Prova de Matemática do ENEM 2019 Resolvida

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11) A bula de um antibiótico infantil, fabricado na forma de xarope, recomenda que sejam ministrados, diariamente, no máximo 500 mg desse medicamento para cada quilograma de massa do paciente. Um pediatra prescreveu a dosagem máxima desse antibiótico para ser ministrada diariamente a uma criança de 20 kg pelo período de 5 dias. Esse medicamento pode ser comprado em frascos de 10 mL, 50 mL, 100 mL, 250 mL e 500 mL. Os pais dessa criança decidiram comprar a quantidade exata de medicamento que precisará ser ministrada no tratamento, evitando a sobra de medicamento. Considere que 1 g desse medicamento ocupe um volume de .

A) 10.
B) 50.
C) 100.
D) 250.
E) 500.

A alternativa correta é letra B)

1) Temos que a criança de 20 kg irá consumir a dosagem máxima (500 mg por quilograma) por dia. Logo, ela irá consumir 500 mg * 20 = 10000 mg = 10g por dia.

2) Como ele irá consumir durante 5 dias, ele irá consumir 50g no total.

3) Como 1 grama desse medicamento ocupa 1 cm³. Temos que esse medicamento irá ocupar 50 cm³.

4) Como 1 cm³ = 1 mL, temos que ele ira´comprar 50 mL desse medicamento.

12) Um aplicativo de relacionamentos funciona da seguinte forma: o usuário cria um perfil com foto e informações pessoais, indica as características dos usuários com quem deseja estabelecer contato e determina um raio de abrangência a partir de sua localização. O aplicativo identifica as pessoas que se encaixam no perfil desejado e que estão a uma distância do usuário menor ou igual ao raio de abrangência. Caso dois usuários tenham perfis compatíveis e estejam numa região de abrangência comum a ambos, o aplicativo promove o contato entre os usuários, o que é chamado de match.

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

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A alternativa correta é letra A)

1) Aplicando no gráfico a informação de que os raios de abrangência de Q (Vermelho), R (Azul) e S (Verde) são respectivamente iguais a 3 km, 2 km e 5 km.

2) Com isso, o usuário P teria a possibilidade de um match com os usuários Q, R e S, simultaneamente, caso estivesse no bar I.

13) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe R$ 1 000,00 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado.

A) Y = 80X + 920.
B) Y = 80X + 1 000.
C) Y = 80X + 1 080.
D) Y = 160X + 840.
E) Y = 160X + 1 000.

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A alternativa correta é letra D)

1) Temos que para um funcionário (o gerente), a empresa terá um custo de $R$1000$ por semana.

2) Temos que para cada funcionário extra, a empresa terá um custo de $R$80 cdot 2 = R$160$ por semana.

3) Com isso, o custo da empresa será

$Y = 160X + 840$

4) Perceba que para $X=1$ , $Y=1000$ . O que corresponde a realidade.

Alternativa correta é Letra D.

14) Os alunos de uma turma escolar foram divididos em dois grupos. Um grupo jogaria basquete, enquanto o outro jogaria futebol. Sabe-se que o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da classe e tem uma pessoa a mais do que o grupo de futebol. A tabela seguinte apresenta informações sobre as alturas dos alunos da turma. Os alunos P, J, F e M medem, respectivamente, 1,65 m, 1, 66m, 1,67m e 1,68m, e as suas alturas não são iguais a de nenhum outro colega da sala.

A) basquete, basquete, basquete, basquete.
B) futebol, basquete, basquete, basquete.
C) futebol, futebol, basquete, basquete.
D) futebol, futebol, futebol, basquete.
E) futebol, futebol, futebol, futebol.

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A alternativa correta é letra C)

1) Como o grupo de basquete tem uma pessoa a mais do que o grupo de futebol, podemos concluir que o número de alunos da sala é ímpar.

2) Como a mediana é 1,67 e a sala possui um número impar de alunos. Podemos concluir que há a mesma quantidade de alunos mais baixos que 1,67 e mais altos que 1,67.

3) Porém, como o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da classe e tem uma pessoa a mais do que o grupo de futebol, podemos concluir que aqueles com altura igual ou maior que 1,67 estão no time de basquete e o restante está no grupo de futebol.

