Prova de Matemática da UECE 2015 Resolvida

Continua após a publicidade..

11) (UECE – 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um idioma é

A) 236
B) 240
C) 244
D) 246

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

$(174-x)+x+(186-x)=300$

$360-x=300$

$x=60$

Alunos que estudam somente uma língua:

$(174-x)+(186-x)=$

$360-2x=$

$360-120=$

$240$

Alternativa correta é Letra B.

Continua após a publicidade..

12) (Uece 2015) Se os números 2+i, 2-i, 1+2i, 1-2i e 0,5 são as raízes da equação , então o valor de p+q+pq é

287.278.297.279.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

Vamos utilizar as Relações de Girard:

Soma:

$\ S = frac{-P}{2} = 2+i+2-i+1+2i+1-2i+frac{1}{2} = 2+2+1+1+frac{1}{2} = 6 + frac{1}{2} \ \ frac{-P}{2} = 6 + frac{1}{2} \ \ -P = 12 +1 \ \ P = -13$

Produto:

$\ Produto = frac{-q}{2} = (2+i)(2-i)(1+2i)(1-2i)(frac{1}{2}) = (4+1) (1+4)(frac{1}{2}) = frac{25}{2} \ \ frac{-q}{2} = frac{25}{2} \ \ q = 25$

Queremos:

P + q + P.Q

$-13-25 + 13.25 = -38 +325 = 287$

Gabarito: A

13) (Uece 2015) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual as retas representadas pelas equações e são tangentes a uma circunferência cujo centro está localizado sobre o eixo y. A equação que representa esta circunferência é:1

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

Como as retas são tangentes à circunferência, podemos dizer que a distância entre o centro da circunferência e o ponto onde a reta a toca é igual ao raio. Com isso, podemos encontrar a equação da circunferência.

Temos então:

$frac{|a_1cdot x_C+b_1cdot y_C+c_1|}{sqrt{a_1^2+b_1^2}}=frac{|a_2cdot x_C+b_2cdot y_C+c_2|}{sqrt{a_2^2+b_2^2}}$

Temos também a informação que o centro da está localizado sobre o eixo y, sendo assim x=0 no centro. Subsituindo na equação:

$\frac{|3cdot 0-4cdot y_C+4|}{sqrt{3^2+(-4)^2}}=frac{|3cdot 0-4cdot y_C+20|}{sqrt{3^2+(-4)^2}}\\\ frac{|4-4cdot y_C|}{sqrt{9+16}}=frac{|20-4cdot y_C|}{sqrt{9+16}}$

Como os denominadores são iguais, podemos anulá-los e trabalhar somente com o numerador:

$\|4-4cdot y_C|=|20-4cdot y_C|rightarrow 4-4cdot y_C=4cdot y_C-20\ 8cdot y_C=24rightarrow y_C=frac{24}{8}=3$

Esse é o ponto do centro. Agora vamos dar valor ao raio:

$frac{|3cdot 0-4cdot 3+4|}{sqrt{3^2+(-4)^2}}=frac{|-12+4}{sqrt{9+16}}=frac{|-8|}{sqrt{25}}=frac{8}{5}$

Esse é o raio. Agora temos todos os dados necessários para montar a equação:

$\(x-0)^2+(y-3)^2=(frac{8}{5})^2\\ x^2+y^2-6y+9=frac{64}{25}\\ 25x^2+25y^2-150y+225=64\ 25x^2+25y^2-150y+161=0$

Letra B

Continua após a publicidade..

14) (Uece 2015) Em um sistema de coordenadas cartesiano usual os pontos P = (1, 2) e Q = (4, 6) são vértices do triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a reta paralela ao segmento PQ que contém o ponto (8, 6), então a medida da área do triângulo PQM é

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

Vamos obter a reta que passa por P e Q:

$frac{(y-2)}{(6-2)}=frac{(x-1)}{(4-1)}rightarrow y=frac{4}{3}x+frac{2}{3}$

O coeficiente da reta será $frac{4}{3}$

A reta paralela à reta por P e Q que passa pelo ponto (8,6) será:

$a=frac{4}{3}$

$y-6=frac{4}{3}(x-8)$

$3y - 18 = 4x - 32$

$4x - 3y - 14 = 0$
A distância do ponto $Q( 4,6)$ à reta $4X - 3Y - 14 = 0:$

$D=frac{left | 4.4-3.6-14 right |}{sqrt{9+16}}=frac{16}{5}$

Distância PQ:

$d^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 -> d = 5$

Área será dada por: $frac{5.frac{16}{5}}{2}=8$

15) (Uece 2015) As soluções, em x , da equação cos4x – 4cos3x + 6cos2x – 4cosx + 1= 0 são:

Sugestão: use o desenvolvimento do binômio (p – q)⁴ .

