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O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:1

Os passos seguintes (Passo3, Passo4, Passo5, …) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos des critos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seistrilhões)?

Note e adote:

$log_{10} 2 cong 0,301$

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Resposta:

1) Perceba que para o passo 0, temos 3 lados.

2) Perceba também que para o passo 1, temos 12 lados.

3) Perceba que o passo 2 possui 48 lados.

4) Com isso, podemos induzir que trata-se de uma PG com razão q=4

a)

a.1) Queremos encontrar o valor de $a_3$ (o número de lados no passo 3).

a.2) Com isso, podemos utilizar a fórmula de PG:

$a_3=a_1 cdot q^{n-1}$

$a_3=12 cdot 4^{3-1}$

$a_3=192$

Logo, a figura no passo 3 terá 192 lados.

b)

b.1) Primeiramente temos que encontrar o valor de $a_5$ (o número de lados no passo 5).

b.2) Utilizando a fórmula de PG:

$a_5=12 cdot 4^{5-1}=3072$ lados

b.3) Depois disso, precisamos encontrar o tamanho de cada lado.

b.6) Podemos perceber que também segue o estilo de uma PG, logo:

$a_5=frac{1}{3} cdot left (frac{1}{3} right )^4 = frac{1}{243}$

b.7) Com isso, o perímetro será

$2p = 3072 cdot frac{1}{243} =frac{1024}{81}$

c)

c.1) Já utilizando a fórmula de PG elaborada nos passos anteriores, temos que

$6cdot 10^{12} < 12 cdot 4^{n-1}$

c.2) Dividindo ambos os lados por 12:

$4^{n-1}>2^{-1} cdot 10^{12}$

c.3)

$2^{2n-2}>2^{-1} cdot 10^{12}$

c.3) Aplicando as propriedades do logaritmo:

$2n-2>log _2left(2^{-1} cdot 10^{12}right)$

c.4) Como $log(x cdot y) = log (x)+log (y)$

$2n-2>log _2left(2^{-1}right)+log _2left(10^{12}right)$

c.5) Como $log(x^y)=y log(x)$ e $log_x(x^y)=y$

$2n-2>-1+12 cdot log _2left(10right)$

c.6) Como $log_{10} 2 cong 0,301 Rightarrow log_210 = 0.301^{-1}$ :

$2n-2>:-1+12:cdot :left(0.301right)^{-1}$

c.7) Desenvolvendo:

$n>20.43$

$boxed{n=21}$

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