Prova de Matemática do ENEM 2019 Resolvida

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1) Um casal planejou uma viagem e definiu como teto para gasto diário um valor de até R$ 1 000,00. Antes de decidir o destino da viagem, fizeram uma pesquisa sobre a taxa de câmbio vigente para moeda de cinco países que desejavam visitar e também sobre as estimativas de gasto diário em cada um, com o objetivo de escolher o destino que apresentasse o menor custo diário em real.

O quadro mostra os resultados obtidos com a pesquisa realizada:

Nessas condições, qual será o destino escolhido para a viagem?

Austrália

Canadá

EUA

França

E) Reino Unido

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A alternativa correta é letra A)

1) A ideia para resolver essa questão é encontrar o gosto diário em reais para cada país de destino.

2) Para descobrir qual o destino mais barato, basta multiplicar o gasto diário em cada um deles pelo valor de conversão da moeda local. (Pode ser feito usando regra de 3 também).

3) Fazendo os cálculos:

França -> $315 cdot 3.14 =R$989,1$

EUA -> $390 cdot 2.78 =R$1084.2$

Austrália -> $400cdot 2.14 =R$856$

Canadá -> $410cdot 2.10 =R$861$

Reino Unido -> $290cdot 4.24 =R$1229.6$

4) Podemos concluir que a Austrália apresenta o menor custo.

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2) Nos seis cômodos de uma casa há sensores de presença posicionados de forma que a luz de cada cômodo acende assim que uma pessoa nele adentra, e apaga assim que a pessoa se retira desse cômodo. Suponha que o acendimento e o desligamento sejam instantâneos.

O morador dessa casa visitou alguns desses cômodos, ficando exatamente um minuto em cada um deles. O gráfico descreve o consumo acumulado de energia, em watt x minuto, em função do tempo t, em minuto, das lâmpadas de LED dessa casa, enquanto a figura apresenta a planta baixa da casa, na qual os cômodos estão numerados de 1 a 6, com as potências das respectivas lâmpadas indicadas.

A sequência de deslocamento pelos cômodos, conforme o consumo de energia apresentado no gráfico, é

A) $1 rightarrow 4 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$
B) $1 rightarrow 2 rightarrow 3 rightarrow 1 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 4 rightarrow 4$
C) $1 rightarrow 4 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 2 rightarrow 3$
D) $1 rightarrow 2 rightarrow 3 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$
E) $1 rightarrow 4 rightarrow 2 rightarrow 3 rightarrow 5 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$

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A alternativa correta é letra A)

1) Para resolver essa questão, é preciso interpretar o gráfico da esquerda e, com isso, aplicar os dados na planta da casa. Com isso, teremos o caminho percorrido.

2) Sabemos, pelo enunciado, que o morador fica exatamente um minuto em cada cômodo.

3) Com isso, as potências de cada lugar que ele está são:

1º $rightarrow$ 20W

2º $rightarrow$ 35-20 = 15W

3º $rightarrow$ 40-35 = 5W

4º $rightarrow$ 55-40 = 15W

5º $rightarrow$ 75-55 = 20W

6º $rightarrow$ 85-75 = 10W

7º $rightarrow$ 105-85 = 20W

8º $rightarrow$ 120-105 = 15W

4) Com isso, podemos interpretar a sequência de deslocamentos pelos cômodos.

1º $rightarrow$ 20W $Rightarrow$ SALA (1)

2º $rightarrow$ 15W $Rightarrow$ SUÍTE (4)

3º $rightarrow$ 5W $Rightarrow$ BANHO (5)

4º $rightarrow$ 15W $Rightarrow$ SUÍTE (4)

5º $rightarrow$ 20W $Rightarrow$ SALA (1)

6º $rightarrow$ 10W $Rightarrow$ COZINHA (6)

7º $rightarrow$ 20W $Rightarrow$ SALA (1)

8º $rightarrow$ 15W $Rightarrow$ SUÍTE (4)

5) Logo, a sequência será

$1 rightarrow 4 rightarrow 5 rightarrow 4 rightarrow 1 rightarrow 6 rightarrow 1 rightarrow 4$

3) Um comerciante, que vende somente pastel, refrigerante em lata e caldo de cana em copos, faz um levantamento das vendas realizadas durante a semana. O resultado desse levantamento está apresentado no gráfico.

Ele estima que venderá, em cada dia da próxima semana, uma quantidade de refrigerante em lata igual à soma das quantidades de refrigerante em lata e caldo de cana em copos vendidos no respectivo dia da última semana. Quando aos pastéis, estima vender, a cada dia da próxima semana, uma quantidade igual à quantidade de refrigerante em lata que prevê vender em tal dia. Já para o número de caldo de cana em copos, estima que as vendas diárias serão iguais às da última semana.

