Prova de Matemática do ENEM 2015 Resolvida

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21) (ENEM – 2015) Para uma alimentação saudável, recomenda-se ingerir, em relação ao total de calorias diárias, 60% de carboidratos, 10% de proteínas e 30% de gorduras. Uma nutricionista, para melhorar a visualização dessas porcentagens, quer dispor esses dados em um polígono. Ela pode fazer isso em um triângulo equilátero, um losango, um pentágono regular, um hexágono regular ou um octógono regular, desde que o polígono seja dividido em regiões cujas áreas sejam proporcionais às porcentagens mencionadas. Ela desenhou as seguintes figuras:

A) triângulo.
B) losango.
C) pentágono.
D) hexágono.
E) octógono.

A alternativa correta é letra C)

1) Triângulo:

A área total desse triângulo é $frac{b.h}{2}$ .

A área do triângulo das proteínas será $frac{frac{b}{3}.frac{h}{3}}{2}=frac{bh}{18}$ , que representa aproximadamente 5,5% da área total.

Como as proteínas deveriam representar 10% da área total, então esse não é o polígono correto.

2) Losango

Logo de cara podemos observar que os carboidratos representam 50% da área total e não 60% como deveria ser. Então esse também não é o polígono correto.

3) Pentágono

O pentágono é composto por cintro triângulos insósceles iguais.

Os carboidratos estão sendo representados por 3 dos 5 triângulos, então: $frac{3}{5}=0,6=60%$

Já as gosduras, estão sendo representadas por 1,5 triângulos dos 5, então: $frac{1,5}{5}=0,3=30%$

E as proteínas, estão sendo representadas po 0,5 triângulo dos 5, então: $frac{0,5}{5}=0,1=10%$

Logo, esse polígono obedece a todos os requisitos necessárias para representar a ingestão correta.

22) (ENEM – 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.

A) P(t) = 0,5. t^-1 + 8.000.
B) P(t) = 50. t^-1 + 8.000.
C) P(t) = 4.000. t^-1 + 8.000.
D) P(t) = 8.000. (0,5)^t-1.
E) P(t) = 8.000. (1,5)^t-1.

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A alternativa correta é letra E)

Para conseguirmos análisar como se dá o comportamento na produção, levando em conta o que foi dito no enunciado, vamos pegar alguns valores de P e t iniciais:

Para o primeiro ano, temos que $P_1 = 8000$ .
No ano seguinte, temos que $P_2$ será o valor produzido no ano anterior com um acréscimo de 50% sobre esse valor. Ficamos assim com $P_2 = P_1cdot 1,5$
No próximo ano, a produção volta a ter um acréscimo de 50%, só que dessa vez sobre o segundo ano. Então $P_3 = P_2cdot 1,5$ . Substituindo $P_2$ temos: $P_3 = (P_1cdot 1,5)cdot 1,5 = P_1cdot1,5^2$
No quarto ano, seguindo o padrão ficaremos com: $P_4 = P_3cdot 1,5 = (P_1cdot1,5^2)cdot1,5 = P_1cdot 1,5^3$

Observe que a cada anos que passa o valor de $P$ naquele ano é sempre $P_1cdot1,5$ elevado à um expoente:

Em $P_2$ o expoente é 1
Em $P_3$ o expoente é 2
Em $P_4$ o expoente é 3

Vemos com isso que o expoente sempre é o ano menos 1. E assim podemos dizer que: $P_t$ para um ano t qualquer onde, t é o ano de funcionamento da indústria, a produção será de:

$P_t = P_1cdot 1,5^{t-1}$

E sabemos que $P_1 = 8000$ , assim:

$P_t = 8000cdot 1,5^{t-1}$ .

Alternativa E.

23) (Enem 2015) O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta:

A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.

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A alternativa correta é letra A)

1) Sem vacina, o HPV acomete 50% do público.

2) É importante lembrar que a vacina possui eficácia de 98%, logo a chance de alguém ter HPV cai para 2%/2=1%.

3) O objetivo é que a chance de encontrar alguém com HPV seja, no máximo, de 5,9%

4) A proposta deve vacinar a menor quantidade de pessoas.

