Prova de Matemática da Fuvest 2020 Resolvida

Continua após a publicidade..

1) Bill Waterson, Calvin and Hobbes. Disponível em https://www.gocomics.com/

As possíveis soluções, em polegadas (inches, em inglês), para o problema matemático proposto no quadrinho, no caso em que os pontos A, B e C estão em uma mesma reta, são

A) $frac{10}{3};e;10$
B) $frac{10}{3}, 5;e;10$
C) $frac{5}{3}, frac{10}{3};e;10$
D) $frac{5}{3};e;10$
E) $frac{10}{3};e;5$

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

1) Traduzindo a tirinha:

"Point A is twice as far from point C as point B is from A. If the distance from point B to point C is 5 inches, how far is point A from point C?"

"O ponto A está duas vezes mais distante do ponto C do que o ponto B está de A. Se a distância do ponto B ao ponto C é de 5 polegadas, qual a distância entre o ponto A e o ponto C?"

2) Interpretando essa questão:

Existem duas possibilidades:

2.1) A primeira possibilidade:

Logo, a distância entre o ponto A e o ponto C é 2 . 5 = 10 polegadas.

2.2) A segunda possibilidade:

Logo, a distância entre o ponto A e o ponto C é $frac{10}{3}$ polegadas.

Continua após a publicidade..

2) (FUVEST – 2020) Uma cidade é dividida em dois Setores: o Setor Sul, com área de 10 km², e o Setor Norte, com área de 30 km² . Após um final de semana, foram divulgados os seguintes totais pluviométricos:

Dia	Sul	Norte
sábado	7 mm	11 mm
domingo	9 mm	17 mm

É correto afirmar que o total pluviométrico desse final de semana na cidade inteira foi de

A) 15 mm
B) 17 mm
C) 22 mm
D) 25 mm
E) 28 mm

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D)

1) O índice pluviométrico em ‘mm’ significa que se houvesse um reservatório-caixa com a área da superfície aberta de 1 m² com a tampa aberta, recebendo a chuva que caiu sobre aquela região, pelo período de um ano, haveria um acúmulo equivalente ao índice. Lembrando que chuva eleva o nível desse reservatório em sua medida vertical, como um copo medidor utilizado para receitas culinárias.

2) O volume de chuva total da área sul nesses dois dias é: 7+9=16 mm.

3) O volume de chuva total da área norte nesses dois dias é 11+17=28 mm.

4) Convertendo o volume de chuva para km³:

4.1) Para o sul: $16 cdot 10^{-6} cdot 10 =0.00016 ;km^3$

4.2) Para o norte: $28 cdot 10^{-6} cdot 30 =0.00084 ;km^3$

5) Logo, a quantidade de chuva total foi de $0.001 ;km^3$

6) A área total do município é de 40 km³

7) Logo convertendo para mm:

$frac{0.001 ;km^3}{40 km^2}=2.5 cdot 10^{-5};km=25 mm$

3) (FUVEST – 2020) Um ponto (x, y) do plano cartesiano pertence ao conjunto F se é equidistante dos eixos OX e OY e pertence ao círculo de equação . É correto afirmar que F:

A) é um conjunto vazio.
B) tem exatamente 2 pontos, um no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
C) tem exatamente 2 pontos, ambos no primeiro quadrante.
D) tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e outro no segundo quadrante.
D)
E) tem exatamente 4 pontos, sendo dois no primeiro quadrante e dois no segundo quadrante.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D)

1) Antes de encontrar os pontos, vamos encontrar o centro da circunferência completando quadrados:

$x^2-2x+2+y^2-6y=0$

$x^2-2x+2-1+y^2-6y=-1$

$x^2-2x+1+y^2-6y+9=-1+9$

$left ( x-1 right )^{2}+left ( y-3 right )^{2}=8$

Então, o centro da circunferência é o ponto (1,3) e o raio é $2sqrt{2}$ . Assim a circunferência estará no 1º e no 2º quadrante.

