binom{A+B}{2}}$

a) A=2; B=5

$\p_B=frac{binom{5}{2}}{binom{7}{2}}=frac{frac{5!}{2!3!}}{frac{7!}{2!5!}}=frac{5!}{2!3!}.frac{2!5!}{7!}=frac{2.5}{7.3}\\\p_B=frac{10}{21}$

b) A + B = 21

$\p_n=3p_ARightarrow frac{A.B}{binom{21}{2}}=frac{3binom{A}{2}}{binom{21}{2}}Rightarrow AB=frac{3A(A-1)(A-2)!}{2!(A-2)!}$

$A(21-A)=frac{3}{2}A(A-1)\\42-2A=3A-3\\5A=45\\A=9\\B=21-9=12$

c) A=3

$P_M=frac{3B}{binom{3+B}{2}}> frac{1}{2}Rightarrow frac{3B.2!(B-1)!)}{(B+3)(B+2)(B+1)!}> frac{1}{2}$

$\12B> B^2+2B+3B+6\\B^2-7B+6< 0\\B=frac{7pm 5}{2}\\B=6::ou::B=1$

Portanto, B pode assumir qualquer valor de S={ 2, 3, 4, 5}

Continua após a publicidade..

14) (FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 3) A figura mostra o gráfico de uma função f.

a) Encontre todos os valores de tais que f(x) = -1.

b) Encontre todos os valores de x tais que $begin{vmatrix} f(x)+1 end{vmatrix} leq 1$

c) No sistema cartesiano da folha de respostas, desenhe o gráfico da função y = 1 – f(x+2)

FAZER COMENTÁRIO

a) Pelo gráfico vemos que y = f(x) = -1 nos pontos x =3 e x = 7

$Para:left | f(x)+1) right |leq 1,::temos :que:\\f(x)+1leq 1\\f(x)leq 0:::::::::(1)$

$\\-f(x)-1leq 1\\-f(x)leq 2::(multiplicando::por::-1)\\f(x)geq -2:::::::::(2)$

Juntando as condições (1) e (2) temos :

$-2leq f(x)leq 0$

Pelo gráfico vemos que a função ficará nesse intervalo para

$2leq xleq 4::::e::::6leq xleq 8$

c) f (x+2) : desloca-se o gráfico 2 unidades para a esquerda

-f ( x+2) : rebate-se o gráfico em relação ao eixo x

1 – f (x+2) : subimos o gráfico de 1 unidade

15) (FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 2)1

Na figura, OABC é um quadrado e CDE é um triângulo equilátero tal que OC = CE = 2 .

a) Determine a equação da reta que passa por E e por A

b) Determine a equação da reta que passa por D e é perpendicular à reta $overleftrightarrow {AE}$

c) Determine um ponto P no segmento OA , de modo que a reta que passa por E e por P divida o quadrado em duas regiões, de tal forma que a área da região que contém o segmento OC seja o dobro da área da outra região.

FAZER COMENTÁRIO

a) $r_a$ é a reta pedida.

$r_a$ = ax + by + c = 0

Para o ponto A = ( 2,0 ) temos :

a.2 + b.0 + c = 0

c = -2.a

Logo,

$r_a$ = a.x + by -2a = 0

Para o ponto E = ( 0,4 ) :

a.0 + b.4 - 2.a = 0

a = 2.b

Daí temos :

$r_a$ : 2b.x + b.y - 2.(2b) = 0

$r_a$ : 2x + y - 4 =0

b) $r_b$ é a reta pedida.

Como $r_b$ é perpendicular a $r_a$ então coeficiente angular de $r_b$ , $m_{r_b}$ , e o coeficiente angular de $r_a$ , $m_{r_a}$ , seguem a relação:

$\m_{r_a}cdot m_{r_b}=-1\\m_{r_b}=frac{-1}{m_{r_a}}$

Em $r_a$ :

y = - 2.x + 4

$m_{r_a}=-2$

Logo:

$m_{r_b}=frac{-1}{-2}=frac{1}{2}$

Portanto temos que:

$r_b:y=frac{1}{2}x+k$

Como $r_b$ passa em $D =(sqrt{3}:;3)$ , então :

$\3 = frac{1}{2}cdot sqrt{3}+k\\k=3-frac{sqrt{3}}{2}$

Logo:

$r_b:y=frac{1}{2}x+3-frac{sqrt{3}}{2}$

c) Seja P=(x ; y) = (x; 0) e P'=(x' ; y') = (x' ; 2)

Observe o quadrado OABC:

Como a reta tracejada passa por E = (0 ; 4), então:

a.0 + b.4 + c = 0

c = - 4b

Logo a reta tracejada tem como equação a.x + b.y - 4b =0

Em P' :

a. x' + b.2- 4b = 0

a.x' - 2.b = 0

a.x' = 2b

x' = 2b/a

Em P :

a.x + b.0 - 4b = 0

a.x = 4b

x = 4b/a

Logo x = 2.x'

Chamando x' de l , temos:

trapézio OPP'C

$S_1 = frac{(2l+l)2}{2}=3l$

trapézio APP'B :

$S_2 = frac{(2-2l+2-l)2}{2}=4-3l$

$\s_1 = 2cdot S_2 Rightarrow \\3l=2cdot (4-3l)\\3l = 8-6l\\9l=8\\l=frac{8}{9}\\\Como::P=(x;0)=(2x':;0)\\P=(frac{16}{9};0)$

Continua após a publicidade..

16) (FUVEST – 2019 – 2 fase – Questão 1) Resolva os três itens abaixo.

a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos 6
primeiros termos dessa progressão.

b) Calcule a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4.

c) A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é n(2n+1), qualquer que seja n $geq$ 1. Encontre o vigésimo termo dessa progressão.

FAZER COMENTÁRIO

a) Seja a P.G de elementos $a_n$ , n= 1, 2, ….

$a_1=5: e : a_3=45,: q> 0,:$ $q$ é a razão.

Logo,

$\a_3=a_1cdot q^2\\45=5cdot q^2\\q^2=frac{45}{5}\\q^2=9\\q=3$

A soma dos 6 primeiro termos é:

$\S=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6 \\Logo:\\S=a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5\\S=a_1(1+q+q^2+q^3+q^4+q^5)\\S= 5cdot left ( frac{q^6 -1}{q-1} right )=5cdot left ( frac{3^6-1}{3-1} right )=5cdot 364=1820$

b) Números divisíveis por 3 seguem a regra geral de sequência 4K, k=1,2,3,…..

Repare que o somatório dos divisíveis por 4 é o somatório de uma P.A. de 1º elemento 4, razão 4 e último elemento 108 (menor que 112).

A soma dos 27 primeiros termos se dá por:

$\S_4=4+.....+104+108=frac{(4+108)27}{2}=1512$

Logo, a soma pedida é a soma dos números 1 a 111 menos $S_4$

$\S=frac{(1+111)111}{2}-1512=4704$

c) Seja a PA : $a_1,a_2,.....,a_n$

Temos:

$a_1+a_2+.....+a_n=n(2n+1)\\n=1:a_1=1(2+1)=3\\n=2:a_1+a_2=2(2.2+1)=10$

Como é uma P.A., então $a_2=a_1+q ,:: q$ é a razão.

Logo, $a_1+a_2=a_1+(a_1+q)=2.a_1+q=2.3+q=6+q=10Rightarrow q=4$

Logo,

$a_{20}=a_1+19q=3+19.4=79$

« Anterior 1 2