Prova de Matemática do ENEM 2019 Resolvida

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1) Um casal planejou uma viagem e definiu como teto para gasto diário um valor de até R$ 1 000,00. Antes de decidir o destino da viagem, fizeram uma pesquisa sobre a taxa de câmbio vigente para moeda de cinco países que desejavam visitar e também sobre as estimativas de gasto diário em cada um, com o objetivo de escolher o destino que apresentasse o menor custo diário em real.

Austrália

Canadá

EUA

França

E) Reino Unido

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

1) A ideia para resolver essa questão é encontrar o gosto diário em reais para cada país de destino.

2) Para descobrir qual o destino mais barato, basta multiplicar o gasto diário em cada um deles pelo valor de conversão da moeda local. (Pode ser feito usando regra de 3 também).

3) Fazendo os cálculos:

França -> $315 cdot 3.14 =R$989,1$

EUA -> $390 cdot 2.78 =R$1084.2$

Austrália -> $400cdot 2.14 =R$856$

Canadá -> $410cdot 2.10 =R$861$

Reino Unido -> $290cdot 4.24 =R$1229.6$

4) Podemos concluir que a Austrália apresenta o menor custo.

2) Nos seis cômodos de uma casa há sensores de presença posicionados de forma que a luz de cada cômodo acende assim que uma pessoa nele adentra, e apaga assim que a pessoa se retira desse cômodo. Suponha que o acendimento e o desligamento sejam instantâneos.

A) $1 rightarrow 4 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$
B) $1 rightarrow 2 rightarrow 3 rightarrow 1 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 4 rightarrow 4$
C) $1 rightarrow 4 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 2 rightarrow 3$
D) $1 rightarrow 2 rightarrow 3 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$
E) $1 rightarrow 4 rightarrow 2 rightarrow 3 rightarrow 5 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra A)

1) Para resolver essa questão, é preciso interpretar o gráfico da esquerda e, com isso, aplicar os dados na planta da casa. Com isso, teremos o caminho percorrido.

2) Sabemos, pelo enunciado, que o morador fica exatamente um minuto em cada cômodo.

3) Com isso, as potências de cada lugar que ele está são:

1º $rightarrow$ 20W

2º $rightarrow$ 35-20 = 15W

3º $rightarrow$ 40-35 = 5W

4º $rightarrow$ 55-40 = 15W

5º $rightarrow$ 75-55 = 20W

6º $rightarrow$ 85-75 = 10W

7º $rightarrow$ 105-85 = 20W

8º $rightarrow$ 120-105 = 15W

4) Com isso, podemos interpretar a sequência de deslocamentos pelos cômodos.

1º $rightarrow$ 20W $Rightarrow$ SALA (1)

2º $rightarrow$ 15W $Rightarrow$ SUÍTE (4)

3º $rightarrow$ 5W $Rightarrow$ BANHO (5)

4º $rightarrow$ 15W $Rightarrow$ SUÍTE (4)

5º $rightarrow$ 20W $Rightarrow$ SALA (1)

6º $rightarrow$ 10W $Rightarrow$ COZINHA (6)

7º $rightarrow$ 20W $Rightarrow$ SALA (1)

8º $rightarrow$ 15W $Rightarrow$ SUÍTE (4)

5) Logo, a sequência será

$1 rightarrow 4 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$

3) Um comerciante, que vende somente pastel, refrigerante em lata e caldo de cana em copos, faz um levantamento das vendas realizadas durante a semana. O resultado desse levantamento está apresentado no gráfico.

E) 71

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra B)

1) Transformando as informações presentes no gráfico em uma tabela:

	Caldo	Refrigerante	Pastel
Domingo	4	7	10
Segunda	3	4	2
Terça	1	4	4
Quarta	2	5	4
Quinta	4	8	7
Sexta	7	8	8
Sábado	7	8	10
Total	28	44	45

2) Como ele estima que irá vender uma quantidade de refrigerante em lata igual à soma das quantidades de refrigerante em lata e caldo de cana em copos vendidos no respectivo dia da última semana, logo ele irá vender, na semana, 44+28=72 refrigerantes.

