Prova de Matemática da Fuvest 2020 Resolvida

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11) (FUVEST – 2020) Se, em 15 anos, o salário mínimo teve um aumento nominal de 300% e a inflação foi de 100%, é correto afirmar que o aumento real do salário mínimo, nesse período, foi de

A) 50%.
B) 100%.
C) 150%.
D) 200%.
D)
E) 250%.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

1) Consideremos que o salário antes do aumento era x.

2) O valor dos produtos comprados era y.

3) Logo, com esse salário, era possível comprar $frac{x}{y}$ coisas com o valor y.

4) Com o aumento nominal de 300%, o valor do salário tornou-se 4x.

5) O valor dos produtos comprados com a inflação de 100%, tornou-se 2y.

6) Logo, com esse salário, era possível comprar $frac{4x}{2y}=2 cdot frac{x}{y}$ coisas com o valor 2y.

7) Com isso, o aumento real do salário mínimo foi de 100%.

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12) (FUVEST – 2020) Carros que saem da cidade A rumo a alguma das cidades turísticas E, F e G fazem caminhos diversos, passando por pelo menos uma das cidades B, C e D, apenas no sentido indicado pelas setas, como mostra a figura. Os números indicados nas setas são as probabilidades, dentre esses carros, de se ir de uma cidade a outra.

Nesse cenário, a probabilidade de um carro ir de A a F é

A) 0,120.
B) 0,216.
C) 0,264.
D) 0,336.
E) 0,384.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E)

1) Existem 3 possibilidades de caminho de A para F. Com isso, vamos calcular a probabilidade de cada caminho e somá-las ao final.

2) 1º caminho -> A para C para F

$P_1 = 0.2 cdot 0.6=0.12$

3) 2º caminho -> A para B para C para F

$P_2 = 0.8 cdot 0.1 cdot 0.6=0.048$

4) 3º caminho -> A para B para D para F

$P_3 = 0.8 cdot 0.9 cdot 0.3=0.216$

5) Com isso, a probabilidade é

$P=P_1+P_2+P_3 = 0.12+0.048+0.216=0.384$

13) a)Considere o conjunto formado pelos números complexos que cumprem a condição . Cada elemento desse conjunto será objeto da transformação que leva um número complexo em seu conjugado. Represente no plano complexo (ou plano de Argand-Gauss) da folha de respostas o conjunto resultante após essa transformação.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos $text{z}$ do plano complexo tais que ${z neq -1 }$ e para os quais $frac{z-1}{z+1}$ é um número imaginário puro.

c) Determine as partes reais de todos os números complexos $text{z}$ tais que as representações de $text{z, i e 1}$ no plano complexo sejam vértices de um triângulo equilátero.

FAZER COMENTÁRIO

Seja $z=a+bi$ , pelas condições do enunciado:

$Re(z)=Im(z) Rightarrow b=aRightarrow z=a+ai$

Seja a transformação $T$ descrita:

$T(z)=overline{z}Rightarrow T(z)=a-ai$

a) O lugar geométrico de $T(z)=aleft (1-i right )$ é a bissetriz dos quadrantes pares

b) $zneq 1$ e $Releft (frac{z-1}{z+1} right )=0$

Seja $w=frac{z-1}{z+1}$ e seja $z=a+bi$

$w=frac{a-1+bi}{a+1+bi}$ , multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

$w=frac{left (a-1 right )+bi}{left (a+1 right )+bi}cdot frac{(a+1)-bi}{(a+1)-bi}$

$w=frac{left (a-1 right )left ( a+1 right )+left ( a+1 right )bi+left ( a-1 right )bi+b^{2}}{left (a+1 right )^{2}-b^{2}}$

$w=frac{a^{2}-1+b^{2}}{(a+1)^{2}+b^{2}}+icdot frac{b}{(a+1)^{2}+b^{2}}$

$Re(w)=0Rightarrow a^{2}-1+b^{2}=0$

$Rightarrow a^{2}+b^{2}=1$

Logo o lugar geométrico $LG$ é:

$LG=left { zin mathbb{C} /left | z right |=1 e zneq -1 right }$

Fazemos as distâncias de $z=a+bi$ até $i$ é 1. É fácil ver que o lado do triângulo vale $sqrt{2}$ pelo triângulo:

Logo $d_{z-1}=sqrt{2}$ e $d_{z-i}=sqrt{2}$ .

