Prova de Física da Fuvest 2020 Resolvida

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11) (FUVEST – 2020) Em julho de 1969, os astronautas Neil Armstrong e Buzz Aldrin fizeram o primeiro pouso tripulado na superfície da Lua, enquanto seu colega Michael Collins permaneceu a bordo do módulo de comando Columbia em órbita lunar.Considerando que o Columbia estivesse em uma órbita perfeitamente circular a uma altitude de 260 km acima da superfície da Lua, o tempo decorrido (em horas terrestres ‐ h) entre duas passagens do Columbia exatamente acima do mesmo ponto da superfície lunar seria de

A) 0,5 h
B) 2 h
C) 4 h
D) 8 h
E) 72 h

A alternativa correta é letra B)

Como estamos considerando uma órbita circular, podemos fazer a seguinte relação: a força que faz o Columbia circular é a força gravitacional, ou seja a força resultante, portanto a força gravitacional atua como força centrípeta:

$\ F_{Centripeta}=F_{Gravitacional }\ \ frac{m.v^2}{R} = frac{G.m.M}{R^2}$

Considerando que m é a massa do Columbia M é a massa da Lua , e R é a distância da nave até o centro da Lua ou seja é a altura que ela se encontra da superfície mais o raio da Lua, logo temos simplificando a equação:

$v^2 = frac{G.M}{R}$

Como queremos o período de rotação basta lembrar que:

$v= frac{2 pi . R}{T}$

Se n lembrar dessa formula direto podia lembrar que:

$w= frac{2.pi }{T} e v = w.R Rightarrow v=frac{2.pi R}{T}$

Fazendo a substituição temos:

$\ v^2 = frac{G.M}{R}Rightarrow (frac{2 pi . R}{T})^2 = frac{G.M}{R} Rightarrow frac{4 . pi ^2 .R^2}{T^2}= frac{G.M}{R} \ \ T^2 = frac{4.pi ^2 .R^3}{G.M}Rightarrow T^2 = frac{4.3^2.(260+1740)^3}{9.10^{-13}. 8.10^{22}}\ \ T^2=4Rightarrow T=2h$

Perceba novamente que o Raio R não é o raio da Lua e sim a distância de Columbia até o centro da Lua por isso somamos o raio lunar mais a distância da nave até a superfície

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12) Uma equilibrista de massa M desloca‐se sobre uma tábua uniforme de comprimento e massa apoiada (sem fixação) sobre duas colunas separadas por uma distância de modo que o centro da tábua esteja equidistante das colunas. O ponto de apoio da equilibrista está a uma distância (tal que ) do centro da tábua, como mostra a figura.111111111

a) Considerando que a tábua está em equilíbrio, faça um diagrama indicando todas as forças que atuam sobre a tábua e seus respectivos pontos de aplicação.

b) Calcule o torque resultante exercido pelos pesos da equilibrista e da tábua em relação ao ponto $A$ (ponto de apoio da tábua na coluna mais próxima da equilibrista). Escreva suar esposta em termos de grandezas mencionadas no enunciado ( $M, L, m, D, d$ ) e da aceleração da gravidade $g$ .

c) Calcule a distância máxima $d_{max}$ da equilibrista ao centro da tábua para que o conjunto permaneça em equilíbrio estático. Considere os seguintes dados: comprimento da tábua: $L = 5m$ ; massa da tábua: $m = 20kg$ , massa da equilibrista: $M = 60kg$ , distância entre as colunas: $D = 3m$ .

Note e adote:

Despreze as espessuras da tábua e da coluna.