3) Como quando aos pastéis, estima vender, a cada dia da próxima semana, uma quantidade igual à quantidade de refrigerante em lata que prevê vender em tal dia. Logo, na semana, ele irá vender 72 pastéis.

4) Logo, ele irá vender 72-45=27 pastéis a mais.

4) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.123

A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 8

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A alternativa correta é letra D)

1) Queremos que a função $h(t) = 4+4sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})$ alcance antes de t=4, o valor igual a 6.

2) Com isso, temos que

$6 = 4+4sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})$

3) Desenvolvendo:

$4sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})=2$

$sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})=frac{1}{2}$

4) Os três primeiros valores da função seno igual a 1/2 são:

$x_1=frac{pi }{6}; x_2=frac{5pi }{6}; x_3=frac{13pi }{6}$

5) Com isso,

$frac{beta t}{2}-frac{pi}{2}=frac{13pi }{6}$

6) Desenvolvendo:

$3beta t-3pi=13pi$

$3beta t=16pi$

7) Como $pi=3$

$beta t=16$

8) Como $t<4Rightarrow beta>4$

Logo, $boxed{beta=5}$

5) Para construir uma piscina, cuja área total da superfície interna é igual a 40 , uma construtora apresentou o seguinte orçamento:

A) 23,3%
B) 25,0%
C) 50,0%
D) 87,5%
E) 100,0%

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A alternativa correta é letra D)

1) Primeiramente devemos calcular o custo do primeiro orçamento.

$C_A=10000+40000+2500 cdot 40 = 150000$

2) O custo do novo orçamento será

$C_B=5000+2500 cdot 40 cdot 1,25 + x = 130000+x$

Sendo x, o novo custo fixo.

3) Como o orçamento anterior é 90% do orçamento novo:

$C_A cdot 0,9 = C_B$

$150000 cdot 0,9 = 130000+x$

$135000 = 130000+x$

$x=5000$

4) Com isso, o novo valor dos custos fixos representam $frac{5000}{40000}=12,5%$

5) Com isso, o desconto será de $87,5%$

6) Uma construtora pretende conectar um reservatório central () em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (, , e ) os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m. 12345

A) 1,44
B) 1,16
C) 1,10
D) 1,00
E) 0,95

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra D)

1) Temos que o volume na Central é de

$pi cdot 2^2 cdot 3,3 = 13,2 pi$

2) O volume em cada encanamento é:

$pi cdot 0,05^2 cdot 20 = 0,05 pi$

3) Logo, o volume dos 4 encanamentos é de $0,2 pi$

4) Como parte do volume ficará nos encanamentos, teremos $13,2pi-0,2 pi=13pi$ para distribuição.

5) Em todos os 5 reservatórios, ficarão com a mesma altura, logo

$13pi=2^2 cdot pi cdot h + 4 cdot 1,5^2 cdot pi cdot h$

6) Desenvolvendo:

$13pi=4 pi h + 9pi h$

$13=13h$

h=1 m.

7) A taxa de urbanização de um município é dada pela razão entre a população urbana e a população total do município (isto é, a soma das populações rural e urbana). Os gráficos apresentam, respectivamente, a população urbana e a população rural de cinco municípios (I, II, III, IV, V) de uma mesma região estadual. Em uma reunião entre o governo do estado e os prefeitos desses municípios, ficou acordado que o município com maior taxa de urbanização receberá um investimento extra em infraestrutura.

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

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A alternativa correta é letra C)

Resolução 1:

1) O município que receberá investimento extra é aquele com maior taxa de urbanização. Logo, devemos calcular essa taxa de todos os municípios.

2) A taxa de urbanização de um município é dada pela razão entre a população urbana e a população total do município (isto é, a soma das populações rural e urbana).