$begin{cases} d_{z-1} ^{2}=left | z-1 right |^{2}=2=(a-1)^{2}+b^{2}\ d_{z-i } ^{2}=left | z-i right |^{2}=2=a^{2}+left ( b-1 right )^{2} end{cases}$

$begin{cases} (a-1)^{2}+b^{2}=2\ a^{2}+left ( b-1 right )^{2}=2 end{cases}Rightarrow$ $begin{cases} a^{2}+b^{2}+1-2a=2\ a^{2}+ b^{2}+1-2b=2 end{cases}$

Logo, $a=b$ , então:

$2a^{2}-2a-1=0 Rightarrow a=frac{1pm sqrt{3}}{2}$

Chegando então em 2 valores de $z$ :

$z=frac{1+sqrt{3}}{2}+icdot frac{1+sqrt{3}}{2}$ e

$z=frac{1-sqrt{3}}{2}+icdot frac{1-sqrt{3}}{2}$

(Outro método)

A questão pode ser resolvida geometricamente:

$z_{1}=1+sqrt{2} cis(75^{circ})$

Nota-se que o ângulo do triângulo retângulo é 45º e do triângulo equilátero é 60º

$z_{2}=1-sqrt{2} cis(15^{circ})$

Obs: - $cis(theta )=cos(theta )+icdot sen(theta )$

- Números complexos podem ser somados tal como valores e podem ser escritos em sua forma ângular:

$z=rcdot cis(theta )$

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14) (FUVEST – 2020 – 2 fase) É dada a função definida por para todo .

a) Apresente três valores $x in [0, pi]$ para os quais $f(x)=1$ .

b) Determine os valores $x in [0, pi]$ para os quais $f(x)=frac{5}{8}$

c) Determine os valores $x in [0, pi]$ para os quais $frac{1}{2}f(x)+frac{3}{8}sin(2x)geq frac{5}{8}$

FAZER COMENTÁRIO

1) Primeiramente vamos organizar $f(x)=sin^4(x)+cos^4(x)$ .

2) Sabendo que $(sin^2(x)+cos^2(x))^2=sin^4(x)+cos^4(x)-2 cdot sin^2(x) cdot cos^2(x)$ , temos que:

$f(x)=(sin^2(x)+cos^2(x))^2-2cos^2(x) cdot sin^2(x)$

3) Como $sin^2(x)+cos^2(x)=1$ , temos que

$f(x)=1-2cos^2(x) cdot sin^2(x)$

4) Como $2cos left(xright)sin left(xright)=sin left(2xright)$

$f(x)=1- frac{sin^2(2x)}{2}$

a.1) Temos que $f(x)=1$ , logo

$1=1- frac{sin^2(2x)}{2}$

a.2) Desenvolvendo encontramos que

$sin ^2left(2xright)=0$

a.3) Como para $x^n=0quad Rightarrow:x=0$ , temos que

$sin left(2xright)=0$

a.4) Com isso, temos as soluções gerais:

$x=pi n,:x=frac{pi }{2}+pi n$

a.5) Como $x in [0, pi]$

$boxed{x_1=0,;x_2=frac{pi}{2};e;x_3=pi}$

b.1) Para $f(x)=frac{5}{8}$ , temos que:

$frac{5}{8}=1- frac{sin^2(2x)}{2}$

b.2) Considerando $sin left(2xright)=u$

$1-frac{u^2}{2}=frac{5}{8}$

b.3) Organizando:

$-frac{u^2}{2}=-frac{3}{8}$

$u^2=frac{3}{4}$

b.4) Com isso, temos que:

$u=pm frac{sqrt{3}}{2}$

b.5) $mathrm{Substituir:na:equação}:u=sin left(2xright)$

b.5.1) $sin left(2xright)=frac{sqrt{3}}{2}$

$2x=frac{pi }{3}+2pi nquad Rightarrow x=frac{pi }{6}+pi n$

$2x=frac{2pi }{3}+2pi nquad Rightarrow x=frac{pi }{3}+pi n$

b.5.2) $sin left(2xright)=-frac{sqrt{3}}{2}$

$2x=frac{4pi }{3}+2pi n:quad x=frac{2pi }{3}+pi n$

$2x=frac{5pi }{3}+2pi n:quad x=frac{5pi }{6}+pi n$

b.6) Logo, as soluções são

$x=frac{pi }{6}+pi n,:x=frac{pi }{3}+pi n,:x=frac{2pi }{3}+pi n,:x=frac{5pi }{6}+pi n$

b.7) Como $x in [0, pi]$

$boxed{x_1=frac{pi }{6},:x_2=frac{pi }{3},:x_3=frac{2pi }{3},:x_4=frac{5pi }{6}}$

c) Temos que $frac{1}{2}f(x)+frac{3}{8}sin(2x)geq frac{5}{8}$ .

c.1) Organizando:

$frac{1}{2} cdot (1- frac{sin^2(2x)}{2})+frac{3}{8}sin(2x)geq frac{5}{8}$

c.2) Considerando $sin left(2xright)=u$

$frac{1}{2}left(1-frac{u^2}{2}right)+frac{3}{8}uge frac{5}{8}$

c.3) Expandindo os termos:

$frac{1}{2}-frac{u^2}{4}+frac{3}{8}u-frac{5}{8}ge :0$

c.4) $mathrm{Multiplicar:pelo:MMC=}8$ :

$frac{1}{2}cdot :8-frac{u^2}{4}cdot :8+frac{3}{8}ucdot :8-frac{5}{8}cdot :8ge :0cdot :8$

c.5) Simplificando:

$-2u^2+3u-1ge :0$

$left(2u-1right)left(u-1right)ge :0$

c.6) Analisando os sinais:

c.7) Logo,

$frac{1}{2}le :ule :1$

c.8) Com isso,

$frac{1}{2}le sin left(2xright)le :1 Rightarrow frac{1}{2}le sin left(2xright)quad mathrm{e}quad sin left(2xright)le :1$

c.8.1)

$sin left(2xright)ge frac{1}{2}$

$frac{pi }{12}+pi nle :xle frac{5pi }{12}+pi n$

c.8.2)

$sin left(2xright)le :1quad :quad mathrm{Verdadeiro:para:todo}:xin mathbb{R}$

c.9) Logo,

$frac{pi }{12}+pi nle :xle frac{5pi }{12}+pi n$

c.10) Como $x in [0, pi]$

$boxed{frac{pi }{12}le :xle frac{5pi }{12}}$

15) a) a medida de AB b) a medida de AW e AX; c) a área do trapézio delimitada pelo trapézio ABCD

Uma circunferência S de centro O e raio 5;
Quatro pontos X,Y,Z e W em S de tal forma que as retas tangentes a S nesses pontos formam um trapézio ABCD, como na figura;
sen (BAW) = 3/5 e CD = 15.

FAZER COMENTÁRIO

a)
Chamando $BAW = alpha$ temos que $frac{5}{AX} = tg(frac{alpha }{2})$ , então usando a fórmula do arco metade temos AX = 15

Pela trigonometria do problema temos também que $frac{BX}{5} = tg(frac{alpha }{2}) = frac{1}{3}$ com isso temos BX = 5/3

Portanto $AB = AX + BX = frac{50}{3}$

Sabemos que $AX = AW = 15$ por semelhança de triângulos, então podemos usar:

$frac{5}{AX} = tg(frac{alpha }{2})$ , então temos que $AX = AW = 15$

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16) Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória. O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção.

a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber?

b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas?

c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo = 1 ponto, triângulo = 2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais?