5) Analisando as propostas:

5.1) Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo.

5.1.1) Teremos 90% vacinados:

Desses 1% terão a doença = 0,9%

5.1.2) Teremos 10% não vacinados:

Desses 50% terão a doença = 5%

5.1.3) Probabilidade de alguém ter a doença = 5,9%

5.2) Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo.

5.2.1) Teremos 55,8% vacinados:

Desses 1% terão a doença = 0,558%

5.2.2) Teremos 44,2% não vacinados:

Desses 50% terão a doença = 22,1%

5.2.3) Probabilidade de alguém ter a doença = 22,658%

5.3) Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo.

5.3.1) Teremos 88,2% vacinados:

Desses 1% terão a doença = 0,882%

5.3.2) Teremos 11,8% não vacinados:

Desses 50% terão a doença = 5,9%

5.3.3) Probabilidade de alguém ter a doença = 6,782%

5.4) Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo.

5.4.1) Teremos 49% vacinados:

Desses 1% terão a doença = 0,49%

5.4.2) Teremos 51% não vacinados:

Desses 50% terão a doença = 25,5%

5.4.3) Probabilidade de alguém ter a doença = 25,95%

5.5) Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.

5.5.1) Teremos 95,9% vacinados:

Desses 1% terão a doença = 0,959%

5.5.2) Teremos 4,1% não vacinados:

Desses 50% terão a doença = 2,05%

5.5.3) Probabilidade de alguém ter a doença = 3,009%

24) (Enem 2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação

A) R$ 0, 50 ≤ p < R$ 1, 50
B) R$ 1, 50 ≤ p < R$ 2, 50
C) R$ 2, 50 ≤ p < R$ 3, 50
D) R$ 3, 50 ≤ p < R$ 4, 50
E) R$ 4, 50 ≤ p < R$ 5, 50

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A alternativa correta é letra A)

A arrecadação é dada pelo produto entre a quantidade de pães vendidos e o preço de cada pão. Mas já sabemos que essa arrecadação deve ser igual à 300:

$qcdot p=300;;;;rightarrow ;;(400-100p)p=300;;;;rightarrow ;;-p^2+4p-3=0$

$\p^2-4p+3=0;;;;;rightarrow ;;p=1;;;vee ;;;p=3\\therefore textbf{p=1};;;textrm{para que q seja maximo}$

25) (Enem 2015) Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas menores do que metade da aresta do cubo. Cada face do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta das demais faces.

68142430

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A alternativa correta é letra C)

Um cubo possui 8 vértices, como vai ser cortado um tetraedro em cada um deles, de forma que a aresta de cada um deles seja menor que metade da aresta do cubo, vamos ter uma nova face no cubo para cada corte. Como o cubo tem 6 faces, o novo sólido terá 6 mais as 8 faces adicionais, resultando assim em 14 faces no total. Como cada face será pintada de uma cor diferente, temos um total de 14 cores de tinta distintas. Alternativa: C

26) (ENEM – 2015) Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao modelo apresentado na Figura 1, deverá ser descarregada no porto de uma cidade. Para isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o empilhamento desses contêineres (Figura 2).

A) 12,5 m.
B) 17,5 m.
C) 25,0 m
D) 22,5 m.
E) 32,5 m.

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A alternativa correta é letra A)

1) A área para armazenar os contêineres foi de 32m . 10m = 320 m².

2) Um contêiner ocupa uma área de 2,5m . 6,4m = 16m²

3) Logo, um andar de contêineres possui 320/16 = 20 contêineres.

4) Logo, como há 100 contêineres, haverão 100/20 = 5 andares.

5) A altura desses 5 andares será 5 . 2,5 m = 12,5 m

Alternativa correta letra A

27) (Enem 2015) Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.

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A alternativa correta é letra C)

1) Analisando o enunciado:

1.1) Há apenas 5 possibilidades de notas: 6,7,8,9 ou 10

2) Analisando para o caso em que a escola II tenha nota 6:

Não há possibilidades de ganhar, pois com essa nota ela irá para 72 pontos e a escola IV irá para 74 no mínimo.