Use $g=10m/s^2$

FAZER COMENTÁRIO

$tau = P_E cdot (d - frac {D}{2}) - P_T cdot frac{D}{2}$

$tau = Mg cdot (d - frac {D}{2}) - mg cdot frac{D}{2}$

$tau = Mgd - Mgfrac {D}{2} - mg cdot frac{D}{2}$

$tau = Mgd - [(M - m )(g cdot frac{D}{2})]$

$0 = 60 cdot 10 cdot d - [(60 - 20 ) (10 cdot frac{3}{2})]$

$0 = 600d - (40 cdot 15)$

$0 = 600d - 600$

$600= 600d$

$d = 1m$

13) Em janeiro de 2019, a sonda chinesa Chang’e 4 fez o primeiro pouso suave de um objeto terrestre no lado oculto da Lua, reavivando a discussão internacional sobre programas de exploração lunar.1111111111

Considere que a trajetória de uma sonda com destino à Lua passa por um ponto P, localizado a 2/3 $d_{TL}$ do centro da Terra e a 1/3 $d_{TL}$ do centro da Lua, sendo $d_{TL}$ a distância entre os centros da Terra e da Lua.

a) Considerando que a massa da Terra é cerca de 82 vezes maior que a massa da Lua, determine a razão $F_{T}/F_{L}$ entre os módulos da força gravitacional que a Terra e a Lua, respectivamente, exercem sobre a sonda no ponto P.

Ao chegar próximo à Lua, a sonda foi colocada em uma órbita lunar circular a uma altura igual ao raio da Lua ( $R_{L}$ ), acima de sua superfície, como mostra a figura. Desprezando os efeitos da força gravitacional da Terra e de outros corpos celestes ao longo da órbita da sonda,

b) determine a velocidade orbital da sonda em torno da Lua em termos da constante gravitacional G, da massa da Lua $M_{L}$ e do raio da Lua $R_{L}$ ;

c) determine a variação da energia mecânica da nave quando a altura da órbita, em relação à superfície da Lua, é reduzida para 0,5 $R_{L}$ . Expresse seu resultado em termos de G, $R_{L}$ , $M_{L}$ e da massa da sonda $m_{S}$ .

Note e adote: O módulo da força gravitacional entre dois objetos de massas M e m separados por uma distância d é dado por $F = GMm/d^{2}$ .

A energia potencial gravitacional correspondente é dada por $U = - GMm/d$

Assuma a distância da Terra à Lua como sendo constante.

FAZER COMENTÁRIO

Sendo massa da Terra: $M_T$

e massa da Lua: $M_L$

Temos:

$\ M_T = 82 cdot M_L \\ frac{M_T}{M_L} = 82 (I)$

Agora cosiderando as distâncias de cada um dos corpos em relação à sonda P, podemos obter a expressão da força gravitacional exercida por ambos:

$\ bullet F_T = frac{GM_TM_S}{(frac{2}{3}d_{TL})^2} \ = frac{GM_TM_S}{frac{4d_{TL}^2}{9}} \ = frac{9GM_TM_S}{4d_{TL}^2}$

$\ bullet F_L = frac{GM_LM_S}{left(frac{1}{3}d_{TL}right)^2} \ = frac{GM_LM_S}{frac{d_{DL}^2}{9}} \ = frac{9GM_LM_S}{d_{TL}^2}$

Por Fim:

$\ frac{F_T}{F_L} = frac{frac{cancel{9G}M_Tcancel{M_S}}{4cancel{d_{TL}^2}}}{frac{cancel{9G}M_Lcancel{M_S}}{cancel{d_{TL}^2}}} = frac{M_T}{4M_L}$

Substituindo então a fórmula (I) temos:

$= frac{82}{4} = 20,5$

Como a força que age no corpo é apenas a força gravitacional, então ela atuará como força centrípeta

$F_c = F_g$

$frac{cancel{M_S} cdot v^2}{cancel{2R_L}} = frac{Gcancel{M_S}M_L}{cancelto{2}{4}R_L^{cancel{2}}}$

$\ v^2 = frac{GM_L}{2R_L} \ v = sqrt{frac{GM_L}{2R_L}}$

Como a energia mecânica é dado por:

$E_M = U+E_C$

Sendo U a energia potencial gravitacional e Ec a energia cinética, temos na condição inicial:

$\ E_{mo} = frac{-GM_SM_L}{2R_L} + frac{1}{2}m_sv_o^2 \\$

Substituindo na relação encontrada na letra b:

$\ E_{Mo}=frac{-GM_SM_L}{2R_L} + frac{GM_SM_L}{4R_L} \\ \ frac{-2GM_SM_L+GM_SM_L}{4R_L} \ \ \ E_{Mo}= frac{-GM_SM_L}{4R_L}$

E agora analisando a energia final, levando em conta que a altura até a superfície agora é 0,5R_L mais o próprio raio da Lua, ou seja a distância do centro da Lua até a nossa sonda vale 1,5R_{L, com isso a energia final é dado por:}

$\ E_{mo} = frac{-GM_SM_L}{1,5R_L} + frac{1}{2}m_sv_f^2 \\$

Para achar a velocidade final devemos fazer o mesmo procedimento da letra "b" ou basta substituir a distância do centro da Lua até a sonda (que antes era 2 R_L) por 1,5R_L:

$\ F_c=F_g \ \ frac{cancel{M_S} cdot v_f^2}{cancel{1,5R_L}} = frac{Gcancel{M_S}M_L}{{(1,5.R_L)^{cancel 2}}}$

$v_f^2 = frac{GM_L}{1,5R_L}$

Substituindo assim na fórmula da energia temos:

$\ E_{Mf}=frac{-GM_SM_L}{1,5R_L} + frac{GM_SM_L}{3R_L} \\ \ frac{-2GM_SM_L+GM_SM_L}{3R_L} \ \ \ E_{Mf}= frac{-GM_SM_L}{3R_L}$

Logo a variação de energia foi de:

$Delta E = E_f-E_o Rightarrow Delta E = frac{GM_SM_L}{3R_L} - frac{GM_SM_L}{4R_L} Rightarrow Delta E = -frac{GM_SM_L}{12R_L}$

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14) (FUVEST 2020 – 2ª fase) Em um ambiente do qual se retirou praticamente todo o ar, as placas de um capacitor estão arranjadas paralelamente e carregadas com cargas de mesma magnitude Q e sinais contrários, produzindo, na região entre as placas, um campo elétrico que pode ser considerado uniforme, com módulo igual a V/m. Uma partícula carregada negativamente, com carga de11

módulo igual a $10^{-9}$ ºC, é lançada com velocidade de módulo $V_{0}$ igual a 100 m/s ao longo da linha que passa exatamente pelo centro da região entre as placas, como mostrado na figura. A distância d entre as placas é igual a 1 mm. Despreze os efeitos gravitacionais.

a) Aponte, entre as trajetórias 1 e 2 mostradas na figura, aquela que mais se aproxima do movimento da partícula na região entre as placas.

b) Sabendo que a massa da partícula é igual a 10 µg, determine a que distância horizontal x a partícula atingirá uma das placas, supondo que elas sejam suficientemente longas.

c) Quais seriam o sentido e o módulo de um eventual campo magnético a ser aplicado na região entre as placas, perpendicularmente ao plano da página, para que a partícula, em vez de seguir uma trajetória curva, permaneça movendo‐ se na mesma direção e no mesmo sentido com que foi lançada?

FAZER COMENTÁRIO

A) Como a partícula que está entrando no campo é negativa, ela será levada para a direção contrária a do campo elétrico, ou em direção a carga geradora positiva.

B) Quando a partícula entra no campo elétrico, ela começa a sofrer uma força elétrica para cima fazendo com que a carga toque na placa. Para calcular a distância x percorrida podemos pensar como um lançamento oblíquo, onde a força elétrica seria como a força gravitacional.

