(Uece 2016) Se V é uma matriz quadrada e n é um número natural maior do que um, define-se Com essa definição, para a matriz pode-se afirmar corretamente que o valor do determinante da matriz é igual a12

A) 2 x 2016.
B) 2 x 2017.
C) 2016 x 2016.
D) 2016 x 2017.

Resposta:

A alternativa correta é letra C)

Vamos calcular V², isso é bem simples de se fazer já que a matriz é 2x2. Temos:

V² = V*V = $begin{bmatrix} 1+0 &2+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 &4 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Agora calculemos V³, que é V²*V:

V*V² = $begin{bmatrix} 1+0 &4+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 &6 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Analogamente calculemos V⁴ = V*V³:

V*V³ = $begin{bmatrix} 1+0 &6+2 \ 0+0 & 0+1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 &8 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Isso já é o suficiente para que percebamos que dado um n natural, temos:

Vⁿ = $begin{bmatrix} 1 &2n \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Quando fizermos a soma Y = V + V² + V³ + V⁴ + ... + V²⁰¹⁶, teremos:

$Y = begin{bmatrix} 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 &2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2*2016 \ 0 & 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 2016 &2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2*2016 \ 0 & 2016 end{bmatrix}$ (os números 1 são somados 2016 vezes, pois há 2016 matrizes sendo somadas.

Calculando o determinante de Y, temos:

det(Y) = 2016*2016 - 0*(2+4+6+8+...+2*2016) = 2016*2016

(Uece 2016) Se V é uma matriz quadrada e n é um número natural maior do que um, define-se Com essa definição, para a matriz pode-se afirmar corretamente que o valor do determinante da matriz é igual a12

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