3) Analisando para o caso em que a escola II tenha nota 7:

Não há possibilidades de ganhar, pois com essa nota ela irá para 73 pontos e a escola IV irá para 74 no mínimo.

4) Analisando para o caso em que a escola II tenha nota 8:

Caso a escola IV tenha nota 6, a escola campeã será a Escola II, pois esta possui mais pontos de Enredo e Harmonia.

4.1) As possibilidades então são:

Escola I -> 5 possibilidades.

Escola III -> 5 possibilidades.

Escola IV -> 1 possibilidades.

Escola V -> 5 possibilidades.

4.2) Logo há $5 cdot 5 cdot 1 cdot 5=125$ possibilidades.

5) Analisando para o caso em que a escola II tenha nota 9:

Caso a escola IV tenha nota 6 ou 7, a escola campeã será a Escola II, pois esta possui mais pontos de Enredo e Harmonia.

5.1) As possibilidades então são:

Escola I -> 5 possibilidades.

Escola III -> 5 possibilidades.

Escola IV -> 2 possibilidades.

Escola V -> 5 possibilidades.

5.2) Logo há $5 cdot 5 cdot 2 cdot 5=250$ possibilidades.

6) Analisando para o caso em que a escola II tenha nota 10:

Caso a escola IV tenha nota 6, 7 ou 8, a escola campeã será a Escola II, pois esta possui mais pontos de Enredo e Harmonia.

6.1) As possibilidades então são:

Escola I -> 5 possibilidades.

Escola III -> 5 possibilidades.

Escola IV -> 3 possibilidades.

Escola V -> 5 possibilidades.

6.2) Logo há $5 cdot 5 cdot 3 cdot 5=375$ possibilidades.

7) No total então há $125+250+375=750$ possibilidades.

28) (Enem 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81 m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π.

A) 0,5
B) 1,0
C) 2,0
D) 3,5
E) 8,0

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A alternativa correta é letra C)

Vamos decobrir o valor $r$ que o raio da nova cisterna deve ter para que ela comporte 81m³ de água, mantendo o valor da altura da antiga:

O antigo raio da cisterna é metade do diâmetro da mesma, assim:

$r = 2/2 = 1m$

Sabemos que o volume de um cilindro é calculado multiplicando o valor da área de sua base, pela sua altura. Sendo $r_{base}$ o raio e $h$ a altura ficamos com:

$V = (pi cdot r_{base}^2)h$

Assim o para encontrarmos o raio da cisterna precisamos apenas de isolar $r_{base}$ da equação anterior:

$\ r_{base}^2 = frac{V}{picdot h} \ r_{base} = pm sqrt{frac{V}{picdot h}}$

(Como estamos trabalhando com valores de distâncias sabemos que o resultado vai ser positivo. )

Agora substituimos os valores do enunciado na equação:

$\ r_{base} = sqrt{frac{81}{3cdot 3m}} \ r_{base} = sqrt{9} \r_{base} = 3m$

Tendo em mãos tanto o raio antigo como o novo podemos cálcular o aumento no raio da cisterna:

$r_{base} - r = 3-1=2 m$

Que está na alternativa C.

29) (ENEM – 2015) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400 ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos:

A) 2.
B) 4.
C) 9.
D) 40.
E) 80.

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A alternativa correta é letra C)

Temos que encontrar o máximo divisor comum entre 400 e 320 para atender aos critérios de distribuição de ingressos, este será 80, logo, cada escola terá 80 ingressos, 720/80 = 9 , assim os 720 ingressos serão distribuídos entre 9 escolas.

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30) (ENEM 2015) O Esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.1

A) aumento de 5.800 cm².
B) aumento de 75.400 cm².
C) aumento de 214.600 cm².
D) diminuição de 63.800 cm².
E) diminuição de 272.600 cm².

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A alternativa correta é letra A)

1) Analisando o trapézio inicial:

Base menor: 360 cm

Base maior: 600 cm

Altura: 580 cm

Área: $frac{(600+360)cdot 580}{2}=278400;cm^2$

2) Analisando o quadrado final:

Comprimento: 580 cm

Largura: 490 cm.

Área: $490cdot 580=284200;cm^2$

3) Logo, houve um aumento de $284200-278400=5800;cm^2$

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