3) Calculando a população total de cada município:

I $rightarrow$ 8000+4000=12000

II $rightarrow$ 10000+8000=18000

III $rightarrow$ 11000+5000=16000

IV $rightarrow$ 18000+10000=28000

V $rightarrow$ 17000+12000=29000

4) Logo, a taxa de urbanização será:

I $rightarrow$ $frac{8000}{12000}approx 0.67$

II $rightarrow$ $frac{10000}{18000}approx 0.56$

III $rightarrow$ $frac{11000}{16000}approx 0.69$

IV $rightarrow$ $frac{18000}{28000}approx 0.64$

V $rightarrow$ $frac{17000}{29000}approx 0.59$

5) Logo, o município escolhido foi o III.

Resolução 2:

É possível, também, partir da lógica: observando o município III da tabela, nota-se que é o único cuja população urbana (11.000 pessoas) é mais que o dobro da população rural (5.000 pessoas), indicando a maior taxa de urbanização entre os municípios apresentados.

8) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

A) 0,0500
B) 0,1000
C) 0,1125
D) 0,3125
E) 0,5000

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A alternativa correta é letra E)

1) Considerando que temos uma amostra de 1000 declarações, temos que 200 delas serão inconsistentes e que 800 delas não serão inconsistentes.

2) Dessas 200 inconsistentes, como 25% eram fraudulentas, temos que 50 eram fraudulentas e inconsistentes.

3) Dessas 800 não inconsistentes, como 6,25% eram fraudulentas, temos que 50 eram fraudulentas e não inconsistentes.

4) Com isso, sabemos que haviam 100 declarações fraudulentas.

5) Com isso, a probabilidade de a declaração ser inconsistente, sendo fraudulenta é

$frac{50}{100}=0,5$

9) O gráfico a seguir mostra a evolução mensal das vendas de certo produto de julho a novembro de 2011.

A) janeiro.
B) fevereiro.
C) março.
D) abril.
E) maio.

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A alternativa correta é letra D)

1) O número de unidades vendidas desse produto em dezembro de 2011 foi igual à média aritmética do número de unidades vendidas nos meses de julho a novembro do mesmo ano.

2) Logo, as vendas em dezembro foram iguais a $frac{700+2500+2500+2800+2700}{5}=2240$ vendas.

3) A redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 foi de 2700-2240=460.

4) Se essa redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 se mantivesse constante nos meses subsequentes as seguintes vendas:

Janeiro: 2240-460=1780

Fevereiro: 1780-460=1320

Março: 1320-460=860

Abril: 860-460=400

5) Repare que, em abril, as vendas ficariam piores que julho de 2011. Logo, em abril, essa tendência aconteceria.

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10) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

A) $C_{12}^{4} cdot C_{12}^{3} cdot C_{12}^{3} cdot C_{12}^{2}$
B) $C_{12}^{4} + C_{8}^{3} + C_{5}^{3} + C_{2}^{2}$
C) $C_{12}^{4} cdot 2 cdot C_{8}^{3} cdot C_{5}^{2}$
D) $C_{12}^{4} + 2 cdot C_{12}^{3} + C_{12}^{2}$
E) $C_{12}^{4} cdot C_{8}^{3} cdot C_{5}^{3} cdot C_{2}^{2}$

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A alternativa correta é letra E)

1) Primeiramente pintaremos 4 vagões de vermelho. Como todos eles terão a mesma cor, a ordem não importará. Com isso, haverão $C^4_{12}$ possibilidades de escolher os vagões para serem pintados de vermelho.

2) Após a pintura dos vagões em vermelho, retarão 8 vagões. Pintaremos 3 deles de azul. Com isso, seguindo a mesma lógica, haverão $C^3_{8}$ possibilidades de escolher os vagões para serem pintados de azul.

3) Após a pintura dos vagões em azul, retarão 5 vagões. Pintaremos 3 deles de verde. Com isso, seguindo a mesma lógica, haverão $C^3_{5}$ possibilidades de escolher os vagões para serem pintados de verde.

4) Com isso, restaram 2 vagões para serem pintados de amarelo, ou seja, $C^2_{2}$ possibilidades.

5) De acordo com o princípio fundamental da contagem, teremos $C^4_{12} times C^3_8 times C^3_5 times C^2_2$ possibilidades

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