Prova de Matemática do ENEM 2020 Resolvida
1) O gerente de uma loja de cosméticos colocou à venda cinco diferentes tipos de perfume, tendo em estoque na loja as mesmas quantidades de cada um deles. O setor de controle de estoque encaminhou ao gerente registros gráficos descrevendo os preços unitários de cada perfume, em real, e a quantidade vendida de cada um deles, em percentual, ocorrida no mês de novembro.
Dados a chegada do final do ano e o aumento das vendas, a gerência pretende aumentar a quantidade estocada de perfume do tipo que gerou a maior arrecadação em espécie, em real, no mês de novembro.
Nessas condições, qual o tipo de perfume que deverá ter maior reposição no estoque?
- A) I
- B) II
- C) III
- D) IV
- E) V
A alternativa correta é letra D)
A maior multiplicação de (Preço de perfume) x (Porcentagem da qntd vendida) , será o perfume que deu maior arrecadação em espécie. Para o perfume de número IV temos essa multiplicação igual a :
que é o maior valor possível dentre todos os perfumes.
2) Em um jogo desenvolvido para uso no computador, objetos tridimensionais vão descendo do alto da tela até alcançarem o plano base. O usuário pode mover ou girar cada objeto durante sua descida para posicionar convenientemente no plano horizontal. Um desses objetos é formado pela justaposição de 4 cubos idênticos, formando assim um sólido rígido, como ilustrado na figura.
Para facilitar a movimentação do objeto pelo usuário, o programa projeta ortogonalmente esse sólido em três planos quadráticos perpendiculares entre si, durante sua descida.
A figura que apresenta uma possível posição desse sólido, com suas respectivas projeções ortogonais sobre os três planos citados, durante sua descida é
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
A alternativa correta é letra E)
O erro das alternativas A e B são que está desalinhado em relação aos outros blocos. A alternativa C e D estão com posições invertidas em relação ao objeto.
3) Um administrador resolve estudar o lucro de sua empresa e, para isso, traça o gráfico da receita e do custo de produção de seus itens, em real, em função da quantidade de itens produzidos.
O lucro é determinado pela diferença: Receita – Custo.
O gráfico que representa o lucro dessa empresa, em função da quantidade de itens produzidos é
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
A alternativa correta é letra A)
Perceba que quando se produz 5 itens, não há lucro. Com isso, podemos descartar as alternativas D e E. Perceba que entre 5 e 15 itens produzidos, há mais custos do que receitas. Com isso, o lucro será negativo. Com isso, podemos descartar as alternativas B e C.
4) Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio dia.
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de
- A) 9.
- B) 15.
- C) 26.
- D) 52.
- E) 60.
A alternativa correta é letra C)
Ao meio dia se passa luz em 30 cm de vão. Digamos que para cada vão a quantidade de luz é:
luz0 = I . 30 cm, onde I é símbolo para intensidade linear da luz solar.
À tarde, a quantidade efetiva de luz é:
luz1 = luz0 / 2 => I . (30 – x) = (I . 30) / 2 => x = 15 cm.
Agora é só aplicar a tangente de 30° no triângulo imaginário acima de base igual a x (destacada em azul) e altura h:
que é Letra C.
5) Num recipiente com a forma de paralelepípedo reto-retângulo, colocou-se água até a altura de 8 cm e um objeto, que ficou flutuando na superfície da água.
Para retirar o objeto de dentro do recipiente, a altura da coluna de água deve ser de, pelo menos, 15 cm. Para a coluna de água chegar até essa altura, é necessário colocar dentro do recipiente bolinhas de volume igual a 6 cm3 cada, que ficarão totalmente submersas.
O número mínimo de bolinhas necessárias para que se possa retirar o objeto que flutua na água, seguindo as instruções dadas, é de
- A) 14.
- B) 16.
- C) 18.
- D) 30.
- E) 34.
A alternativa correta é letra A)
Sabendo-se que a altura é aumentada de temos um aumento do volume de:
Sabendo-se que a altura deve ser preenchida em volume com bolas de , vem:
6) O consumo de espumantes no Brasil tem aumentado nos últimos anos. Uma das etapas do seu processo de produção consiste no envasamento da bebida em garrafas semelhantes às da imagem. Nesse processo, a vazão do líquido no interior da garrafa é constante e cessa quando atinge o nível de envasamento.
Qual esboço de gráfico melhor representa a variação da altura do líquido em função do tempo, na garrafa indicada na imagem?