Para calcular x podemos usar:

$x = V cdot t$

Mas antes disso precisamos descobrir o tempo que ele demora para atingir a placa. Para descobrir isso podemos fazer:

$h = afrac{t^2}{2}$

Onde h é a altura da partícula até a placa e "a" a aceleração da partícula, que podemos calcular em:

$E = frac {kQ }{d^2}$

$F = k frac {QQ}{d^2}$

$F = E cdot Q$

$F = 10^6 cdot 10^{-9} = 10^{-3}N$

$F = ma$

$10^{-3} = 10^{-8}a$

$frac {10^{-3}}{10^{-8}} = a$

$a = 10^5 m/s^2$

Agora voltando a equação da altura:

$h = frac {at^2}{2}$

$0,5mm = frac { 10^5t^2}{2}$

$0,5cdot 10^{-3}= frac { 10^5t^2}{2}$

$frac {0,5cdot 10^{-3}cdot 2}{10^5}= t^2$

$frac {1cdot 10^{-3}}{10^5}= t^2$

$10^{-8}= t^2$

$10^{-4}s= t$

Agora voltando a equação de x:

$x = 100 cdot 10^{-4}$

$x = 10^{-2} m$

C) Para que não haja alteração na trajetória da partícula não pode haver forças em direções diferentes da direção da velocidade da partícula, como temos a força elétrica atuando na partícula, a força magnética gerada pelo campo magnética deverá anular a força elétrica, ou seja, deverá ser na mesma direção do campo elétrico. Pela regra da mão direita, podemos concluir que o campo deve estar entrando na folha. E como já dissemos, a força magnética é igual a força elétrica.

$F_m = F_e$

$F_m = 10^{-3}N$

$qVB = 10^{-3}$

$10^{-9} cdot 100 cdot B = 10^{-3}$

$10^{-7} cdot B = 10^{-3}$

$B = frac {10^{-3}}{10^{-7}}$

$B = 10^{4} T$

15) (FUVEST 2020 – 2 fase) A tomografia por emissão de pósitrons (PET) é uma técnica de imagem por contraste na qual se utilizam marcadores com radionuclídeos emissores de pósitrons. O radionuclídeo mais utilizado em PET é o isótopo 18 do flúor, que decai para um núcleo de oxigênio‐18, emitindo um pósitron. O número de isótopos de flúor‐18 decai de forma exponencial, com um tempo de meia‐ vida de aproximadamente 110 minutos. A imagem obtida pela técnica de PET é decorrente da detecção de dois fótons emitidos em sentidos opostos devido à aniquilação, por um elétron, do pósitron resultante do decaimento. A detecção é feita por um conjunto de detectores montados num arranjo radial. Ao colidir com um dos detectores, o fóton gera cargas no material do detector, as quais, por sua vez, resultam em um sinal elétrico registrado no computador do equipamento de tomografia. A intensidade do sinal é proporcional ao número de núcleos de flúor‐18 existentes no início do processo.

a) Após a realização de uma imagem PET, o médico percebeu um problema no funcionamento do equipamento e o reparo durou 3h40min. Calcule a razão entre a intensidade do sinal da imagem obtida após o reparo do equipamento e a da primeira imagem.

b) Calcule a energia de cada fóton gerado pelo processo de aniquilação elétron‐pósitron considerando que o pósitron e o elétron estejam praticamente em repouso. Esta é a energia mínima possível para esse fóton.

c) A carga elétrica gerada dentro do material do detector pela absorção do fóton é proporcional à energia desse fóton. Sabendo‐se que é necessária a energia de 3 eV para gerar o equivalente à carga de um elétron no material, estime a carga total gerada quando um fóton de energia 600 keV incide no detector.

Note e adote:
O elétron e o pósitron, sua antipartícula, possuem massas iguais e cargas de sinais opostos.
Relação de Einstein para a energia de repouso de uma partícula: $E = mc^{2}$ .
Carga do elétron = $1,6times10^{-19} C$
Massa do elétron: $m=9times10^{-31} kg$
Velocidade da luz: $c=3times10^{8} m/s$
1 eV = $1,6times10^{-19} J$
“Tempo de meia‐vida”: tempo necessário para que o número de núcleos radioativos caia para metade do valor inicial

