Prova de Matemática do ENEM 2020 Resolvida

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21) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ela morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morrei há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: em que é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante e t Q0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente.

A) 1.
B) 2.
C) 3.
D) 4.
E) 5.

A alternativa correta é letra B)

A fração $frac{Q(t)}{Q_0}$ é equvalente a $2^{-T_{frac{1}{2}}}$ , onde $T_{frac{1}{2}}$ é o número de tempos de meia vida decorridos. Quanto mais tempos de meia vida passaram, mais antigo é o fóssil. Podemos ver que para o fóssil número 2 a razão $frac{Q(t)}{Q_0}$ vale $2^{-5}$ e repetindo calculando a fração $frac{Q(t)}{Q_0}$ para os outros fósseis vemos que o fóssil 2 tem o maior $T_{frac{1}{2}}$ possível. Sendo assim, o fóssil 2 é o fóssil mais antigo dentre os encontrados.

22) Uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse templo pode ser representado por um tronco reto de pirâmide de base quadrada.

A) 2 quadrados e 4 retângulos.
B) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles.
C) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles.
D) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios isósceles.
E) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos.

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A alternativa correta é letra C)

Um tronco de pirâmide conforme o descrito no enunciado é representado da seguinte forma:

Como é dito que a pirâmide é de base quadrada, então ela deve ser representada por 2 quadrados e 4 trapézios isósceles dando Letra C.

23) A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por

A) $Y = log (A) - B cdot X$
B) $Y=frac{log(A)}{X +log(B)}$
C) $Y=frac{log(A)}{B}-X$
D) $Y=frac{log(A)}{B.X}$
E) $Y=frac{log(A)}{X^{B}}$

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A alternativa correta é letra A)

Aplicando o log nos dois lados da igualdade temos que

$log f=log frac{A}{r^{B}}= log A - log r^B= log A - B cdot log rRightarrow$

$Rightarrow Y= log (A) - B cdot X$

24) A Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (Pnad) é uma pesquisa feita anualmente pelo IBGE, exceto nos anos em que há Censo. Em um ano, foram entrevistados 363 mil jovens para fazer um levantamento sobre suas atividades profissionais e/ou acadêmicas. Os resultados da pesquisa estão indicados no gráfico.

A) 114 708.
B) 164 076.
C) 213 444
D) 284 592.
E) 291 582.

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A alternativa correta é letra C)

Queremos 13,6 + 45,2 = 58,8% dos jovens que trabalham dentre todos os 363.000 jovens. Tal conta é dada por:

$363000 times frac{58,8}{100}= 213444 jovens$

25) Muitos modelos atuais de veículos possuem computador de bordo. Os computadores informam em uma tela diversas variações de grandezas associadas ao desempenho do carro, dentre elas o consumo médio de combustível. Um veículo, de um determinado modelo, pode vir munido de dois tipos de computadores de bordo:

A) X . 100
B) $frac{X}{100}$
C) $frac{100}{X}$
D) $frac{1}{X}$
E) 1 . X

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A alternativa correta é letra C)

$Xlrightarrow 100Km$

$mlrightarrow 1Km$

Fazendo a regra de três, vem:

$100cdot ml=X$

$cdot ml=frac{X}{100}Km$

$1Km={color{Red} frac{100}{X}}$

26) Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída na sua base.

A) 12.
B) 14.
C) 16.
D) 18.
E) 20.

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A alternativa correta é letra B)

Na questão é exposto "[...] e modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm.". Isto implica que a base do troféu em miniatura deva ter lado de 6 cm, isto porque o menor lado da base da caixa é 8 cm e é por esta medida que devemos basear a distância mínima de 1 cm entre a parede dessa caixa e a base do mini troféu. Como é 1 cm longe de cada parede, nos dois extremos da parede de 8 cm devemos ter uma distância de 1 cm da base do mini troféu dando um total de 6 cm de lado da base.

Como a altura do troféu original é de 100 cm, podemos obter o valor da altura do mini troféu obtendo a escala de construção do mesmo. Esta escala pode ser obtida dividindo o lado da base do mini troféu pelo lado da base do troféu original:

escala = 6 cm / 50 cm = 3 / 25

Logo:

h / 100 cm = 3 / 25 ⇒ h = 4 x 3 = 12 cm.

Nos é falado no enunciado que a altura da caixa de vidro deve ser 2 cm maior que a altura do mini troféu, logo, temos que a altura da caixa é de 12 cm + 2 cm = 14 cm nos dando a Letra B como correta.

27) Uma torneira está gotenjando água em um balde com capacidade de 18 litros. No instante atual, o balde se encontra com a ocupação de 50% de sua capacidade. A cada segundo caem 5 gotas de água da torneria, e uma gota é formada, em média, por 5 x 10-2mL de água.

A) 2 x 10¹
B) 1 x 10¹
C) 2 x 10^-2
D) 1 x 10^-2
E) 1 x 10^-3

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A alternativa correta é letra B)

Faltam 50% do volume, logo, restam 0,5 x 18 L = 9 L a serem preenchidos.

Cada gota possui 5 x 10^-2 mL de volume o que equivale, em litros, a 5 x 10^-2 x 10^-3 L = 5 x 10^-5 L.

Portanto, a vazão de líquido é de 5 gotas por segundo = 5 x 5 x 10^-5 L / segundo = 2,5 x 10^-4 L/s.

Para preencher os 9 L restantes, precisa-se levar um total de segundos igual a:

9 L / (2,5 x 10^-4 L/s) = 9 / (2,5 x 10^-4) s = 3,6 x 10⁴ s.

Cada 1 hora tem 3600 segundos, logo, 10 horas tem 3,6 x 10⁴ s ou 36.000 segundos.

Letra B.

28) O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.

A) $frac{1}{12}$
B) $frac{7}{12}$
C) $frac{1}{8}$
D) $frac{5}{6}$
E) $frac{1}{4}$

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A alternativa correta é letra E)

A situação da primeira à sétima colocação se manterá sempre constante, por conta da idade dos participantes que tem idade mais avançada de que João.

$89rightarrow 86rightarrow 86rightarrow 85rightarrow 84rightarrow 82rightarrow Joao$

Sabendo-se que há quatro pessoas com idade igual a $75$ , e a escolha das pessoas com a mesma idade é feita através de sorteio, temos a probabilidade de $frac{1}{4}=25/100$

29) Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto de peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo.

A) 160
B) 157
C) 130
D) 120
E) 60

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A alternativa correta é letra A)

Para descobrirmos quantos algarismos de número dois, vem:

$100rightarrow 109$ $rightarrow 1$

$110rightarrow 119$ $rightarrow 1$

$120rightarrow 129$ $rightarrow 11$

$190rightarrow 199$ $rightarrow 1$

De $100$ à $199$ têm ${color{Red} 20}$ algarismos $2$

O caso dos números de $200rightarrow 299$ terá uma peculiaridade, pois haverá $100$ algarimos iguais a $2$ a mais por conta por conta da casa das centenas, portanto, ficamos com ${color{Green} 100+ 20}$

E de $300rightarrow 399$ a situação será igual à primeira, contendo ${color{Blue} 20}$ algarismos.

O que totaliza:

$20+120+20=160$ algarismos.

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30) O proprietário de um apartamento decidiu instalar porcelanato no piso da sala. Essa sala tem formato retangular com 3,2 m de largura e 3,6 m de comprimento. As peças do porcelanato têm formato de um quadrado com lado medindo 80 cm. Esse porcelanato é vendido em dois tipos de caixas, com os preços indicados a seguir.

A) 5 caixas do tipo A.
B) 1 caixa do tipo A e 4 caixas do tipo B.
C) 3 caixas do tipo A e 2 caixas do tipo B.
D) 5 caixas do tipo A e 1 caixa do tipo B.
E) 6 caixas do tipo B.

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A alternativa correta é letra C)

Com peças de 80 cm de lado podemos preencher a sala com 18 peças:

Aŕea da sala = 3,2 m x 3,6 m = 11,52 m² e área da peça = 0,80 m x 0,80 m = 0,64 m²

Área da sala / área da peça = 11,52 / 0,64 = 18.

Logo, precisamos de 18 peças para preencher essa sala.

Analisando item por item, vemos que a Letra C possui a melhor opção porque nos fornece exatamente 18 peças e tem o menor preço:

3 Caixas A = 3 x 4 peças = 12 peças por um valor de 3 x R$ 35,00 = R$ 105,00

2 Caixas B = 2 x 3 peças = 6 peças por um valor de 2 x R$ 27,00 = R$ 54,00

TOTAL = 18 peças por R$ 159,00.

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