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
A alternativa correta é letra B)
A vazão de espumante na garrafa pode ser dado pela expressão:
vazão = Volume de espumante / tempo = Área da base da garrafa x altura da garrafa / tempo. Logo, a relação entre a altura da garrafa / tempo pode ser nos dada dividindo a vazão pela área da base da garrafa em cada seção da garrafa.
Lembrando que a vazão se mantém constante, o que é alterado é a Área da base da garrafa.
Olhando para a figura vemos que até certa altura a área da base da garrafa se mantém praticamente constante. Até essa altura, portanto, a divisão entre altura da garrafa / tempo é constante, dado que a área da base é constante, implicando em um coeficiente angular da reta constante no plano "altura da garrafa" x "tempo" (gráfico das alternativas).
A partir dessa altura percebe-se que a área da base da garrafa vai diminuindo (é só acompanhar com o olho o formato que a garrafa faz, parecendo um s inclinado, do piso da garrafa até o topo da garrafa). Logo, a divisão altura / tempo = vazão / área da base vai aumentando dado que a área da base vai diminuindo. Então, a partir desse ponto o gráfico no plano "altura da garrafa" x "tempo" é representado por uma curva com coeficientes angulares crescentes.
O gráfico que melhor representa o comportamento mostrado acima é o da Letra B.
7) A exposição a barulhos excessivos, como os que percebemos em geral em trânsitos intensos, casas noturnas e espetáculos musicais, podem provocar insônia, estresse, infarto, perda de audição, entre outras enfermidades. De acordo com a Organização Mundial da Saúde, todo e qualquer som que ultrapasse os 55 decibéis (unidade de intensidade do som) já pode ser considerado nocivo para a saúde. O gráfico foi elaborado a partir da medição do ruído produzido, durante um dia, em um canteiro de obras.
Nesse dia, durante quantas horas o ruído esteve acima de 55 decibéis?
- A) 5
- B) 8
- C) 10
- D) 11
- E) 13
A alternativa correta é letra E)
A resposta pode ser encontrada a partir da análise do gráfico, como podemos ver na imagem a seguir.
Logo, toda vez que a função estiver acima de 55 decibéis, deveremos contar essas horas.
Assim, chegamos a resposta a partir da conta 3horas+3horas+3horas+1hora+3horas, totalizando, 13 horas.
8) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua cada até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
- A) 4.
- B) 14.
- C) 17.
- D) 35.
- E) 48.
A alternativa correta é letra C)
Para esse cálculo precisaremos fazer todos os caminhos de A até B menos os caminhos de A até B que passam por C.
Todos os caminhos de A até B se calculam por :
.
Os caminhos de A até B que passam por C se calculam por:
Temos que 35 - 18= 17 caminhos.
9) Uma casa de dois andares está sendo projetada. É necessário incluir no projeto a construção de uma escada para o acesso ao segundo andar. Para o cálculo das dimensões dos degraus utilizam-se as regras:
nas quais é a altura do degrau (denominada espelho) e
é a profundidade da pisada, como mostra a figura. Por conveniência, escolhe-se a altura do degrau como sendo
= 16. As unidades de
e
estão em centímetro.
Nesse caso, o mais amplo intervalo numérico ao qual a profundidade da pisada () deve pertencer, para que as regras sejam satisfeitas é
- A) 30
- B) 30
31,5
- C) 30
33
- D) 31,5
33
- E)
33
A alternativa correta é letra C)
Segundo a questão, foi definido:
Portanto para termos uma análise de intervalo máxima, basta observarmos a inequação modular:
Abrindo o módulo, fica:
E:
Daí vem o intervalo:
10) No Brasil, o tempo necessário para um estudante realizar sua formação até a diplomação em um curso superior, considerando os 9 anos de ensino fundamental, os 3 anos de ensino médio e os 4 anos de graduação (tempo médio), é de 16 anos. No entanto a realidade dos brasileiros mostra que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos é ainda muita pequeno, conforme apresentado na tabela.
Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente.
O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será
- A) 2018.
- B) 2023.
- C) 2031.
- D) 2035.
- E) 2043.
A alternativa correta é letra D)
70% de 16 anos vale 11,2 anos. Temos que o ano de 1995 até o ano que queremos representa uma PA de razão 4 e o termo que queremos dessa PA é o termo . Os anos de escolaridade também representam uma PA de razão 0,6. Para descobrirmos o n usaremos a PA dos anos de escolaridade fazendo que o último termo desta PA é 11,2 e o primeiro é 5,2 e a razão é 0,6. Então temos que:
.
Para a PA dos anos temos o primeiro termo igual a 1995, razão 4 e queremos . Então temos que: