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(ENEM – 2015) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representada a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um número natural.

O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com dimensões 50 m x 24 m.

O proprietário quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada pela piscina já existente.

Considere 3,0 como aproximação para π

O maior valor possível para R, em metros, deverá ser.

A) 16.
B) 28.
C) 29.
D) 31.
E) 49.

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Resposta:

A alternativa correta é letra B)

Inicialmente vamos encontrar uma equação que represente a área da pscina. Como ela formada por 3 setores circulares precisamos saber o valor de um dos setores circulares, que pode ser calculado a partir de uma relação com o ângulo que forma a circunferência.

$\ frac{pi r^2}{360} = frac{area}{60} \ area = frac{pi r^2}{360} cdot 60 \ area = frac{pi r^2}{6}$

Explicando as operações:

A área de um circulo é dada por: $pi r^2$
Essa área é correspondente a um ângulo de $360^o$
Portanto como o nosso setor tem um ângulo de $60^o$ (que corresponde à $360^o/6$ ), a área será a sexta parte da área de um circulo completo: $frac{pi r^2}{6}$

Agora multiplicamos esse valor por 3 e obtemos uma expressão para a área da piscina:

$\ area = frac{pi R^2}{6} cdot 3 \ area = frac{3 cdot R^2}{6} cdot 3 \ area = frac{3R^2}{2}$

Como a área da nova piscina deve ser menor que a da anterior:

$\ area = frac{3R^2}{2} < 50cdot 24 = 1200 \ frac{3R^2}{2} < 1200 \ R^2 < frac{cancel{1200}cdot 2}{cancel3} = 400 cdot 2 = 800m^2 \ R^2 < 800$

A raíz de 800 está entre 28 e 29 sendo que o quadrado de 29 é 841.

Assim, como R tem de ser um número natural e menor que a raiz de 800, a resposta é 28. Alternativa: B

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(ENEM – 2015) O proprietário de um parque aquático deseja construir uma piscina em suas dependências. A figura representada a vista superior dessa piscina, que é formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um número natural.

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