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Prova de Matemática do ENEM 2018 Resolvida

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1) Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30º com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede  cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.1

O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

  • A) 36sqrt{3}
  • B) 24sqrt{3}
  • C) 4sqrt{3}
  • D) 36
  • E) 72
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A alternativa correta é letra B)

Primeiramente, descobrimos o valor de x. Sabe-se que o o raio do cilindro é 6/π. O comprimento da base então é 2π*6/π=12cm. Como é enrolado 6 vezes, x=72cm.

Para encontrar y, basta igualar a tg30º=x/72 ->

y = 24sqrt{3}

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2) Um quebra-cabeça consiste em recobrir um quadrado com triângulos retângulos isósceles, como ilustra a figura.

Uma artesã confecciona um quebra-cabeça como o descrito, de tal modo que a menor das peças é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 cm.

O quebra-cabeça, quando montado, resultará em um quadrado cuja medida do lado, em centímetro, é

  • A) 14
  • B) 12
  • C) 7sqrt{2}
  • D) 6 + 4sqrt{2}
  • E) 6 + 2 sqrt{2}
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A alternativa correta é letra A)

Observando a figura, podemos aplicar teorema de Pitágoras para descobrir o valor de d, e com isso, encontrar o valor do lado que é d+2.

1) 

\ x^2=2^2+2^2 rightarrow \ x^2=2 cdot 2^2 rightarrow \x=2sqrt{2}

2) 

\ y^2=(2sqrt{2})^2+(2sqrt{2})^2 \ y^2 = 8 + 8 rightarrow \ y^2 = 16 rightarrow \ y=4

3) 

\ z^2=4^2+4^2 rightarrow \ z^2 = 2 cdot 4^2 rightarrow \ z=4sqrt{2}

4) 

\ d^2=(2sqrt{2}+4sqrt{2})^2+(2sqrt{2}+4sqrt{2})^2 rightarrow \ d^2 = 2 cdot (2sqrt{2}+4sqrt{2})^2 \ d^2 = 2 cdot [(2sqrt{2})^2+2 cdot 2sqrt{2} cdot 4sqrt{2} + (4sqrt{2})^2] \ d^2 = 2 cdot [8 + 32 + 32] \ d^2 = 144 \ d=12

d+2 = 14

3) Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos,e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.

Quantos alunos compraram somente um bilhete?

  • A) 34
  • B) 42
  • C) 47
  • D) 48
  • E) 79
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A alternativa correta é letra D)

Analisando o enunciado, podemos retirar diversas conclusões:

Consideramos que Z é o número total de alunos.

Sabe-se que 80 alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Com isso Z-80 participaram da festa.

Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um.

Sendo B o número de bilhetes, podemos chegar a conclusão que:

B = 3X+90+Y

Sendo X, o número que de alunos que compraram 3 bilhetes e Y, o número de alunos que compraram 1 bilhete.

O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos:

Y = 0,2*(3X+90+Y)

Sabemos também que o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio:

B = Z+33

Sabemos também que o número de alunos do colégio é dado por:

Z = X+Y+45+80

Com esses dados, podemos elaborar o sistema de equações:

left{begin{matrix} \ B = Z+33 (1) \ B = 3X+90+Y (2) \ Z = X+Y+45+80 (3) \Y = 0,2*(3X+90+Y) (4) end{matrix}right.

Igualando as equações 1 e 2, chegamos a um sistema de equações mais simples (fazendo simplificações também):

left{begin{matrix} Z-3X-Y = 57 \ Z-X-Y = 125 \-0,6X+0,8Y = 18 end{matrix}right.

Resolvendo:

Z-3X-Y = 57 (x -1)

Z-X-Y = 125

_______________

2x = 68

x = 34

-0,6*34+0,8Y=18

Y=48

 

 

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4) Devido ao não cumprimento das metas definidas para a campanha de vacinação contra a gripe comum e o vírus H1N1 em um ano, o Ministério da Saúde anunciou a prorrogação da campanha por mais uma semana. A tabela apresenta as quantidades de pessoas vacinadas dentre os cinco grupos de risco até a data de início da prorrogação da campanha.

Balanço parcial nacional da vacinação contra a gripe
Grupo de riscoPopulação (milhão)População já vacinada
(milhão)(%)
Crianças4,50,920
Profissionais de saúde2,01,050
Gestantes2,51,560
Indígenas0,50,480
Idosos20,58,240

Disponível em: htttp://portalsaude.saude.gov.br. Acesso em: 18 ago. 2012.

Qual é a porcentagem do total de pessoas desses grupos de risco já vacinadas?

