Prova de Matemática da UECE 2016 Resolvida

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1) (UECE – 2016) No retângulo PQRS, a medida dos lados PQ e QR são respectivamente 3m e 2m. Se V é um ponto do lado PQ tal que a medida do segmento VQ é igual a 1m e U é o ponto médio do lado PS, então, a medida, em graus, do ângulo VUR é:

A) 40
B) 35
C) 50
D) 45
E) 55

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A alternativa correta é letra D)

QUESTÃO ADAPTADA PARA A UTILIZAÇÃO NO SIMULADO ITA 4 - Letra "E" adicionada.

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2) (Uece 2016) Seja o conjunto dos números reais positivos e a função definida por f(x)= 2x. Esta função é invertível. Se é sua inversa, então, o valor de é

A) 3
B) 8
C) 7
D) 5

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A alternativa correta é letra A)

$\$ A função inversa de text{f(x) = 2^{x} } é text{ f^{-1}(x) = log_2(x)}$

Assim temos a soma dada no enunciado:

$log_2(16) - log_2(2) - log_2(1) = 4 -1 -0 =3$

3) (UECE – 2016) O resto da divisão de por é

A) 4x
B) 4(x-1)
C) 4(x-2)
D) 4(x-3)

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A alternativa correta é letra B)

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4) (UECE – 2016) Se a medida dos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo forma uma progressão geométrica crescente, então, a razão dessa progressão é igual a

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A alternativa correta é letra B)

Vamos chamar um cateto de $b$ , outro cateto de $c$ e a hipotenusa de $a$ . Então a relação de Pitágoras é $a^2=b^2+c^2$ .

Como sabemos o maior lado do triângulo retângulo é a hipotenusa, então a hipotenusa é o terceiro elemento da PG. Vamos arbitrar que $c$ seja o primeiro elemento dessa PG. E vamos dizer que a razão dessa PG é $q$ e como a PG é crescente, $q>1$ , então temos a seguinte relação:

$b=ccdot q$

$a=ccdot q^2$

Queremos saber o valor de $q$ .

Agora vamos utilizar da relação acima:

$a^2=b^2+c^2Rightarrow left(ccdot q^2 right )^2=left(ccdot q right )^2+left(c right )^2Rightarrow c^2q^4=c^2q^2+c^2$ , como $cneq0$ , então podemos fazer

$q^4=q^2+1Rightarrow q^4-q^2-1=0$

Vamos chamar, sem perda de generalidade, $q^2$ de $x$ , ou seja, $x=q^2$ :

$q^4-q^2-1=x^2-x-1=0Rightarrow Delta=1+4=5$

$x=frac{+1pmsqrt{5}}{2}=q^2Rightarrow q=sqrt{frac{1pmsqrt{5}}{2}}$ , mas como $1-sqrt{5}<0$ , então a solução $q=sqrt{frac{1-sqrt{5}}{2}}$ não é uma solução pois não é um número real. Logo,

$q=sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$ é solução.

A Letra B é correta.

5) (UECE – 2016) Considere uma progressão aritmética, não constante, com sete termos, cuja razão é o número r. Se o primeiro, o terceiro e o sétimo termo desta progressão formam, nesta ordem, os três primeiros termos de uma progressão geométrica, então, a soma dos termos da progressão aritmética é igual a

27r.30r.33r.35r.

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A alternativa correta é letra D)

P.A. a1=x ; a3=x+2r ; a7=x+6r

P.G. a1=x ; a2=x.q=x+2r ; a3=xq²=x+6r

a2=√(a1.a3) --> (a2)²=a1.a3

x²+4xr+4r²=x²+6xr
4r²=2xr
x=2r

S7=(a1+a7)7/2
S7=(x+x+6r)7/2
S7=(10r)7/2
S7=35r

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6) (Uece 2016) Se n é um número natural maior do que dois, ao ordenarmos o desenvolvimento de segundo as potências decrescentes de x, verificamos que os coeficientes dos três primeiros termos estão em progressão aritmética. Nessas condições, o valor de n é

A) 8
B) 6
C) 4
D) 10

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A alternativa correta é letra A)

7) (UECE – 2016) Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas faces triangulares. O número de arestas deste poliedro é

A) 100.
B) 120.
C) 90.
D) 80.

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A alternativa correta é letra C)

None

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8) (Uece 2016) O volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos X, da região do plano limitada pelo triângulo com vértices nos pontos (6,0), (8,0) e (8,9) é igual a u.v. unidade de volume

A) 81 π u.v.
B) 72 π u.v.
C) 64 π u.v.
D) 54 π u.v.

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A alternativa correta é letra D)

9) (Uece 2016) Se V é uma matriz quadrada e n é um número natural maior do que um, define-se Com essa definição, para a matriz pode-se afirmar corretamente que o valor do determinante da matriz é igual a12

A) 2 x 2016.
B) 2 x 2017.
C) 2016 x 2016.
D) 2016 x 2017.

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A alternativa correta é letra C)

Vamos calcular V², isso é bem simples de se fazer já que a matriz é 2x2. Temos:

V² = V*V = $begin{bmatrix} 1+0 &2+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 &4 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Agora calculemos V³, que é V²*V:

V*V² = $begin{bmatrix} 1+0 &4+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 &6 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Analogamente calculemos V⁴ = V*V³:

V*V³ = $begin{bmatrix} 1+0 &6+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 &8 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Isso já é o suficiente para que percebamos que dado um n natural, temos:

Vⁿ = $begin{bmatrix} 1 &2n \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Quando fizermos a soma Y = V + V² + V³ + V⁴ + ... + V²⁰¹⁶, teremos:

$Y = begin{bmatrix} 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 &2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2*2016 \ 0 & 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2016 &2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2*2016 \ 0 & 2016 end{bmatrix}$ (os números 1 são somados 2016 vezes, pois há 2016 matrizes sendo somadas.

Calculando o determinante de Y, temos:

det(Y) = 2016*2016 - 0*(2+4+6+8+...+2*2016) = 2016*2016

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10) (Uece 2016) Seja PQRS um trapézio isósceles cujas bases menor e maior são respectivamente os segmentos PQ e SR. Se M e N são respectivamente as projeções ortogonais de P e Q sobre SR e se a razão entre as medidas de SR e PQ é igual a três, então, pode-se afirmar corretamente que a razão entre a área do trapézio e a área do quadrilátero PQNM é igual a

A) 3,0.
B) 1,5.
C) 2,0.
D) 2,5.

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A alternativa correta é letra C)

Pela figura percebe-se que PQNM é um retângulo, pois PQ é paralelo a MN e seus ângulos são retos. A área deste retângulo, seguindo as medidas definidas é:

$[PQNM]=hx$

a área do trapézio PRQS:

$[PQRS]=hcdotfrac{x+3x}{2}=2hx$

A razão entre eles é definida por:

$frac{[PQRS]}{[PQNM]}=frac{2hx}{hx}=2$

portanto a razão entre elas é 2.

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