2) O lugar geométrico cujos pontos são equidistantes dos eixos ܱܺOX e OY são as retas $x=y ; e; x=-y.$

3) Logo, os pontos de encontro entre a circunferência $x^2+y^2-2x-6y+2=0$ e $x=y$ são:

$y^2+y^2-2y-6y+2=0$

3.1) Simplificando:

$2y^2-8y+2=0$

3.2) Pela fórmula resolutiva:

$y_{1,:2}=frac{-left(-8right)pm sqrt{left(-8right)^2-4cdot :2cdot :2}}{2cdot :2}$

$y_1=2+sqrt{3},:y_2=2-sqrt{3}$

3.3) Logo, eles se encontram em

$(2+sqrt{3},2+sqrt{3});e;(2-sqrt{3}, 2-sqrt{3})$

4) Logo, os pontos de encontro entre a circunferência $x^2+y^2-2x-6y+2=0$ e $x=-y$ são:

$(-y)^2+y^2-2 cdot (-y)-6y+2=0$

4.1) Simplificando:

$2y^2-4y+2=0$

4.2) Pela fórmula resolutiva:

$y_{1,:2}=frac{-left(-4right)pm sqrt{left(-4right)^2-4cdot :2cdot :2}}{2cdot :2}$

$y=1$

4.3) Logo, eles se encontram em

$(-1, 1)$

5) Com isso, tem exatamente 3 pontos, sendo dois no primeiro quadrante $(2+sqrt{3},2+sqrt{3});e;(2-sqrt{3}, 2-sqrt{3})$ e outro no segundo quadrante $(-1, 1)$ .

PS: Interpretação gráfica:

Continua após a publicidade..

4) (FUVEST – 2020) Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris e Roma. Sabe‐se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente. Sabe‐se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi o total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma?

A) 26
B) 38
C) 42
D) 62
D)
E) 68

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D)

1) As variáveis que representam as passagens são:

Total de passagens vendidas para Lisboa: L

Total de passagens vendidas para Paris: P

Total de passagens vendidas para Roma: R

2) Sabemos que a agência de turismo vendeu um total de 78 passagens, logo

$L+P+R=78$

3) Sabe‐se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente, logo

$P=2 cdot (L+R)$

4) Sabe‐se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Logo,

$R=frac{L}{2}+2$

5) Com isso, temos o sistema formado pelas 3 equações:

$left{begin{matrix}L+P+R=78 \ P=2 cdot (L+R) \ R=frac{L}{2}+2 end{matrix}right.$

6) Substituindo a 3 equação nas outras 2:

$left{begin{matrix}L+P+(frac{L}{2}+2 )=78 \ P=2 cdot (L+(frac{L}{2}+2 )) end{matrix}right.$

7) Simplificando e organizando:

$left{begin{matrix} 3L+2P=152 \ P=3L+4 end{matrix}right.$

8) Substituindo a segunda equação primeira:

$3L+2 cdot (3L+4)=152$

9) Com isso,

$L=16$

10) Como $P=3L+4$ , temos que $P=52$

11) Como $R=frac{L}{2}+2$ , temos que $R=10$

12) O total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma foi 52+10=62

5) (FUVEST – 2020) Se , para todo número real x ,o valor de ܽa+b é

A) 3
B) 5
C) 6
D) 9
E) 12

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

Resolução 1:

$3x^2-9x+7=(x-a)^3-(x-b)^3$

1) Desenvolvendo:

$3x^2-9x+7=x^3-3x^2a+3xa^2-a^3-left(x^3-3x^2b+3xb^2-b^3right)$

2) Simplificando:

$3x^2-9x+7=-3ax^2+3bx^2+3a^2x-3b^2x-a^3+b^3$

3) Organizando:

$3x^2-9x+7=(-3a+3b)x^2+(3a^2-3b^2)x+(-a^3+b^3)$

4) Com isso, temos o sistema:

$left{begin{matrix}-3a+3b=3 \ 3a^2-3b^2=-9 \ -a^3+b^3= 7 end{matrix}right.$

5) Como há apenas duas incógnitas nesse sistema, pegaremos apenas as duas primeiras equações simplificadas:

$left{begin{matrix}-a+b=1 \ a^2-b^2=-3 end{matrix}right.$

6) Com a primeira equação, temos que:

$b=1+a$

7) Substituindo o encontrado em 6 na segunda equação:

$a^2-(1+a)^2=-3$

8) Simplificando:

$-2a-1=-3$

$a=1$

9) Como $b=1+a$ , $b=2$

10) Logo, $a+b=1+2=3$

Resolução 2:

$3x^2-9x+7=(x-a)^3-(x-b)^3$

1) Se observarmos o lado direito da equação, iremos perceber que ela se trata de uma diferença de dois cubos.

Relembrando: $a^{3}-b^{3}=left ( a-b right )cdot left ( a^{2}+ab+b^{2} right )$

$3x^2-9x+7=left [(x-a)-(x-b) right ]cdot left [ left (x-a right )^{2} +(x-a)cdot (x-b)+(x-b)^{2}right ]$

2) Utilizando as regras dos produtos notáveis podemos continuar desenvolvendo a equação:

$3x^2-9x+7=left [x-a-x+b right ]cdot left [ x^{2}-2ax+a^{2} +x^{2}-ab-bx+ab+x^{2}-2bx+b^{2}right ]$

3) Ordenando e simplificando a equação:

$3x^2-9x+7= [-a+b ]cdot [ 3x^{2}+x cdot ( -3a-3b )+ ( a^{2}+ab+b^{2} ) ]$

4) Observe que ordenamos a equação de acordo com o grau de cada monômio. Desenvolvendo a distributiva:

$3x^2-9x+7$ $=3x^{2}cdot (-a+b )-3x cdot ( a+b )cdot (-a+b )+ ( a^{2}+ab+b^{2} )cdot (-a+b )$

5) Como queremos uma igualdade entre o polinômio da esquerda com o da direita, então todos os termos precisam ser idênticos. Desse modo:

$3x^2=3x^2cdot left ( -a+b right )$

$left ( -a+b right )=1$

6) Perceba que o enunciado nos pediu o valor de $left ( a+b right )$ , então não é necessário definir o valor de $a$ e o valor de $b$ , apenas a soma deles. Substituindo $left ( -a+b right )=1$ :

$3x^{2}-9x+7=3x^{2}cdot 1-3x cdot ( a+b )cdot 1+ ( a^{2}+ab+b^{2} )cdot 1$

7) Comparando o segundo termo de cada um dos polinômios:

$-9x=-3x cdot ( a+b)cdot 1$

$3= left (a+b right )$

Continua após a publicidade..

6) (FUVEST – 2020) A função E de Euler determina, para cada número natural ݊n, a quantidade de números naturais menores do que n cujo máximo divisor comum com ݊n é igual a 1. Por exemplo, E(6)=2, pois os números menores do que 6 com tal propriedade são 1 e 5. Qual o valor máximo de E(n), para ݊n de 20 a 25?

A) 19
B) 20
C) 22
D) 24
E) 25

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C)

1) Observando para os diversos valores possíveis de n, podemos perceber que entre 20 e 25, temos que 23 é primo, com isso ele terá a maior a quantidade de números naturais menores que ele cujo máximo divisor comum com ݊ele é igual a 1.

2) Logo, E(23) = 22, pois serão todos os números de 1 a 22.

7) (FUVEST – 2020) A dona de um lanchonete observou que, vendendo um combo a , 200 deles são vendidos por dia. Para cada redução de nesse preço, ela vende 100 combos a mais. Nessas condições, qual é a máxima arrecadação diára que ela espera obter com a venda dese combo ?