  • A) 12
  • B) 18
  • C) 30
  • D) 40
  • E) 50
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A alternativa correta é letra D)

Observando a tabela, podemos extrair 2 dados para a resolução dessa questão:

População total de risco: 4,5+2,0+2,5+0,5+20,5= 30 milhões

População de risco já vacinadas: 0,9+1+1,5+0,4+8,2 = 12 milhões

Com isso, podemos calcular a porcentagem total de pessoas vacinadas:

frac{Vacinadas}{Total} = frac{12}{30} = frac{40}{100}

Com isso, encontramos a porcentagem: 40%

5) O salto ornamental é um esporte em que cada competidor realiza seis saltos. A nota em cada salto é calculada pela soma das notas dos juízes, multiplicada pela nota de partida (o grau de dificuldade de cada salto). Fica em primeiro lugar o atleta que obtiver a maior soma das seis notas recebidas.

O atleta 10 irá realizar o último salto da final. Ele observa no Quadro 1, antes de executar  o salto, o recorte do quadro parcial de nota com a sua classificação e a dos três primeiros lugares até aquele momento.

Quadro 1

ClassificaçãoAtleta6º SaltoTotal
3135,0829,0
4140,0825,2
8140,4824,2
10687,5

Ele precisa decidir com seu treinador qual salto deverá realizar. Os dados dos possíveis tipos de salto estão no Quadro 2.

Quadro 2

Tipo de SaltoNota de partidaEstimativa da soma das notas dos juízesProbabilidade de obter a nota
T12,25789,76%
T22,45893,74%
T32,65591,88%
T42,85095,38%
T53,05387,34%

O atleta optará pelo salto com a maior probabilidade de obter a nota estimada, de maneira que lhe permita alcançar o primeiro lugar.

Considerando essas condições, o salto que o atleta deverá escolher é o de tipo

  • A) T1.
  • B) T2.
  • C) T3.
  • D) T4.
  • E) T5.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C)

Primeiramente, devemos saber quantos pontos o atleta deve tirar para que ele possa atingir a pontuação para o 1º lugar.

Ele possui 687,5. O atleta do 1º lugar possui 829. Com isso ele precisa de no mínimo 141,5 pontos para atingir o primeiro lugar.

Com isso, analisaremos a quantidade de pontos para cada salto.

T1: 2,2*57=125,4 (INSUFICIENTE)

T2: 2,4*58=139,2 (INSUFICIENTE)

T3: 2,6*55= 143 (SUFICIENTE)

T4: 2,8*50= 140 (INSUFICIENTE)

T5: 3,0*53= 159 (SUFICIENTE)

Com isso, analisaremos as probabilidades entre T3 e T5 para encontrarmos a resposta.

Entre os dois, a maior probabilidade de que o atleta atinja o primeiro lugar é com o salto T3.

 

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6) Uma loja vende automóveis em N parcelas iguais sem juros. No momento de contratar o financiamento, caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00, ou se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe R$ 232,00. Considere ainda que, nas três possibilidades de pagamento, o valor do automóvel é o mesmo, todas são sem juros e não é dado desconto desconto em nenhuma das situações.

Nessas condições, qual é a quantidade N de parcelas a serem pagas de acordo com a proposta inicial da loja?

  • A) 20
  • B) 24
  • C) 29
  • D) 40
  • E) 58
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A alternativa correta é letra B)

Considere como:

T = Preço total a ser pago

N = Número de prestações de acordo com a proposta inicial

P = Preço de cada prestação

Inicialmente a loja fez uma proposta inicial, como pode ser subtendido, em que o valor a ser pago seria de P em N prestações. Com isso, 

T = NP

Logo após, é dito condições iniciais, para o problema:

→ caso o cliente queira aumentar o prazo, acrescentando mais 5 parcelas, o valor de cada uma das parcelas diminui R$ 200,00.

Com isso: T = (N+5)cdot (P-200) = NP+5P-200N-1000

→ ou se ele quiser diminuir o prazo, com 4 parcelas a menos, o valor de cada uma das parcelas sobe R$ 232,00

Com isso: T = (N-4)cdot (P+232) = NP-4P+232N-928

Diante disso, podemos fazer o sistema de três equações:

T = NP (1)

T = NP+5P-200N-1000 (2)

T = NP-4P+232N-928 (3)

Substituindo 1 em 2 e 3 encontramos:

NP = NP+5P-200N-1000

NP = NP-4P+232N-928

Organizando:

5P-200N=1000 (x4)

-4P+232N=928 (x5)

_________________

-800N+1160N=8640

360N=8640

N=24

Alternativa correta é Letra B.

7) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cmde área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para log102.