4) Os alunos P, J, F e M medem, respectivamente, 1,65 m, 1, 66m, 1,67m e 1,68m. Logo, P e J estão no grupo de futebol e F e M estão no grupo de basquete.

15) Construir figuras de diversos tipos, apenas dobrando e cortando papel, sem cola e sem tesoura, é a arte do origami (ori = dobrar; kami = papel), que tem um significado altamente simbólico no Japão. A base do origami é o conhecimento do mundo por base do tato. Uma jovem resolveu construir um cisne usando a técnica do origami, utilizando uma folha de papel de 18 cm por 12 cm. Assim, começou por dobrar a folha conforme a figura.

A)
B)
C) 12 cm
D)
E)

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A alternativa correta é letra D)

1) Temos que interpretar os tamanhos dos segmentos AD e DE.

2) Repare que AD=BC=12 cm

3) Repare que DE+EC=AB $rightarrow$ DE=18-12= 6 cm

4) Com isso, temos os catetos do triângulo retângulo ADE.

5) Aplicando Teorema de Pitágoras:

$AE^2 = 12^2 + 6^2$

6) Desenvolvendo:

$AE = sqrt{144 + 36}$

$AE = sqrt{180}$

$AE = sqrt{6^2 cdot 5}=6sqrt{5}$

16) O álcool é um depressor do sistema nervoso central e age diretamente em diversos órgãos. A concentração de álcool no sangue pode ser entendida como a razão entre a quantidade q de álcool ingerido, medida em grama, e o volume de sangue, em litro, presente no organismo do indivíduo. Em geral, considera-se que esse volume corresponda ao valor numérico dado por 8% da massa corporal m desse indivíduo, medida em quilograma.

A) $frac{q}{0,8m} > 0,4$
B) $frac{0,4m}{q} > 0,8$
C) $frac{q}{0,4m}> 0,8$
D) $frac{0,08m}{q} > 0,4$
E) $frac{q}{0,08m}> 0,4$

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A alternativa correta é letra E)

1) A concentração de álcool no sangue pode ser entendida como a razão entre a quantidade q de álcool ingerido, medida em grama, e o volume de sangue, em litro, presente no organismo do indivíduo.

2) Logo, a concentração de álcool é igual a $frac{q}{V}$

3) Esse volume V corresponde ao valor numérico dado por 8% da massa corporal m desse indivíduo. Logo, V=0,08m

4) Com isso, a concentração de álcool é igual a $frac{q}{0,08m}$

5) Uma concentração alcoólica superior a 0,4 grama por litro de sangue é capaz de trazer prejuízos à saúde do indivíduo. Logo, a expressão relacionando q e m que representa a concentração alcoólica prejudicial à saúde do indivíduo é:

$frac{q}{0,08m}> 0,4$

17) Um mestre de obras deseja fazer uma laje com espessura de 5 cm utilizando concreto usinado, conforme as dimensões do projeto dadas na figura. O concreto para fazer a laje será fornecido por uma usina que utiliza caminhões com capacidades máximas de 2 , 5 e 10 de concreto. 123

A) Dez caminhões com a capacidade máxima de 10 $m^{3}$
B) Cinco caminhões com a capacidade máxima de 10m³
C) Um caminhão com a capacidade máxima de 5m³
D) Dez caminhões com capacidade máxima de 2m³
E) Um caminhão com capacidade máxima de 2 $m^{3}$

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A alternativa correta é letra C)

1) Devemos calcular o volume necessário para a construção da laje.

2) Essa laje terá a área da base $A_B$ da figura e altura 0,05m. Com isso, o volume será $V=0,05A_B$ .

3) Para calcular a área da base $A_B$ devemos dividir a figura em 3 partes, calcular suas áreas separadamente e somá-las.

4) A área 1 será $8 cdot 8 = 64 m^2$

5) A área 2 será $3 cdot 7 = 21m^2$

6) A área 3 será $3 cdot 5 = 15m^2$

7) Com isso, $A_B=64+21+15=100m^2$

8) Logo, o volume será $V=0,05 cdot 100 = 5m^3$

9) Com isso, será necessário apenas um caminhão com capacidade máxima de 5 m³

18) O índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento. Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros. O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor , o segundo , o terceiro , o quarto e o último. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.1234

A) O primeiro.
B) O segundo.
C) O terceiro.
D) O quarto.
E) O quinto.