A) R$ 2.000,00
B) R$ 3.200,00
C) R$ 3.600,00
D) R$ 4.000,00
E) R$ 4.800,00

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C)

1) Considerando que seja $x$ o valor da redução, temos que o valor do combo será: $10-x$

2) A quantidade de combos vendidos por dia será $200+100x$

3) Com isso, considerando que seja y a quantidade arrecadada, temos que:

$y=(10-x)(200+100x)$

4) Organizando a equação:

$y=-100x^2+800x+2000$

5) Com isso, a máxima arrecadação diária ocorre no y vértice. Logo,

$y_v=-frac{Delta}{4a}=-frac{800^2-4left(-100right)2000}{4 cdot -100}=3600$

Continua após a publicidade..

8) (FUVEST – 2020 – 1a Fase) A menor esfera na qual um paralelepípedo reto‐retângulo de medidas 7 cm × 4 cm × 4 cm está inscrito tem diâmetro de

A) 9 cm.
B) 10 cm.
C) 11 cm.
D) 12 cm.
D)
E) 15 cm.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

1) Como queremos a menor esfera em que o paralelepípedo está inscrito, então a sua diagonal deverá ser igual ao diâmetro da esfera.

2) Com isso, temos que o diâmetro da esfera (d) pode ser calculado por:

$d=sqrt{7^2+4^2+4^2}=sqrt{81}=9$

9) (FUVEST – 2020) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa‐se ,a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando é A.11

Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja $frac{A}{2}$ , o valor de $theta$ é, necessariamente, igual a

A) 15°.
B) 22,5°.
C) 30°.
D) 45°.
D)
E) 60°.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C)

1) A área do paralelogramo com $theta=90^circ$ (Retângulo) é igual a $A$ .

1.1) Logo, $x cdot y = A$

2) Interpretando a figura modificando o ângulo:

3) A área com outro ângulo continuará sendo a área da base y multiplicada pela altura h.

4) Como $sin theta=frac{h}{x}$ , temos que $h= x cdot sin theta$

5) Com isso, a área do novo paralelogramo será:

$y cdot x cdot sin theta$

6) Como a área da região delimitada pelo paralelogramo deve ser igual a $frac{A}{2}$ , temos que

$y cdot x cdot sin theta=frac{A}{2}$

7) Como $x cdot y = A$ , temos que

$A cdot sin theta=frac{A}{2}$

8) Simplificando:

$sin theta=frac{1}{2}$

9) Logo, como $0<theta<180^circ$ , temos que $theta = 30^circ$

Continua após a publicidade..

10) (FUVEST – 2020) O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas completas. Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, aproximadamente,1

$\ mathrm{Note; e;adote:} \ pi cong 3.14.$

A) 9,4 m.
B) 11,0 m.
C) 18,8 m.
D) 22,0 m.
D)
E) 25,1 m.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D)

1) Após a primeira volta, o cilindro de papelão central com a fita terá raio externo de 3,01 cm. Com isso, o comprimento da primeira volta de fita será de $2pi cdot (3+0.01)$ .

2) Após a segunda volta, o cilindro de papelão central com a fita terá raio externo de 3,02 cm. Com isso, o comprimento da segunda volta de fita será de $2pi cdot (3+0.02)$

3) Após a centésima volta, o cilindro de papelão central com a fita terá raio externo de 4 cm. Com isso, o comprimento da centésima volta de fita será de $2pi cdot (3+1)$

4) Com isso, temos, por indução, que a soma das 100 voltas de fita é igual a:

$S=2pi cdot (3+0.01)+2pi cdot (3+0.02)+cdots +2pi cdot (3+1)$

5) Colocando o $2pi$ em evidência e simplificando:

$\ S=2pi cdot (3.01+3.02+cdots +4)$

6) Perceba que de $3.01+3.02+cdots +4$ trata-se de uma PA com razão 0.01, primeiro termo 3.01, último termo 4 e 100 termos. Logo

$3.01+3.02+cdots +4 = frac{3.01+4}{2}cdot 100=350.5$

7) Logo,

$\ S=2 cdot 3.14 cdot 350.5approx 2202.25;cmsimeq 22m$

1 2 Próximo »