Segundo essas estimativas, a quantidade a mais de pastéis que esse comerciante deve vender na próxima semana é

E) 71

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A alternativa correta é letra B)

1) Transformando as informações presentes no gráfico em uma tabela:

	Caldo	Refrigerante	Pastel
Domingo	4	7	10
Segunda	3	4	2
Terça	1	4	4
Quarta	2	5	4
Quinta	4	8	7
Sexta	7	8	8
Sábado	7	8	10
Total	28	44	45

2) Como ele estima que irá vender uma quantidade de refrigerante em lata igual à soma das quantidades de refrigerante em lata e caldo de cana em copos vendidos no respectivo dia da última semana, logo ele irá vender, na semana, 44+28=72 refrigerantes.

3) Como quando aos pastéis, estima vender, a cada dia da próxima semana, uma quantidade igual à quantidade de refrigerante em lata que prevê vender em tal dia. Logo, na semana, ele irá vender 72 pastéis.

4) Logo, ele irá vender 72-45=27 pastéis a mais.

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4) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.123

A função $h(t) = 4+4sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})$ definida para t ≥ 0 descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro BETA, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para $pi$ .

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro $beta$ , de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é:

A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 8

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A alternativa correta é letra D)

1) Queremos que a função $h(t) = 4+4sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})$ alcance antes de t=4, o valor igual a 6.

2) Com isso, temos que

$6 = 4+4sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})$

3) Desenvolvendo:

$4sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})=2$

$sin (frac{beta t}{2}-frac{pi}{2})=frac{1}{2}$

4) Os três primeiros valores da função seno igual a 1/2 são:

$x_1=frac{pi }{6}; x_2=frac{5pi }{6}; x_3=frac{13pi }{6}$

5) Com isso,

$frac{beta t}{2}-frac{pi}{2}=frac{13pi }{6}$

6) Desenvolvendo:

$3beta t-3pi=13pi$

$3beta t=16pi$

7) Como $pi=3$

$beta t=16$

8) Como $t<4Rightarrow beta>4$

Logo, $boxed{beta=5}$

5) Para construir uma piscina, cuja área total da superfície interna é igual a 40 , uma construtora apresentou o seguinte orçamento:

R$ 10 000,00 pela elaboração do projeto;
R$ 40 000,00 pelos custos fixos;
R$ 2 500,00 por metro quadrado para construção da área interna da piscina.

Após a apresentação do orçamento, essa empresa decidiu reduzir o valor de elaboração do projeto em 50%, mas recalculou o valor do metro quadrado para a construção da área interna da piscina, concluindo haver a necessidade de aumentá-lo em 25%. Além disso, a construtora pretende dar um desconto nos custos fixos, de maneira que o novo valor do orçamento seja reduzido em 10% em relação ao total inicial.

O percentual de desconto que a construtora deverá conceder nos custos fixos é de

A) 23,3%
B) 25,0%
C) 50,0%
D) 87,5%
E) 100,0%

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A alternativa correta é letra D)

1) Primeiramente devemos calcular o custo do primeiro orçamento.

$C_A=10000+40000+2500 cdot 40 = 150000$

2) O custo do novo orçamento será

$C_B=5000+2500 cdot 40 cdot 1,25 + x = 130000+x$

Sendo x, o novo custo fixo.

3) Como o orçamento anterior é 90% do orçamento novo:

$C_A cdot 0,9 = C_B$

$150000 cdot 0,9 = 130000+x$

$135000 = 130000+x$

$x=5000$

4) Com isso, o novo valor dos custos fixos representam $frac{5000}{40000}=12,5%$

5) Com isso, o desconto será de $87,5%$

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6) Uma construtora pretende conectar um reservatório central () em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (, , e ) os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m. 12345

As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central há registros que liberam ou interrompem o fluxo de água.

No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios de igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metros, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

A) 1,44
B) 1,16
C) 1,10
D) 1,00
E) 0,95

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A alternativa correta é letra D)

1) Temos que o volume na Central é de

$pi cdot 2^2 cdot 3,3 = 13,2 pi$

2) O volume em cada encanamento é:

$pi cdot 0,05^2 cdot 20 = 0,05 pi$

3) Logo, o volume dos 4 encanamentos é de $0,2 pi$

4) Como parte do volume ficará nos encanamentos, teremos $13,2pi-0,2 pi=13pi$ para distribuição.

5) Em todos os 5 reservatórios, ficarão com a mesma altura, logo

$13pi=2^2 cdot pi cdot h + 4 cdot 1,5^2 cdot pi cdot h$

6) Desenvolvendo:

$13pi=4 pi h + 9pi h$

$13=13h$

h=1 m.

7) A taxa de urbanização de um município é dada pela razão entre a população urbana e a população total do município (isto é, a soma das populações rural e urbana). Os gráficos apresentam, respectivamente, a população urbana e a população rural de cinco municípios (I, II, III, IV, V) de uma mesma região estadual. Em uma reunião entre o governo do estado e os prefeitos desses municípios, ficou acordado que o município com maior taxa de urbanização receberá um investimento extra em infraestrutura.

Segundo o acordo, qual o município receberá o investimento extra?

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

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A alternativa correta é letra C)

Resolução 1:

1) O município que receberá investimento extra é aquele com maior taxa de urbanização. Logo, devemos calcular essa taxa de todos os municípios.

