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Prova de Matemática do ENEM 2019 Resolvida

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21) Em uma fábrica de refrigerantes, é necessário que se faça periodicamente o controle no processo de engarrafamento para evitar que sejam envasadas garrafas fora da especificação do volume escrito no rótulo. 

Diariamente, durante 60 dias, foram anotadas as quantidades de garrafas fora dessas especificações. 

O resultado está apresentado no quadro.

 

Quantidade de garrafas fora das especificações por dia

Quantidade de dias

0

52

1

5

2

2

3

1

 

A média diária de garrafas fora das especificações no período considerado é

 

  • A) 0,1
  • B) 0,2
  • C) 1,5
  • D) 2,0
  • E) 3,0
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A alternativa correta é letra B)

1) Sabemos que no total houveram 60 dias.

2) Nesses 60 dias, segundo a tabela, foram 0x52 + 1x5 + 2x2 + 3x1 = 12 garrafas fora das especificações.

3) Com isso, a média diária de garrafas fora das especificações foi frac{12}{60}=0,2

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22) O preparador físico de um time de basquete dispõe de um plantel de 20 jogadores, com média de altura igual a  1,80 m. No último treino antes da estreia em um campeonato, um dos jogadores desfalcou o time em razão de uma séria contusão, forçando o técnico a contratar outro jogador para recompor o grupo. 

Se o novo jogador é  0,20 m mais baixo que o anterior, qual é a média de altura, em metro, do novo grupo? 

  • A) 1,60
  • B) 1,78
  • C) 1,79
  • D) 1,81
  • E) 1,82
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é letra C)

1) A soma das alturas do jogadores do time de basquete original é 20 cdot 1,8 = 36m.

2) Como o novo jogador é  0,20 m mais baixo que o anterior, a soma das alturas do jogadores será 35,8m.

3) Com isso, a nova média será frac{35,8}{20}=1,79m

23) O dono de um restaurante situado às margens de uma rodovia percebeu que, ao colocar uma placa de propaganda de seu restaurante ao longo da rodovia, as vendas aumentaram. Pesquisou junto aos seus clientes e concluiu que a probabilidade de um motorista perceber uma placa de anúncio é . Com isso, após autorização do órgão competente, decidiu instalar novas placas com anúncios de seu restaurante ao longo dessa rodovia, de maneira que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a .1

A quantidade mínima de novas placas de propaganda a serem instaladas é

  • A) 99
  • B) 51
  • C) 50
  • D) 6
  • E) 1
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A alternativa correta é letra D)

1) O objetivo é que a probabilidade de um motorista perceber pelo menos uma das placas instaladas fosse superior a frac{99}{100}, ou seja, ele quer que a probabilidade de um motorista não perceber seja menor que frac{1}{100}.

2) Uma coisa importante de se perceber é que já há uma placa instalada.

3)  A probabilidade de o motorista não perceber a placa é de left (frac{1}{2} right )^{n+1}, sendo n a quantidade de placas a serem instaladas.

4) Com isso, left (frac{1}{2} right )^{n+1}<frac{1}{100}.

5) Repare que com n=6, teremos que 

left (frac{1}{2} right )^{7}<frac{1}{100} Rightarrow frac{1}{128}<frac{1}{100}

O que é verdadeiro. Logo, a quantidade mínima de placas a serem instaladas é 6.

 

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24) Comum em lançamentos em lançamentos de empreendimentos imobiliários, as maquetes de condomínios funcionam como uma ótima ferramenta de marketing para as construtoras, pois, além de encantar clientes, auxiliam de maneira significativa os corretores na negociação e venda de imóveis. 

Um condomínio está sendo lançado em um novo bairro de uma cidade. Na maquete projetada pela construtora, em escala de 1 : 200, existe um reservatório de água com capacidade de 45cm³.

Quando todas as famílias estiverem residindo no condomínio, a estimativa é que, por dia, sejam consumidos 30 000 litros de água. 

Em uma eventual falta de água, o reservatório cheio será suficiente para abastecer o condomínio por quantos dias? 

