Prova de Matemática do ENEM 2020 Resolvida

Questão 1

Dados a chegada do final do ano e o aumento das vendas, a gerência pretende aumentar a quantidade estocada de perfume do tipo que gerou a maior arrecadação em espécie, em real, no mês de novembro.

Nessas condições, qual o tipo de perfume que deverá ter maior reposição no estoque?

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

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A alternativa correta é letra D)

A maior multiplicação de (Preço de perfume) x (Porcentagem da qntd vendida) , será o perfume que deu maior arrecadação em espécie. Para o perfume de número IV temos essa multiplicação igual a :

$29 times 100= 2900$ que é o maior valor possível dentre todos os perfumes.

Questão 2

Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projeta ortogonalmente esse sólido em três planos quadráticos perpendiculares entre si, durante sua descida.

A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é

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A alternativa correta é letra E)

O erro das alternativas A e B são que está desalinhado em relação aos outros blocos. A alternativa C e D estão com posições invertidas em relação ao objeto.

Questão 3

O lucro é determinado pela diferença: Receita – Custo.

O gráfico que representa o lucro dessa empresa, em função da quantidade de itens produzidos é

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A alternativa correta é letra A)

Perceba que quando se produz 5 itens, não há lucro. Com isso, podemos descartar as alternativas D e E. Perceba que entre 5 e 15 itens produzidos, há mais custos do que receitas. Com isso, o lucro será negativo. Com isso, podemos descartar as alternativas B e C.

Questão 4

Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio dia.

Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de

A) 9.
B) 15.
C) 26.
D) 52.
E) 60.

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A alternativa correta é letra C)

Ao meio dia se passa luz em 30 cm de vão. Digamos que para cada vão a quantidade de luz é:

luz₀ = I . 30 cm, onde I é símbolo para intensidade linear da luz solar.

À tarde, a quantidade efetiva de luz é:

luz₁ = luz₀ / 2 => I . (30 – x) = (I . 30) / 2 => x = 15 cm.

Agora é só aplicar a tangente de 30° no triângulo imaginário acima de base igual a x (destacada em azul) e altura h:

$tgleft(30^{circ} right )=frac{1}{sqrt{3}}=frac{x}{h}Rightarrow h = xcdotsqrt{3}Rightarrow h=15cdotsqrt{3}approx15cdot1,71Rightarrow happrox26,cm$ que é Letra C.

Questão 5

Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm³ cada, que ficarão totalmente submersas.

O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de

A) 14.
B) 16.
C) 18.
D) 30.
E) 34.

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A alternativa correta é letra A)

Sabendo-se que a altura é aumentada de $7cm$ temos um aumento do volume de:

$7cmcdot 3cmcdot 4cm=84cm^3$

Sabendo-se que a altura deve ser preenchida em volume com bolas de $6cm^3$ , vem:

$frac{84}{6}={color{Red} 14}$

Questão 6

Qual esboço de gráfico melhor representa a variação da altura do líquido em função do tempo, na garrafa indicada na imagem?

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A alternativa correta é letra B)

A vazão de espumante na garrafa pode ser dado pela expressão:

vazão = Volume de espumante / tempo = Área da base da garrafa x altura da garrafa / tempo. Logo, a relação entre a altura da garrafa / tempo pode ser nos dada dividindo a vazão pela área da base da garrafa em cada seção da garrafa.

Lembrando que a vazão se mantém constante, o que é alterado é a Área da base da garrafa.

Olhando para a figura vemos que até certa altura a área da base da garrafa se mantém praticamente constante. Até essa altura, portanto, a divisão entre altura da garrafa / tempo é constante, dado que a área da base é constante, implicando em um coeficiente angular da reta constante no plano "altura da garrafa" x "tempo" (gráfico das alternativas).

A partir dessa altura percebe-se que a área da base da garrafa vai diminuindo (é só acompanhar com o olho o formato que a garrafa faz, parecendo um s inclinado, do piso da garrafa até o topo da garrafa). Logo, a divisão altura / tempo = vazão / área da base vai aumentando dado que a área da base vai diminuindo. Então, a partir desse ponto o gráfico no plano "altura da garrafa" x "tempo" é representado por uma curva com coeficientes angulares crescentes.

O gráfico que melhor representa o comportamento mostrado acima é o da Letra B.

Questão 7

Nesse dia, durante quantas horas o ruído esteve acima de 55 decibéis?

A) 5
B) 8
C) 10
D) 11
E) 13

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A alternativa correta é letra E)

A resposta pode ser encontrada a partir da análise do gráfico, como podemos ver na imagem a seguir.

Logo, toda vez que a função estiver acima de 55 decibéis, deveremos contar essas horas.

Assim, chegamos a resposta a partir da conta 3horas+3horas+3horas+1hora+3horas, totalizando, 13 horas.

Questão 8

André deseja deslocar-se da sua cada até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

A) 4.
B) 14.
C) 17.
D) 35.
E) 48.

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A alternativa correta é letra C)

Para esse cálculo precisaremos fazer todos os caminhos de A até B menos os caminhos de A até B que passam por C.

Todos os caminhos de A até B se calculam por :

$frac{7!}{4!3!}= 35$ .

Os caminhos de A até B que passam por C se calculam por:

$frac{4!}{2!2!} times frac{3!}{2!1!}= 18$

Temos que 35 - 18= 17 caminhos.

Questão 9

$|2h + b - 63,5| leq 1,5 text{ e } 16 leq h leq 19,$

nas quais $h$ é a altura do degrau (denominada espelho) e $b$ é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolhe-se a altura do degrau como sendo $h$ = 16. As unidades de $h$ e $b$ estão em centímetro.

Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada ( $b$ ) deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é

A) 30 $leq$ $b$
B) 30 $leq$ $b$ $leq$ 31,5
C) 30 $leq$ $b$ $leq$ 33
D) 31,5 $leq$ $b$ $leq$ 33
E) $bleq$ 33

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A alternativa correta é letra C)

Segundo a questão, foi definido:

$h=16$

Portanto para termos uma análise de intervalo máxima, basta observarmos a inequação modular:

$left | 2h+b-63,5 right |leq 1,5$

$left | 2cdot 16+b-63,5 right |leq 1,5$

$left | 32+b-63,5 right |leq 1,5$

$left | b-31,5 right |leq 1,5$

Abrindo o módulo, fica:

$b-31,5 leq 1,5$

$b leq 33,0$

$-b+31,5leq 1,5$

$bgeq 30$

Daí vem o intervalo:

$33geq bgeq 30$

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Questão 10

Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente.

O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será

A) 2018.
B) 2023.
C) 2031.
D) 2035.
E) 2043.

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A alternativa correta é letra D)

70% de 16 anos vale 11,2 anos. Temos que o ano de 1995 até o ano que queremos representa uma PA de razão 4 e o termo que queremos dessa PA é o termo $a_n$ . Os anos de escolaridade também representam uma PA de razão 0,6. Para descobrirmos o n usaremos a PA dos anos de escolaridade fazendo que o último termo desta PA é 11,2 e o primeiro é 5,2 e a razão é 0,6. Então temos que:

$11,2= 5,2+(n-1) times 0,6Rightarrow n=11$ .

Para a PA dos anos temos o primeiro termo igual a 1995, razão 4 e queremos $a_{11}$ . Então temos que:

$a_{11}= 1995 + (11-1) times 4= 2035$

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