Prova de Matemática do ENEM 2020 Resolvida
21) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ela morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morrei há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: em que é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante e t Q0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente.
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existentes. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas.
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi
- A) 1.
- B) 2.
- C) 3.
- D) 4.
- E) 5.
A alternativa correta é letra B)
A fração é equvalente a
, onde
é o número de tempos de meia vida decorridos. Quanto mais tempos de meia vida passaram, mais antigo é o fóssil. Podemos ver que para o fóssil número 2 a razão
vale
e repetindo calculando a fração
para os outros fósseis vemos que o fóssil 2 tem o maior
possível. Sendo assim, o fóssil 2 é o fóssil mais antigo dentre os encontrados.
22) Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.
As quantidades de cada tipo de figura plana que formam esse tronco de pirâmide são
- A) 2 quadrados e 4 retângulos.
- B) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
- C) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
- D) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios isósceles.
- E) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.
A alternativa correta é letra C)
Um tronco de pirâmide conforme o descrito no enunciado é representado da seguinte forma:
Como é dito que a pirâmide é de base quadrada, então ela deve ser representada por 2 quadrados e 4 trapézios isósceles dando Letra C.
23) A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em 12 ago. 2020 (adaptado)
Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B.
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
A alternativa correta é letra A)
Aplicando o log nos dois lados da igualdade temos que
24) A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE, exceto nos anos em que há Censo. Em um ano, foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da pesquisa estão indicados no gráfico.
De acordo com as informações dadas, o número de jovens entrevistados que trabalham é
- A) 114 708.
- B) 164 076.
- C) 213 444
- D) 284 592.
- E) 291 582.
A alternativa correta é letra C)
Queremos 13,6 + 45,2 = 58,8% dos jovens que trabalham dentre todos os 363.000 jovens. Tal conta é dada por:
25) Muitos modelos atuais de veículos possuem computador de bordo. Os computadores informam em uma tela diversas variações de grandezas associadas ao desempenho do carro, dentre elas o consumo médio de combustível. Um veículo, de um determinado modelo, pode vir munido de dois tipos de computadores de bordo:
- Tipo A: informa a quantidade X de litro de combustível gasto para percorrer 100 quilômetros;
- Tipo B: informa a quantidade de quilômetro que um veículo é capaz de percorrer com um litro de combustível.
Um veículo utiliza o computador do Tipo A, e ao final de uma viagem o condutor viu apresentada na tela a informação “X/100″.
Caso o seu veículo utilizasse o computador Tipo B, o valor informado na tela seria obtido pela operação
- A) X . 100
- B)
- C)
- D)
- E) 1 . X
A alternativa correta é letra C)
Fazendo a regra de três, vem:
26) Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída na sua base.
A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.
A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a
- A) 12.
- B) 14.
- C) 16.
- D) 18.
- E) 20.
A alternativa correta é letra B)
Na questão é exposto "[...] e modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm.". Isto implica que a base do troféu em miniatura deva ter lado de 6 cm, isto porque o menor lado da base da caixa é 8 cm e é por esta medida que devemos basear a distância mínima de 1 cm entre a parede dessa caixa e a base do mini troféu. Como é 1 cm longe de cada parede, nos dois extremos da parede de 8 cm devemos ter uma distância de 1 cm da base do mini troféu dando um total de 6 cm de lado da base.
Como a altura do troféu original é de 100 cm, podemos obter o valor da altura do mini troféu obtendo a escala de construção do mesmo. Esta escala pode ser obtida dividindo o lado da base do mini troféu pelo lado da base do troféu original:
escala = 6 cm / 50 cm = 3 / 25
Logo:
h / 100 cm = 3 / 25 ⇒ h = 4 x 3 = 12 cm.
Nos é falado no enunciado que a altura da caixa de vidro deve ser 2 cm maior que a altura do mini troféu, logo, temos que a altura da caixa é de 12 cm + 2 cm = 14 cm nos dando a Letra B como correta.
27) Uma torneira está gotenjando água em um balde com capacidade de 18 litros. No instante atual, o balde se encontra com a ocupação de 50% de sua capacidade. A cada segundo caem 5 gotas de água da torneria, e uma gota é formada, em média, por 5 x 10-2mL de água.
Quanto tempo, em hora, será necessário para encher completamente o balde, partindo do instante atual?
- A) 2 x 101
- B) 1 x 101
- C) 2 x 10-2
- D) 1 x 10-2
- E) 1 x 10-3
A alternativa correta é letra B)
Faltam 50% do volume, logo, restam 0,5 x 18 L = 9 L a serem preenchidos.
Cada gota possui 5 x 10-2 mL de volume o que equivale, em litros, a 5 x 10-2 x 10-3 L = 5 x 10-5 L.
Portanto, a vazão de líquido é de 5 gotas por segundo = 5 x 5 x 10-5 L / segundo = 2,5 x 10-4 L/s.
Para preencher os 9 L restantes, precisa-se levar um total de segundos igual a:
9 L / (2,5 x 10-4 L/s) = 9 / (2,5 x 10-4) s = 3,6 x 104 s.
Cada 1 hora tem 3600 segundos, logo, 10 horas tem 3,6 x 104 s ou 36.000 segundos.
Letra B.
28) O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.
Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
A alternativa correta é letra E)
A situação da primeira à sétima colocação se manterá sempre constante, por conta da idade dos participantes que tem idade mais avançada de que João.
Sabendo-se que há quatro pessoas com idade igual a , e a escolha das pessoas com a mesma idade é feita através de sorteio, temos a probabilidade de
29) Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto de peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo.
Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?
- A) 160
- B) 157
- C) 130
- D) 120
- E) 60
A alternativa correta é letra A)
Para descobrirmos quantos algarismos de número dois, vem:
.
.
.
De à
têm
algarismos
O caso dos números de terá uma peculiaridade, pois haverá
algarimos iguais a
a mais por conta por conta da casa das centenas, portanto, ficamos com
E de a situação será igual à primeira, contendo
algarismos.
O que totaliza:
algarismos.
30) O proprietário de um apartamento decidiu instalar porcelanato no piso da sala. Essa sala tem formato retangular com 3,2 m de largura e 3,6 m de comprimento. As peças do porcelanato têm formato de um quadrado com lado medindo 80 cm. Esse porcelanato é vendido em dois tipos de caixas, com os preços indicados a seguir.
- Caixas do tipo A: 4 unidades de piso, R$ 35,00;
- Caixas do tipo B: 3 unidades de piso, R$ 27,00
Na instalação do porcelanato, as peças podem ser recortadas e devem ser assentadas sem espaçamento entre elas, aproveitando-se ao máximo os recortes feitos.
A compra que atende às necessidades do proprietário, proporciona a menor sobra de pisos e resulta no menor preço é
- A) 5 caixas do tipo A.
- B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B.
- C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B.
- D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B.
- E) 6 caixas do tipo B.
A alternativa correta é letra C)
Com peças de 80 cm de lado podemos preencher a sala com 18 peças:
Aŕea da sala = 3,2 m x 3,6 m = 11,52 m2 e área da peça = 0,80 m x 0,80 m = 0,64 m2
Área da sala / área da peça = 11,52 / 0,64 = 18.
Logo, precisamos de 18 peças para preencher essa sala.
Analisando item por item, vemos que a Letra C possui a melhor opção porque nos fornece exatamente 18 peças e tem o menor preço:
3 Caixas A = 3 x 4 peças = 12 peças por um valor de 3 x R$ 35,00 = R$ 105,00
2 Caixas B = 2 x 3 peças = 6 peças por um valor de 2 x R$ 27,00 = R$ 54,00
TOTAL = 18 peças por R$ 159,00.