  • A) 30.
  • B) 15
  • C) 12
  • D) 6
  • E) 3
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A alternativa correta é letra C)

1) Como a escala dessa maquete é 1:200, podemos calcular o volume do reservatório real.

2) Como a escala está em comprimento, para a conversão para volume é necessário elevá-la ao cubo. Logo,

left (frac{1}{200} right )^3=frac{45}{x}

3) Desenvolvendo:

x=360 cdot 10^6 ;cm^3

4) Porém, como 10^6 ;cm^3=1 ;m^3

x=360 ;m^3

5) Como 1;m^3=1000;litros, esse reservatório possui capacidade de 360000 litros.

6) Como são consumidos 30000 litros de água por dia, a expectativa é que o reservatório cheio seja consumido por frac{360000}{30000}=12;dias

25) As luminárias para um laboratório de matemática serão fabricadas em forma de sólidos geométricos.Uma delas terá a forma de um tetraedro truncado. Esse sólido é gerado e partir de secções paralelas a cada uma das faces de um tetraedro regular. Para essa luminária, as secções serão feitas de maneira que, em cada corte, um terço das arestas seccionadas serão removidas. Uma dessas secções está indicada na figura.

Essa luminária terá por faces

 

  • A) 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
  • B) 2 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
  • C) 4 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
  • D) 3 quadriláteros e 4 triângulos isósceles.
  • E) 3 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros.
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A alternativa correta é letra A)

1) É importante perceber que não será apenas uma parte seccionada, mas todos os vértices serão seccionados.

2) Interpretando a forma que ficará:

3) Com isso, podemos perceber que serão formados 4 triângulos equiláteros nas partes seccionadas de lados a/3.

4) Cada lado original do tetraedro se tornará um hexágono regular com lados a/3.

5) Com isso, haverão 4 hexágonos regulares e 4 triângulos equiláteros na nova figura.

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26) Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos. 

De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?

  • A) 69
  • B) 70
  • C) 90
  • D) 104
  • E) 105
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A alternativa correta é letra C)

1) Como nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos, vamos pensar em relação a escolha deles  primeiramente para que fique mais fácil o pensamento.

2) O primeiro jogador canhoto pode escolher entre os outros 6 amigos destros um para ser sua dupla, o que gera 6 possibilidades.

3) Após essa escolha, restarão 5 amigos para que esteja junto com o outro jogador canhoto (5 possibilidades)

4) Com isso, restarão 4 amigo sem formarem times. Um deles possui 3 opções de escolha.

5) Após isso, restarão 2 amigos sem dupla, o que significa apenas uma possibilidade

6) Logo, via princípio fundamental da contagem, haverão 6.5.3.1 = 90 possibilidades

27) Após o Fórum Nacional Contra a Pirataria (FNCP) incluir a linha de autopeças em campanha veiculada contra a falsificação, as agências fiscalizadoras divulgaram que os cinco principais produtos de autopeças falsificados são: rolamento, pastilha de freio, caixa de direção, catalisador e amortecedor.

Após uma grande apreensão, as peças falsas foram cadastradas utilizando-se a codificação:

Disponível em: www.oficinabrasil,com.br  Acesso em: 25 ago. 2014 (adaptado).

1: rolamento, 2: pastilha de freio, 3:caixa de direção, 4: catalisador e 5: amortecedor.

Ao final obteve-se a sequência: 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, … que representa um padrão de formação que consiste na repetição de um bloco de números. Essa sequência descreve a ordem em que os produtos apreendidos foram cadastrados.

 

O 2 015º item cadastrado foi um(a)

  • A) rolamento.
  • B) catalisador.
  • C) amortecedor.
  • D) pastilha de freio.
  • E) caixa de direção.
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A alternativa correta é letra E)

1) A estratégia para resolver essa questão é perceber que a sequência repete-se a cada 8 termos. 

2) Perceba que "5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4" repete-se infinitamente.

3) Com isso, o 2015 item cadastrado pode ser simplificado a análise desses 8 termos.