A) x = 2kπ , onde k é um inteiro qualquer.
B) x = (2k +1 )π , onde k é um inteiro qualquer.
C) x = kπ , onde k é um inteiro qualquer.
D) x = (4k +1 )π , onde k é um inteiro qualquer.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

$cos ^4left(xright)-4cos ^3left(xright)+6cos ^2left(xright)-4cos left(xright)+1=0$

1) $mathrm{Seja::}cos left(xright)=u$

$u^4-4u^3+6u^2-4u+1=0$

2) Sobre a dica dada no enunciado:

$mathrm{Aplicar:o:teorema:do:binhat{o}mio}:quad left(a+bright)^n=sum _{i=0}^nbinom{n}{i}a^{left(n-iright)}b^i$

$left(p-qright)^4=p^4-4p^3q+6p^2q^2-4pq^3+q^4$

3) Logo, p=u e q=1. Com isso,

$left(u-1right)^4=0$

4) Logo, $u=1$

5) Como $cos left(xright)=u$

$cos left(xright)=1$

$x=2pi n$

Continua após a publicidade..

16) (Uece 2015) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas ortogonal usual, a reta tangente à circunferência x2 + y2 = 1 no ponto , intercepta o eixo y no ponto

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

17) (Uece 2015) A interseção das curvas representadas no plano, com o sistema cartesiano ortogonal usual, pelas equações x2 + y2 = 1 e |x| + |y| = é um conjunto:

A) vazio.
B) unitário (um ponto).
C) com dois elementos (dois pontos).
D) com quatro elementos (quatro pontos).

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D)

1) Quando x>0 e y>0 teremos as intersecções entre x² + y² = 1 e x + y =

1.1) $mathrm{Isolando}:x:mathrm{de}:x+y=sqrt{2}:quad x=sqrt{2}-y$

1.2) $mathrm{Para:}x^2+y^2=1mathrm{,:substituindo:}xmathrm{:com:}sqrt{2}-y$

$left(sqrt{2}-yright)^2+y^2=1$

1.3) Desenvolvendo e simplificando:

$2y^2-2sqrt{2}y+1=0$

$y_{1,:2}=frac{-left(-2sqrt{2}right)pm sqrt{left(-2sqrt{2}right)^2-4cdot :2cdot :1}}{2cdot :2}$

$y_{1,:2}=frac{-left(-2sqrt{2}right)pm sqrt{0}}{2cdot :2} = frac{sqrt{2}}{2}$

1.4) $mathrm{Inserindo:as:solucoes:}y=frac{sqrt{2}}{2}mathrm{:em:}x+y=sqrt{2}$

$x=sqrt{2}-frac{sqrt{2}}{2}$

1.5) Ponto de intercessão:

$begin{pmatrix}y=frac{sqrt{2}}{2},:&x=sqrt{2}-frac{sqrt{2}}{2}end{pmatrix}$

2) Quando x>0 e y<0 teremos as intersecções entre x² + y² = 1 e x - y =

2.1) $mathrm{Isolando}:x:mathrm{de}:x-y=sqrt{2}:quad x=sqrt{2}+y$

2.2) $mathrm{Para:}x^2+y^2=1mathrm{,:substituindo:}x=sqrt{2}+y$

$left(sqrt{2}+yright)^2+y^2=1$

2.3) Desenvolvendo e simplificando:

$2y^2+2sqrt{2}y+1=0$

$y_{1,:2}=frac{-2sqrt{2}pm sqrt{left(2sqrt{2}right)^2-4cdot :2cdot :1}}{2cdot :2}$

$y_{1,:2}=frac{-2sqrt{2}pm sqrt{0}}{2cdot :2}=-frac{sqrt{2}}{2}$

2.4) $mathrm{Inserindo:as:solucoes:}y=-frac{sqrt{2}}{2}mathrm{:em:}x-y=sqrt{2}$

$x=sqrt{2}-frac{sqrt{2}}{2}$

2.5) Ponto de intercessão:

$begin{pmatrix}y=-frac{sqrt{2}}{2},:&x=sqrt{2}-frac{sqrt{2}}{2}end{pmatrix}$

3) Quando x<0 e y>0 teremos as intersecções entre x² + y² = 1 e - x + y =

3.1) $mathrm{Isolando}:x:mathrm{de}:-x+y=sqrt{2}:quad x=-sqrt{2}+y$

3.2) $mathrm{Para:}x^2+y^2=1mathrm{,:substituindo:}xmathrm{:com:}-sqrt{2}+y$

$left(-sqrt{2}+yright)^2+y^2=1$

3.3) Desenvolvendo e simplificando:

$2y^2-2sqrt{2}y+1=0$

$y_{1,:2}=frac{-left(-2sqrt{2}right)pm sqrt{left(-2sqrt{2}right)^2-4cdot :2cdot :1}}{2cdot :2}$

$y_{1,:2}=frac{-left(-2sqrt{2}right)pm sqrt{0}}{2cdot :2}= frac{sqrt{2}}{2}$

3.4) $mathrm{Inserindo:as:solucoes:}y=frac{sqrt{2}}{2}mathrm{:em:}-x+y=sqrt{2}$

$x=x=-frac{sqrt{2}}{2}$

3.5) Ponto de intercessão:

$begin{pmatrix}y=frac{sqrt{2}}{2},:&x=-frac{sqrt{2}}{2}end{pmatrix}$

4) Quando x<0 e y<0 teremos as intersecções entre x² + y² = 1 e -x + -y =

4.1) $mathrm{Isolando}:x:mathrm{de}:-x-y=sqrt{2}:quad x=-sqrt{2}-y$

4.2) $mathrm{Para:}x^2+y^2=1mathrm{,:substituindo:}xmathrm{:com:}x=-sqrt{2}-y$

$left(-sqrt{2}-yright)^2+y^2=1$

4.3) Desenvolvendo e simplificando:

$2y^2+2sqrt{2}y+1=0$

$y_{1,:2}=frac{-2sqrt{2}pm sqrt{left(2sqrt{2}right)^2-4cdot :2cdot :1}}{2cdot :2}$

$y_{1,:2}=frac{-2sqrt{2}pm sqrt{0}}{2cdot :2} = -frac{sqrt{2}}{2}$

4.4) $mathrm{Inserindo:as:solucoes:}y=-frac{sqrt{2}}{2}mathrm{:em:}-x-y=sqrt{2}$

$x=-frac{sqrt{2}}{2}$

4.5) Ponto de intercessão:

$begin{pmatrix}y=-frac{sqrt{2}}{2},:&x=-frac{sqrt{2}}{2}end{pmatrix}$

Continua após a publicidade..

18) (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções de cada uma das retas x + y – 1 = 0 e x + y + 1 = 0 com a circunferência x2 + y2 = 25, calculada com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano considerado, é:

A) 16(u.c)²
B) 14(u.c)²
C) 18(u.c)²
D) 20(u.c)²

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

1) A circunferência ( $x^2+y^2=25$ ) irá encontrar com a reta ( $x + y - 1 = 0$ ) nos pontos:

1.1) Ordenando:

$y = -x+1$

2) Substituindo:

$x^2+(-x+1)^2=25$

$2x^2-2x-24=0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-2right)pm sqrt{left(-2right)^2-4cdot :2left(-24right)}}{2cdot :2}$

$x_1=4,:x_2=-3$

$y_1=-3,:y_2=4$

2) A circunferência ( $x^2+y^2=25$ ) irá encontrar com a reta ( $x + y + 1 = 0$ ) nos pontos:

1.1) Ordenando:

$y = -x-1$

2) Substituindo:

$x^2+(-x-1)^2=25$

$2x^2+2x-24=0$

$x_{1,:2}=frac{-2pm sqrt{2^2-4cdot :2left(-24right)}}{2cdot :2}$

$x_1=3,:x_2=-4$

$y_1=-4,:y_2=3$

3) Analisando o problema:

4) Os pontos do quadrilátero são $(4, -3), ; (-3, 4), ; (3, -4), ; (-3, 4)$

5) Calculando a área dos triângulos DCB e DBA:

5.1)

A área do DBA é igual a DCB.

5.2)

Área de um triângulo: $|frac{1}{2} cdot begin{vmatrix} 4 & -3 & 1\3 & -4 & 1\ -3 & 4 & 1 end{vmatrix}|$

6) Área do paralelogramo:

$2 cdot frac{1}{2} cdot |begin{vmatrix} 4 & -3 & 1\3 & -4 & 1\ -3 & 4 & 1 end{vmatrix}|$

$|4cdot begin{vmatrix}-4&1\ 4&1end{vmatrix}-left(-3right)begin{vmatrix}3&1\ -3&1end{vmatrix}+1cdot begin{vmatrix}3&-4\ -3&4end{vmatrix}|$

$|4left(-8right)-left(-3right)cdot :6+1cdot :0|$

$|-14|=14$

19) (UECE – 2015) As medidas das arestas de um paralelepípedo reto, em metros, são as raízes da equação , onde t é um número real. A medida da diagonal deste paralelepípedo é

A) 6 m.
B) 8 m.
C) 3 m.
D) 5 m.

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C)

Seja a , b e c os lados paralelepípedo retângulo, ou seja, raízes da equação $x^3-5x^2+8x+t=0$ .

Assim, segue que:

(i) Soma das raízes: a+b+c=5

(ii) Soma das raízes duas a duas: ab+bc+ca=8

(iii) A diagonal é calculada assim: $d=sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Mas veja que:

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

Logo: $d=sqrt{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}=sqrt{5^2-2cdot8}=sqrt{25-16}$

$therefore boxed{d=3}$

Continua após a publicidade..

20) (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal usual com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta y = -2x + 1 intercepta os semieixos positivos OX e OY, respectivamente, nos pontos P e Q formando o triângulo POQ. Se a medida da área deste triângulo é igual a 9 m2, então a distância entre os pontos P e Q é igual a

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

None

« Anterior 1 2 3 Próximo »