FAZER COMENTÁRIO

a.1) Temos 4 tipos de peças e cada uma com 4 cores. Logo, temos 16 peças no total e 2 jogadores.

a.2) Ao escolher a coleção de 1 jogador, a coleção do outro estará determinada.

a.3) Então escolheremos 8 de 16:

$boxed{binom{16}{8}}$

b.1) Percebe-se que cada jogador deve receber 2 peças amarelas.

b.1.1) Escolhendo as 2 amarelas há $binom{4}{2}$ possibilidades.

b.1.2) Escolhendo as restantes há $binom{12}{6}$ possibilidaes.

b.1.3) Logo, há $binom{4}{2} cdot binom{12}{6}$

b.1.4) Logo,

$mathrm{Probabilidade} = frac{n^o ; casos;favoracute{a}veis}{totais}$

b.1.5) Logo, a probabilidade é

$frac{binom{4}{2} cdot binom{12}{6}}{binom{16}{8}}$

b.1.6) Da mesma forma, a coleção da outra já fica determinada.

c.1) Calcula-se primeiro a pontuação máxima de uma coleção sendo que:

círculo = 1 ponto, triângulo = 2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos

c.2) A pontuação máxima será 4 * 4 + 4 * 3 = 28 pontos.

c.3) Logo, precisamos contar os casos para as pontuações 26, 27 e 28.

c.4) Para 26:

c.5) Para 27:

c.6) Para 28:

c.7) Testando as possibilidades é possível alcançar somente essas 5 soluções.

c.8) Como, em cada caso, cada peça pode ter 4 cores, é necessário, em cada caso, fazer a combinação das cores também.

c.9) Somando os valores para cada caso, temos: $boxed{mathrm{num = 85}}$

17) O Floco de Neve de Koch (ou Estrela de Koch) é uma construção geométrica recursiva cujos primeiros passos se desenvolvem da seguinte forma:1

Os passos seguintes (Passo3, Passo4, Passo5, …) seguem o mesmo procedimento descrito no Passo1, em cada lado da figura obtida no passo anterior. Considerando os passos des critos e os próximos passos, responda:

a) Qual é o número de lados da figura no Passo 3?

b) Qual é o perímetro da figura no Passo 5?

c) A partir de qual Passo o número de lados da figura supera 6.000.000.000.000 (seistrilhões)?

Note e adote:

$log_{10} 2 cong 0,301$

FAZER COMENTÁRIO

1) Perceba que para o passo 0, temos 3 lados.

2) Perceba também que para o passo 1, temos 12 lados.

3) Perceba que o passo 2 possui 48 lados.

4) Com isso, podemos induzir que trata-se de uma PG com razão q=4

a.1) Queremos encontrar o valor de $a_3$ (o número de lados no passo 3).

a.2) Com isso, podemos utilizar a fórmula de PG:

$a_3=a_1 cdot q^{n-1}$

$a_3=12 cdot 4^{3-1}$

$a_3=192$

Logo, a figura no passo 3 terá 192 lados.

b.1) Primeiramente temos que encontrar o valor de $a_5$ (o número de lados no passo 5).

b.2) Utilizando a fórmula de PG:

$a_5=12 cdot 4^{5-1}=3072$ lados

b.3) Depois disso, precisamos encontrar o tamanho de cada lado.

b.6) Podemos perceber que também segue o estilo de uma PG, logo:

$a_5=frac{1}{3} cdot left (frac{1}{3} right )^4 = frac{1}{243}$

b.7) Com isso, o perímetro será

$2p = 3072 cdot frac{1}{243} =frac{1024}{81}$

c.1) Já utilizando a fórmula de PG elaborada nos passos anteriores, temos que

$6cdot 10^{12} < 12 cdot 4^{n-1}$

c.2) Dividindo ambos os lados por 12:

$4^{n-1}>2^{-1} cdot 10^{12}$

c.3)