4) Dividindo 2015 por 8, encontraremos a quantidade de vezes em que essa sequencia se repetiu e, além disso, pelo resto, qual o termo do 2015º termo cadastrado.

5) 2015=251 com resto 7. 

6) Logo, o elemento procurado é 3 (caixa de direção).

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28) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidades de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local () de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.

DescriçãoMagnitude Local(M_s)(mu mcdot Hz)
Pequeno0 leqslant M_s leqslant 3,9
Ligeiro4,0 leqslant M_s leqslant 4,9
Moderado5,0 leqslant M_s leqslant 5,9
Grande6,0 leqslant M_s leqslant 9,9
ExtremoM_s geqslant 10,0

Disponivel em: http://cejarj.cecierj.edu.br. Acesso em: 1 fev. 2015 (adaptado).

Para se calcular a magnitude local, usa-se a fórmula M_{s} = 3,30 + log (A.f), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro( mum) e f representa a frequência da onda, em herts (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 000 mum e frequência de 0,2 Hz.

Utilize 0,3 como aproximação para log 2. De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como:

  • A) Pequeno.
  • B) Ligeiro.
  • C) Moderado.
  • D) Grande.
  • E) Extremo.
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A alternativa correta é letra C)

1) Temos que M_{s} = 3,30 + log (A.f)

2) Foi dito no enunciado que:

A = 2000

f = 0,2

3) Fazendo a substituição:

M_s=3.3+log(2000 cdot 0.2)

M_s=3.3+log(400)

4) Como em qualquer base, o logaritmo do produto de dois ou mais números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números.

M_s=3.3+log(4 cdot 100) = 3.3 + log(4)+log(100)

5) Transformando em potências:

M_s= 3.3 + log(2^2)+log(10^2)

6) Em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Logo, 

M_s= 3.3 + 2log(2)+2log(10)

7) Como log(2) = 0,3 e log(10) = 1:

M_s= 3.3 + 0.6+2=5.9

8) O que classifica o terremoto como Moderado.

 

29) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o rendimento médio mensal dos trabalhadores brasileiros, no ano 2000, era de R$ 1 250,00. Já o Censo 2010 mostrou que, em 2010, esse valor teve um aumento de  7,2% em relação a 2000. Esse mesmo instituto projeta que, em 2020, o rendimento médio mensal dos trabalhadores brasileiros poderá ser 10% maior do que foi em 2010. 

IBGE. Censo. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado). 

Supondo que as projeções do IBGE se realizem, o rendimento médio mensal dos brasileiros será de 

 

    R$ 1 340,00. 

  • B) R$ 1 349,00. 
  • C) R$ 1 375,00. 
  • D) R$ 1 465,00. 
  • E) R$ 1 474,00. 
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A alternativa correta é letra E)

1) Em 2000,  o rendimento médio era R$1250,00

2) Em 2010, houve um aumento de 7,2%, logo o rendimento médio era R$1250 * 1,072 = R$1340

3) Em 2020, o rendimento poderá ser 10% maior do que ocorreu em 2010. Logo, segundo as projeções será R$1340*1,1 = R$1474

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30) Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa:

  • A) R$ 3100,00
  • B) R$ 6000,00
  • C) R$ 6200,00
  • D) R$ 15000,00
  • E) R$ 15500,00
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A alternativa correta é letra B)

1) Como o valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada, temos que:

1.1) Para a máquina de 2 anos será pago:

frac{x}{2}

1.2) Para a máquina de 3 anos será pago:

frac{x}{3}

1.3) Para a máquina de 5 anos será pago:

frac{x}{5}

2) Logo, 

31000=frac{x}{2}+frac{x}{3}+frac{x}{5}

3) O MMC(2, 3, 5) = 30, logo fazendo as frações equivalentes

31000=frac{15x}{30}+frac{10x}{30}+frac{6x}{30}

4) Desenvolvendo:

31000=frac{31x}{30}

5) Logo, 

x=30000

6) Com isso, a empresa com a máquina com maior uso receberá:

frac{30000}{5} = 6000

1 2 3 4 5