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Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang’e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar.1111111111

Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto P, localizado a 2/3 $d_{TL}$ do centro da Terra e a 1/3 $d_{TL}$ do centro da Lua, sendo $d_{TL}$ a distância entre os centros da Terra e da Lua.

a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão $F_{T}/F_{L}$ entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.

Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua ( $R_{L}$ ), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,

b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional G, da massa da Lua $M_{L}$ e do raio da Lua $R_{L}$ ;

c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para 0,5 $R_{L}$ . Expresse seu resultado em termos de G, $R_{L}$ , $M_{L}$ e da massa da sonda $m_{S}$ .

Note e adote: O módulo da força gravitacional entre dois objetos de massas M e m separados por uma distância d é dado por $F = GMm/d^{2}$ .

A energia potencial gravitacional correspondente é dada por $U = - GMm/d$

Assuma a distância da Terra à Lua como sendo constante.

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Resposta:

Sendo massa da Terra: $M_T$

e massa da Lua: $M_L$

Temos:

$\ M_T = 82 cdot M_L \\ frac{M_T}{M_L} = 82 (I)$

Agora cosiderando as distâncias de cada um dos corpos em relação à sonda P, podemos obter a expressão da força gravitacional exercida por ambos:

$\ bullet F_T = frac{GM_TM_S}{(frac{2}{3}d_{TL})^2} \ = frac{GM_TM_S}{frac{4d_{TL}^2}{9}} \ = frac{9GM_TM_S}{4d_{TL}^2}$

$\ bullet F_L = frac{GM_LM_S}{left(frac{1}{3}d_{TL}right)^2} \ = frac{GM_LM_S}{frac{d_{DL}^2}{9}} \ = frac{9GM_LM_S}{d_{TL}^2}$

Por Fim:

$\ frac{F_T}{F_L} = frac{frac{cancel{9G}M_Tcancel{M_S}}{4cancel{d_{TL}^2}}}{frac{cancel{9G}M_Lcancel{M_S}}{cancel{d_{TL}^2}}} = frac{M_T}{4M_L}$

Substituindo então a fórmula (I) temos:

$= frac{82}{4} = 20,5$

Como a força que age no corpo é apenas a força gravitacional, então ela atuará como força centrípeta

$F_c = F_g$

$frac{cancel{M_S} cdot v^2}{cancel{2R_L}} = frac{Gcancel{M_S}M_L}{cancelto{2}{4}R_L^{cancel{2}}}$

$\ v^2 = frac{GM_L}{2R_L} \ v = sqrt{frac{GM_L}{2R_L}}$

Como a energia mecânica é dado por:

$E_M = U+E_C$

Sendo U a energia potencial gravitacional e Ec a energia cinética, temos na condição inicial:

$\ E_{mo} = frac{-GM_SM_L}{2R_L} + frac{1}{2}m_sv_o^2 \\$

Substituindo na relação encontrada na letra b:

$\ E_{Mo}=frac{-GM_SM_L}{2R_L} + frac{GM_SM_L}{4R_L} \\ \ frac{-2GM_SM_L+GM_SM_L}{4R_L} \ \ \ E_{Mo}= frac{-GM_SM_L}{4R_L}$

E agora analisando a energia final, levando em conta que a altura até a superfície agora é 0,5R_L mais o próprio raio da Lua, ou seja a distância do centro da Lua até a nossa sonda vale 1,5R_{L, com isso a energia final é dado por:}

$\ E_{mo} = frac{-GM_SM_L}{1,5R_L} + frac{1}{2}m_sv_f^2 \\$

Para achar a velocidade final devemos fazer o mesmo procedimento da letra "b" ou basta substituir a distância do centro da Lua até a sonda (que antes era 2 R_L) por 1,5R_L:

$\ F_c=F_g \ \ frac{cancel{M_S} cdot v_f^2}{cancel{1,5R_L}} = frac{Gcancel{M_S}M_L}{{(1,5.R_L)^{cancel 2}}}$

$v_f^2 = frac{GM_L}{1,5R_L}$

Substituindo assim na fórmula da energia temos:

$\ E_{Mf}=frac{-GM_SM_L}{1,5R_L} + frac{GM_SM_L}{3R_L} \\ \ frac{-2GM_SM_L+GM_SM_L}{3R_L} \ \ \ E_{Mf}= frac{-GM_SM_L}{3R_L}$

Logo a variação de energia foi de:

$Delta E = E_f-E_o Rightarrow Delta E = frac{GM_SM_L}{3R_L} - frac{GM_SM_L}{4R_L} Rightarrow Delta E = -frac{GM_SM_L}{12R_L}$

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Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang’e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar.1111111111

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