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A alternativa correta é letra C)

1) Perceba que para x>1, a ordem correta seria, do menor para o maior:

$X^frac{1}{3}$ , sqrt{X} , , $X^{2}$ , $X^{3}$ .

Por exemplo, X=2:

$sqrt[3]{2}<sqrt{2}<2<2^2<2^3$

2) Porém, 0<x<1 nessa questão. Com isso, a ordem correta seria, do menor para o maior:

$X^{3}$ , $X^{2}$ , , sqrt{X} , $X^frac{1}{3}$

Por exemplo, X=0,5

$sqrt[3]{0,5}>sqrt{0,5}>0,5>0,5^2>0,5^3$

3) Com isso, foi o terceiro país que obteve o maior IDH.

19) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com o pH 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangea cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzido em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH= , em que x é a concentração de íon hidrogênio (). 1

qualquer valor acima de $10^{-8}$

B) qualquer valor positivo inferior a $10^{-7}$
C) valores maiores que 7 e menores que 8.
D) valores maiores que 70 e menores que 80.
E) valores maiores que $10^{-8}$ e menores que $10^{-7}$

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A alternativa correta é letra E)

Trate que o pH é dado pela fórmula $pH=-log_{10}x$ . Esta é a definição de pH, que é a concentração de H+ na solução.

Considere que a solução acima citada é a substância encontrada no solo em que se planta essa flor. Se o pH for menor que 7, o meio é ácido e se for maior que 7, o meio é básico (isso é definição que os químicos atribuíram ao pH).

Logo, para o meio ácido:

$pH=-log_{10}x < 7$ e isto se torna uma inequação logarítmica da forma $-log_{10}x < 7$ .

Para o meio básico:

$pH=-log_{10}x > 7$ e isto se torna uma inequação logarítmica da forma $-log_{10}x > 7$ .

1) Perceba que a Hydrangea deve ser cor-de-rosa, logo, como escrito na questão, o solo deve ser uma solução de meio básico, ou seja, temos que pH > 7.

Logo,

$-log_{10}x>7$

Vamos multiplicar cada lado da inequação acima por (-1):

$log _{10}left(xright)<-7$

Perceba que o sinal de inequação acima é o oposto do sinal da inequação mais acima, ou seja, ao multiplicar tudo por (-1), trocou-se o sinal > por <. Isto deve ser sempre feito quando se multiplica os dois lados de uma inequação por um número negativo, ou seja, se o sinal antes da multiplicação era >, o novo sinal será <, ou se o sinal era <, o novo sinal após a multiplicação será >.
Isto é uma propriedade das inequações e é importante ter ela sempre em mente quando trabalhar com inequações.

Desta forma, passando a base do log para o lado direito como potência:

$x<10^{-7}$

2) Perceba também que esse tipo de planta mais valorizada comercialmente possui pH < 8.

$-log_{10}x<8$

O mesmo procedimento descrito acima foi feito aqui. Multiplicou-se os dois lados da inequação por (-1).

$log _{10}left(xright)>-8$

$x>10^{-8}$

Logo, temos que $x<10^{-7}$ e $x>10^{-8}$ . A resposta é a Letra E.

3) Logo,

$10^{-7}>x>10^{-8}$

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20) O Sistema Métrico Decimal é o mais utilizado atualmente para medir comprimentos e distâncias. Em algumas atividades, porém, é possível observar a utilização de diferentes unidades de medida. Um exemplo disso pode ser observado no quadro.

A) 0,1200.
B) 0,3048.
C) 1,0800.
D) 12,0000.
E) 36,0000.

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A alternativa correta é letra D)

1) Essa questão está pedindo o valor de um pé, em polegada.

2) Temos que 3 pés equivalem a 1 Jarda. Logo, um pé equivale a $frac{1}{3}$ de Jarda.

3) Como uma Jarda equivale a 0,9144 metros, um pé equivale a $frac{0,9144}{3}$ metros

4) Como um metro equivale a 100 centímetros, um pé equivale a $frac{91,44}{3}$ centímetros.

5) Como uma polegada equivale a 2,54 centímetros.

6) Temos que um centímetro equivale a $frac{1}{2,54}$ polegadas, um pé equivale a $frac{91,44}{3} cdotfrac{1}{2,54}$ polegadas.

7) Simplificando, temos que um pé equivale a 12 polegadas.

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