2) A taxa de urbanização de um município é dada pela razão entre a população urbana e a população total do município (isto é, a soma das populações rural e urbana).

3) Calculando a população total de cada município:

I $rightarrow$ 8000+4000=12000

II $rightarrow$ 10000+8000=18000

III $rightarrow$ 11000+5000=16000

IV $rightarrow$ 18000+10000=28000

V $rightarrow$ 17000+12000=29000

4) Logo, a taxa de urbanização será:

I $rightarrow$ $frac{8000}{12000}approx 0.67$

II $rightarrow$ $frac{10000}{18000}approx 0.56$

III $rightarrow$ $frac{11000}{16000}approx 0.69$

IV $rightarrow$ $frac{18000}{28000}approx 0.64$

V $rightarrow$ $frac{17000}{29000}approx 0.59$

5) Logo, o município escolhido foi o III.

Resolução 2:

É possível, também, partir da lógica: observando o município III da tabela, nota-se que é o único cuja população urbana (11.000 pessoas) é mais que o dobro da população rural (5.000 pessoas), indicando a maior taxa de urbanização entre os municípios apresentados.

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8) Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se ainda que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

A) 0,0500
B) 0,1000
C) 0,1125
D) 0,3125
E) 0,5000

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A alternativa correta é letra E)

1) Considerando que temos uma amostra de 1000 declarações, temos que 200 delas serão inconsistentes e que 800 delas não serão inconsistentes.

2) Dessas 200 inconsistentes, como 25% eram fraudulentas, temos que 50 eram fraudulentas e inconsistentes.

3) Dessas 800 não inconsistentes, como 6,25% eram fraudulentas, temos que 50 eram fraudulentas e não inconsistentes.

4) Com isso, sabemos que haviam 100 declarações fraudulentas.

5) Com isso, a probabilidade de a declaração ser inconsistente, sendo fraudulenta é

$frac{50}{100}=0,5$

9) O gráfico a seguir mostra a evolução mensal das vendas de certo produto de julho a novembro de 2011.

Sabe-se que o mês de julho foi o pior momento da empresa em 2011 e que o número de unidades vendidas desse produto em dezembro de 2011 foi igual à média aritmética do número de unidades vendidas nos meses de julho a novembro do mesmo ano.

O gerente de vendas disse, em uma reunião da diretoria, que, se essa redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 se mantivesse constante nos meses subsequentes, as vendas só voltariam a ficar piores que julho de 2011 apenas no final de 2012.

O diretor financeiro rebateu imediatamente esse argumento mostrando que, mantida a tendência, isso aconteceria já em

A) janeiro.
B) fevereiro.
C) março.
D) abril.
E) maio.

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A alternativa correta é letra D)

1) O número de unidades vendidas desse produto em dezembro de 2011 foi igual à média aritmética do número de unidades vendidas nos meses de julho a novembro do mesmo ano.

2) Logo, as vendas em dezembro foram iguais a $frac{700+2500+2500+2800+2700}{5}=2240$ vendas.

3) A redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 foi de 2700-2240=460.

4) Se essa redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 se mantivesse constante nos meses subsequentes as seguintes vendas:

Janeiro: 2240-460=1780

Fevereiro: 1780-460=1320

Março: 1320-460=860

Abril: 860-460=400

5) Repare que, em abril, as vendas ficariam piores que julho de 2011. Logo, em abril, essa tendência aconteceria.

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10) Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

A) $C_{12}^{4} cdot C_{12}^{3} cdot C_{12}^{3} cdot C_{12}^{2}$
B) $C_{12}^{4} + C_{8}^{3} + C_{5}^{3} + C_{2}^{2}$
C) $C_{12}^{4} cdot 2 cdot C_{8}^{3} cdot C_{5}^{2}$
D) $C_{12}^{4} + 2 cdot C_{12}^{3} + C_{12}^{2}$
E) $C_{12}^{4} cdot C_{8}^{3} cdot C_{5}^{3} cdot C_{2}^{2}$

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A alternativa correta é letra E)

1) Primeiramente pintaremos 4 vagões de vermelho. Como todos eles terão a mesma cor, a ordem não importará. Com isso, haverão $C^4_{12}$ possibilidades de escolher os vagões para serem pintados de vermelho.

2) Após a pintura dos vagões em vermelho, retarão 8 vagões. Pintaremos 3 deles de azul. Com isso, seguindo a mesma lógica, haverão $C^3_{8}$ possibilidades de escolher os vagões para serem pintados de azul.

3) Após a pintura dos vagões em azul, retarão 5 vagões. Pintaremos 3 deles de verde. Com isso, seguindo a mesma lógica, haverão $C^3_{5}$ possibilidades de escolher os vagões para serem pintados de verde.

4) Com isso, restaram 2 vagões para serem pintados de amarelo, ou seja, $C^2_{2}$ possibilidades.

5) De acordo com o princípio fundamental da contagem, teremos $C^4_{12} times C^3_8 times C^3_5 times C^2_2$ possibilidades

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