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A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.111

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado $3 times 3$ e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado ݊ $n times n$ ݊, com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de݊ $n$ ?

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Resposta:

Observando a tabela podemos perceber que os números que compõem as linhas formam uma P.A. de razão 1 e os números que que compõem as colunas formam um P.A. de razão 7. Com base nisso, vamos resolver o que se pede:

a) Vamos pegar um quadrado $3 times 3$ arbitrário:

$x$	$x+1$	$x+2$
$x+7$	$x+8$	$x+9$
$x+14$	$x+15$	$x+16$

Somando os 9 termos:

$x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16$

$9x+72$

$9left (x+8 right )$

Com isso, verificamos que a soma dos termos desse quadrado é um multiplo de 9.

b) Pegando um quadrado $4times 4$ arbitrário:

$x$	$x+1$	$x+2$	$x+3$
$x+7$	$x+8$	$x+9$	$x+10$
$x+14$	$x+15$	$x+16$	$x+17$
$x+21$	$x+22$	$x+23$	$x+24$

Sabemos do item anterior a soma dos termos da tabela $3 times 3$ , então só precisamos somar os elementos da última linha e da última coluna:

$9x+72+x+3+x+10+x+17+x+24+x+21+x+22+x+23=1056$

$16x+192=1056$

$16x=864$

$x=54$

Desse modo, o menor número do quadrado é 54.

c) Tomando um quadrado $ntimes n$ :

$4$	$5$	$cdot cdot cdot$	$4+left (n-1 right )$
$11$	$12$	$cdot cdot cdot$	$11+(n-1)$
$cdot cdot cdot$	$cdot cdot cdot$	$cdot cdot cdot$	$cdot cdot cdot$
$4+7(n-1)$	$5+7(n-1)$	$cdot cdot cdot$	$4+(n-1)+7(n-1)$

Agora vamos montar uma P.A. onde cada elemento será a soma dos números da linha do quadro:

$a_{1}= left [4+4+(n-1) right ]cdot frac{n}{2}$

$a_{2}= left [11+11+(n-1) right ]cdot frac{n}{2}$

$left (cdot cdot cdot right )$

$a_{n}=left [ 4+7(n-1)+4+(n-1)+7(n-1) right ]cdot frac{n}{2}$

Fazendo a soma dessa P.A.:

$S_{a_{n}}=left { left [ 8+(n-1) right ]cdot frac{n}{2}+left [ 4+7(n-1)+4+(n-1)+7(n-1) right ]cdot frac{n}{2} right }frac{n}{2}$

$108000=left { left [ 7+n right ]cdot frac{n}{2}+left [ 8+14n-14+n-1right ]cdot frac{n}{2} right }frac{n}{2}$

$216000= left [ 7+n+8+14n-14+n-1 right ]cdot frac{n}{2}cdot n$

$432000= 16n cdot n^{2}$

$432000= 16 n^{3}$

$27000= n^{3}$

$30= n$

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A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.111

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