FAZER COMENTÁRIO

Devemos lembrar que o decaimento é uma função exponencial logo tem a seguinte forma:

$n=n_o .2^{-t}$

Sendo o tempo t é a quantidade de meia vida que aconteceu, pois a cada meia vida a quantidade de partículas cai na metade. Então quantas meia vidas aconteceu em 3h40min? Se cada meia vida acontece em 110 min e 3h40min em minutos é igual a 220min nesse tempo houve duas meia vidas, então vamos substituir na fórmula:

$n=n_o .2^{-2} Rightarrow n = frac{n_o}{4}$

Como a intensidade é proporcional ao número de núcleos de Flúor então a razão entre intensidade final e a inicial é:

$frac{I_f}{I_o}=frac{ frac{n_o}{4}}{n_o}=frac{1}{4}$

Como a energia do fóton é proveniente do elétron e do pósitron podemos escrever a seguinte relação, como a massa do elétron é igual do pósitron:

$\ E_f = E_{e^-}+E_{e^+} Rightarrow E_f = m_e.c^2 +m_e.c^2 Rightarrow E_f = 2.m_e.c^2 \ \ E_f=2.9.10^{-31}.(3.10^8)^2 = 162.10^{-15}J =1,62.10^{-13}J$

Como o fóton emitido tem 600keV de energia e o enunciado forneceu que 3eV no fóton é equivalente a carga de 1 elétron então vamos fazer a seguinte relação (regra de três):

$frac{3eV}{600.10^3}=frac{1e}{x} Rightarrow x=2.10^5 e$

Ou seja o fóton de 600keV fornece $2.10^5$ elétrons

Então por ultimo basta saber que 1 elétron tem $1,6.10^{-19}C$

Logo nosso x (quantidade de carga proveniente do fóton) vale:

$x=2.10^5 .1,6.10^{-19} = 3,2.10^{-14}C$

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16) (FUVEST – 2020 – 2 fase) Um mol de um gás ideal monoatômico é resfriado adiabaticamente de uma temperatura inicial até uma temperatura final . Com base nessas informações, responda:

a) O gás sofreu expansão ou compressão ao final do processo? Justifique sua resposta.

b) Encontre o valor do trabalho realizado pelo gás nesse processo em termos da constante universal dos gases ideais R e de T1.

c) Encontre a razão entre as pressões final e inicial do gás após o processo.

Note e adote: Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Energia interna por mol de um gás ideal monoatômico: U = 3RT/2. Para o processo adiabático em questão, vale a relação $PV^{{5}/3}$ = constante.

FAZER COMENTÁRIO

a) O processo é adiabático, então não há troca de calor. Se a temperatura do gás diminui então a energia interna do gás diminui, pela primeira lei da termodinâmica concluímos que este realizou trabalho sobre o meio. Tendo portanto expandido.

b)Para encontrar o trabalho vamos analisar a seguinte igualdade:

$\ |tau| = |Delta U|$

$Delta U = frac{3R(frac{T_1}{3} -T_1)}{2} = frac{-3R*2T_1}{2*3} = -RT_1$

$|tau| = RT_1$

c)Para encontrar a razão $frac{P_2}{P_1}$ precisamos utilizar tanto a relação $frac{P_1V_1}{T_1} = frac{P_2V_2}{T_2}$ quanto a relação $P_1V_1^{frac{5}{3}} = P_2V_2^{frac{5}{3}}$ .

Assim temos a relação $frac{P_2}{P_1} = (frac{V_1}{V_2})^{frac{5}{3}} (I)$

Mas também obtemos $frac{V_1}{V_2} = frac{T_1P_2}{T_2P_1} = frac{3P_2}{P_1} (II)$

Substituindo II em I temos:

$\frac{P_2}{P_1} = (frac{3P_2}{P_1})^{frac{5}{3}} (III)$

Elevando ambos os lados ao cubo temos:

$\(frac{P_2}{P_1})^3 = (frac{3P_2}{P_1})^{5}$

Que podemos simplificar para:

$\(frac{P_2}{P_1})^2 = frac{1}{3^5} Rightarrow frac{P_2}{P_1} = sqrt{frac{1}{3^5}} =frac{sqrt3}{27}$

17) Equipamentos domésticos chamados de vaporizadores para roupa utilizam o vapor de água gerado por um sistema de resistências elétricas a partir de água líquida. Um equipamento com potência nominal de 1.600 W foi utilizado para passar roupas por 20 minutos, consumindo 540 mL de água. Em relação ao gasto total de energia do equipamento, o gasto de energia utilizado apenas para vaporizar a água, após ela já ter atingido a temperatura de ebulição, equivale a, aproximadamente,

Adote:

Entalpia de vaporização da água a 100°C =40KJ/mol

Massa molar da água = 18g/mol

Densidade da água 1g/ml

A) 0,04%.
B) 0,062%
C) 4,6%
D) 40%.
E) 62%

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E)

O enunciado nos forneceu que a potência do vaporizador é de 1600W e que ele funcionou durante 20 min, então vamos calcular o total de energia liberado nesse processo, lembrando de transformar em segundo o tempo:

$P =frac{E}{Delta t }Rightarrow E =1600.(20.60)=1,92.10^6 J$

Agora vamos calcular a energia necessária para vaporizar a água, primeiro calculando o total de mols que temos em 540 ml, pela densidade temos que 540ml =540 g e pela massa molar:

$M_m = 18g/mol$

Logo se 18g equivale a 1 mol então 540 equivale à 540/18 = 30 mols

E temos que a energia para vaporizar (Entalpia de vaporização) é 40 kJ/mol ou seja para cada mol é necessário 40KJ, logo para 30 mols precisamos de 40.30 =1200kJ = 1200000J

Assim para sabermos quantos por centro equivale essa quantidade de energia em comparação à energia total podemos relacionar:

$frac{1,92.10^6}{1,2.10^6}= frac{100 %}{x}Rightarrow x=62,5 %$

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18) Uma pessoa produz oscilações periódicas em uma longa corda formada por duas porções de materiais diferentes 1 e 2, nos quais a velocidade de propagação das ondas é, respectivamente, de 5m/s e 4m/s. Segurando a extremidade feita do material 1, a pessoa abaixa e levanta sua mão regularmente, completando um ciclo a cada 0,5s , de modo que as ondas propagam‐se do material 1 para o material 2, conforme mostrado na figura. Despreze eventuais efeitos de reflexão das ondas.1

a) Circule, dentre os vetores na folha de respostas, aquele que melhor representa a velocidade do ponto P da corda no instante mostrado na figura.

b)Calcule a frequência e o comprimento de onda no material 1.

c)Calcule a frequência e o comprimento de onda no material 2.

FAZER COMENTÁRIO

a) A onda na corda é transversal, não há propagação de matéria. Sendo assim o ponto P só pode subir ou descer. Vemos pela imagem do enunciado que a crista já passou pelo ponto P, então ele já esteve no máximo e agora está descendo. Sendo assim a imagem que representa o vetor velocidade do ponto P é a seguinte:

b) A frequência da onda é determinada pela oscilação produzida pela pessoa. O período da oscilação é 0,5 s. Assim a frequência no trecho de material 1 será

$f_1 = frac{1}{T} = 2 Hz$ .

Manipulando a equação fundamental de ondas $V = lambda cdot f$ e sabendo que $V_1 = 5 m/s$ podemos facilmente calcular $lambda_1$ .

$lambda_1 = frac{5}{2} = 2,5 m$

c) A frequência da onda no material 2 será a frequência da onda no material 1, pois o ponto de contato atua como fonte da onda no segundo material, então é claro que $f_2 = f_1 = 2 Hz$ .

Usando o mesmo raciocínio da alternativa b e lembrando que $V_2 = 4 m/s$ o comprimento de onda da onda no material 2 será $lambda_2 = frac{V_2}{f_2} = 2 m$ .

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