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

 

  • A) 1999
  • B) 2002
  • C) 2022
  • D) 2026
  • E) 2146
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C)

Do enunciado, a equação que rege o crescimento no número de transistores ao longo do tempo é 

n=4.10^{5}.2^{frac{t}{2}}

Para n=100.000.000.000 = 10^{11}, temos:

10^{11}=4.10^5.2^{frac{t}{2}}

10^{6}=4.2^{frac{t}{2}}

log 10^{6}=log 4.2^{frac{t}{2}}

6log 10=log 4 +log 2^{frac{t}{2}}

6=2log 2 + frac{t}{2}log 2

6=2.0,3+ frac{t}{2}0,3

t=36

1986+36=2022

 

Resolvendo por PG:

10^{11}=4cdot10^{5}(2)^{n-1}

10^{6}=2^2cdot(2)^{n-1}

6Log10=2Log2cdot{(n-1)}Log2

6=2(0,3)cdot{(n-1)}(0,3)

n=19

de n=1 até n=19 são 18 termos, como cada termo equivale a dois anos temos t=2*18=36 anos até essa quantia ser atingida

1986+36=2022

 

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8) Os guindastes são fundamentais em canteiros de obras, no manejo de materiais pesados como vigas de aço. A figura ilustra uma sequência de estágios em que um guindaste iça uma viga de aço que se encontra inicialmente no solo.

Na figura, o ponto O representa a projeção ortogonal do cabo de aço sobre o plano do chão e este se mantém na vertical durante todo o movimento de içamento da viga, que se inicia no tempo t = 0 (estágio 1) e finaliza no tempo t, (estágio 3). Uma das extremidades da viga é içada verticalmente a partir do ponto O, enquanto que a outra extremidade desliza sobre solo em direção ao ponto O. Considere que o cabo de aço utilizado pelo guindaste para içar a viga fique sempre na posição vertical. Na figura, o ponto M representa o ponto médio do segmento que representa a viga.

O gráfico que descreve a distância do ponto M ao ponto O, em função do tempo, entre t = 0 e tf, é

  • A)
  • B)
  • C)
  • D)
  • E)
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A alternativa correta é letra A)

Do desenho, no estágio 1 e no estágio 3 a distância de M a O é igual e metade do comprimento da viga. 

No estágio 2, a distância de M a O é a mediana do triângulo retângulo formado entre a viga e a superfície, que é sempre igual à metade do comprimento da viga.

9) Na teoria das eleições, o método de borda sugere que, em vez de escolher um candidato cada juiz deve criar um ranking de sua preferência para os concorrentes (isto é, criar uma lista com a ordem de classificação dos concorrentes). A este ranking é associada uma pontuação: um ponto para o último colocado no ranking, dois pontos para o penúltimo, três para o antepenúltimo, e assim sucessivamente. Ao final, soma-se a pontuação atribuída a cada concorrente por cada um dos juízes.

Em uma escola houve um concurso de poesia no qual cinco alunos concorreram a um prêmio, sendo julgados por 25 juízes. Para a escolha da poesia vencedora foi utilizado o Método de Borda. Nos quadros, estão apresentados os rankings dos juízes e a frequência de cada ranking.

ColocaçãoRanking
IIIIIIIV
AnaDaniBiaEdu
BiaCaioAnaAna
CaioEduCaioDani
DaniAnaEduBia
EduBiaDaniCaio
RankingFrequência
I4
II9
III7
IV5

A poesia vencedora foi a de

  • A) Edu.
  • B) Dani.
  • C) Caio.
  • D) Bia.
  • E) Ana.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E)

O total de pontos é a pontuação no ranking multiplicado pela frequência que essa colocação aparece. Logo, temos: 

Ana => 5.4 + 2.9 + 4.7 + 4.5 = 86

Bia => 4.4 + 1.9 + 5.7 + 4.5 = 70

Caio => 3.4 + 4.9 + 3.7 + 1.5 = 74

Dani => 2.4 + 5.9 + 1.7 + 3.5 = 75

Edu => 1.4 + 3.9 + 2.7 + 5.5 = 70

Ganhadora: Ana.

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10) A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais.

Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido Oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber:

Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possivel, no sentido Noroeste (NO) devido a um movimento suspeito de um cliente.

Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar a câmera?

  • A) 75º no sentido horário
  • B) 105º no sentido anti-horário
  • C) 120º no sentido anti-horário;
  • D) 135º no sentido anti-horário
  • E) 165º no sentido horário
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra E)

Cada intervalo na rosa dos ventos equivale a 45^o

Usando o norte como referencial 0^o, o Oeste equivale a 270^o.

Convencionando anti-horário como negativo e horário como positivo, computamos as mudanças:


270^o-135^o+60^o-45^o=150^o

Para Noroeste (315^o) o movimento de menor amplitude é de 315^o-150^o=165^o no sentido horário. 

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