$2^{2n-2}>2^{-1} cdot 10^{12}$

c.3) Aplicando as propriedades do logaritmo:

$2n-2>log _2left(2^{-1} cdot 10^{12}right)$

c.4) Como $log(x cdot y) = log (x)+log (y)$

$2n-2>log _2left(2^{-1}right)+log _2left(10^{12}right)$

c.5) Como $log(x^y)=y log(x)$ e $log_x(x^y)=y$

$2n-2>-1+12 cdot log _2left(10right)$

c.6) Como $log_{10} 2 cong 0,301 Rightarrow log_210 = 0.301^{-1}$ :

$2n-2>:-1+12:cdot :left(0.301right)^{-1}$

c.7) Desenvolvendo:

$n>20.43$

$boxed{n=21}$

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18) A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado.111

Com relação a essa tabela de números:

a) Escolha um quadrado $3 times 3$ e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9.

b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado.

c) A soma de todos os números de um quadrado ݊ $n times n$ ݊, com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de݊ $n$ ?

FAZER COMENTÁRIO

Observando a tabela podemos perceber que os números que compõem as linhas formam uma P.A. de razão 1 e os números que que compõem as colunas formam um P.A. de razão 7. Com base nisso, vamos resolver o que se pede:

a) Vamos pegar um quadrado $3 times 3$ arbitrário:

$x$	$x+1$	$x+2$
$x+7$	$x+8$	$x+9$
$x+14$	$x+15$	$x+16$

Somando os 9 termos:

$x+x+1+x+2+x+7+x+8+x+9+x+14+x+15+x+16$

$9x+72$

$9left (x+8 right )$

Com isso, verificamos que a soma dos termos desse quadrado é um multiplo de 9.

b) Pegando um quadrado $4times 4$ arbitrário:

$x$	$x+1$	$x+2$	$x+3$
$x+7$	$x+8$	$x+9$	$x+10$
$x+14$	$x+15$	$x+16$	$x+17$
$x+21$	$x+22$	$x+23$	$x+24$

Sabemos do item anterior a soma dos termos da tabela $3 times 3$ , então só precisamos somar os elementos da última linha e da última coluna:

$9x+72+x+3+x+10+x+17+x+24+x+21+x+22+x+23=1056$

$16x+192=1056$

$16x=864$

$x=54$

Desse modo, o menor número do quadrado é 54.

c) Tomando um quadrado $ntimes n$ :

$4$	$5$	$cdot cdot cdot$	$4+left (n-1 right )$
$11$	$12$	$cdot cdot cdot$	$11+(n-1)$
$cdot cdot cdot$	$cdot cdot cdot$	$cdot cdot cdot$	$cdot cdot cdot$
$4+7(n-1)$	$5+7(n-1)$	$cdot cdot cdot$	$4+(n-1)+7(n-1)$

Agora vamos montar uma P.A. onde cada elemento será a soma dos números da linha do quadro:

$a_{1}= left [4+4+(n-1) right ]cdot frac{n}{2}$

$a_{2}= left [11+11+(n-1) right ]cdot frac{n}{2}$

$left (cdot cdot cdot right )$

$a_{n}=left [ 4+7(n-1)+4+(n-1)+7(n-1) right ]cdot frac{n}{2}$

Fazendo a soma dessa P.A.:

$S_{a_{n}}=left { left [ 8+(n-1) right ]cdot frac{n}{2}+left [ 4+7(n-1)+4+(n-1)+7(n-1) right ]cdot frac{n}{2} right }frac{n}{2}$

$108000=left { left [ 7+n right ]cdot frac{n}{2}+left [ 8+14n-14+n-1right ]cdot frac{n}{2} right }frac{n}{2}$

$216000= left [ 7+n+8+14n-14+n-1 right ]cdot frac{n}{2}cdot n$

$432000= 16n cdot n^{2}$

$432000= 16 n^{3}$

$27000= n^{3}$

$30= n$

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