Prova de Matemática do ENEM 2021 Resolvida
1) Uma mola é solta da posição distendida conforme a figura. A figura à direita representa o gráfico da posição P (em cm) da massa m em função do tempo t (em segundo) em um sistema de coordenadas cartesianas. Esse movimento periódico é descrito por uma expressão do tipo ou , em que A > 0 é a amplitude do deslocamento máximo e é a frequência, que se relaciona com o período T pela fórmula .
Considera a ausência de quaisquer forças dissipativas.
A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo no gráfico, é
- A) - 3 cos (2t)
- B) - 3 sen (2t)
- C) 3 cos (2t)
- D) -6 cos (2t)
- E) 6 sen (2t)
O período pode ser encontrado através da distância entre dois máximos ou dois mínimos da função. No gráfico é dada a distância de 2 mínimos como , logo, o período é igual a
. Utilizando a informação dada na questão:
Como não há deslocamento da função, podemos conferir se é uma função seno ou cosseno, , logo, se a função fosse seno, o gráfico deveria começar na origem, o que não é o caso. Trata-se de uma função cosseno.
Porém, a função tem como característica:
Como podemos ver no gráfico que ,
Alternativa A.
2) O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, de probabilidade de acertar um dardo no alvo.
A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a . Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.
Com base nos valores considerados pelo organizados da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
- A) 2.
- B) 4.
- C) 6.
- D) 9.
- E) 10.
O jogador ganha quando acerta pelo menos um dardo. Então para ganhar, só não se deve perder todos os lances.
Para perder todos a probabilidade é dada por:
Como a probabilidade de acertar deve ser maior que 9/10:
o menor inteiro que satisfaz é n = 4
3) Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega , e seu valor é dado pela solução positiva da equação .
Assim como a potência , as potências superiores de
podem ser expressas da forma
, em que
e
são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência , escrita na forma
(
e
são inteiros positivos), é
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
Se prestarmos atenção, as constantes e
, como se apresentam no exercício são ligadas à sequência de Fibonacci, onde cada termo é a soma dos dois anteriores. Mais especificamente, cada novo
e cada novo
. Logo:
e
Como apresentado no item E.
4) (ENEM – 2021) Aplicativos que gerenciam serviços de hospedagem têm ganhado espaço no Brasil e no mundo por oferecer opções diferenciadas em termos de localizações e valores de hospedagem. Em um desses aplicativos, o preço a ser pago pela hospedagem é calculado considerando um preço por diária , acrescido de uma taxa fixa de limpeza e de uma taxa de serviço.Essa taxa de serviço é um valor percentual calculado sobre o valor pago pelo total das diárias.
Nessa situação, o preço a ser pago ao aplicativo para uma hospedagem de diárias pode ser obtido pela expressão
- A)
- B)
- C)
- D)
- E)
O enunciado afirma que o valor a ser pago é dado pelo valor da diária vezes o número de dias (), devemos considerar a taxa fixa L que será somada sempre, independente do número de diárias.
E, por fim, o comando informa que existe um percentual s sobre o valor total a ser pago com as diárias.
Pela definição, valor percentual é um termo que será multiplicado pelo valor em questão, assim:
5) Uma grande rede de supermercados adota um sistema de avaliação dos faturamentos de suas filiais, considerando a média de faturamento mensal em milhão. A matriz da rede paga uma comissão para os representantes dos supermercados que atingirem uma média de faturamento mensal , conforme apresentando no quadro.
Um supermercado da rede obteve os faturamentos num dado ano, conforme apresentado no quadro.
Nas condições apresentadas, os representantes desse supermercado avaliam que receberão, no ano seguinte, a comissão de tipo
- A) I.
- B) II.
- C) III.
- D) IV.
- E) V.
Média do faturamento:
Comissão tipo II. Alternativa correta é Letra B.
6) Uma rede de hamburgueria tem três franquias em cidades distintas. Visando incluir um novo tipo de lanche no cardápio, o gerente de marketing da rede sugeriu que fossem colocados à venda cinco novos tipos de lanche, em edições especiais. Os lanches foram oferecidos pelo mesmo período de tempo em todos os franqueados. O tipo que apresentasse a maior média por franquia seria incluído definitivamente no cardápio. Terminado o período de experiência, a gerência recebeu um relatório descrevendo as quantidades vendidas, em unidade, de cada um dos cinco tipos de lanche nas três franquias.
Com base nessas informações, a gerência decidiu incluir no cardápio o lanche de tipo
- A) I.
- B) II.
- C) III.
- D) IV.
- E) V.
Lanche com maior média: Lanche V. Alternativa correta é Letra E.
7) Um zootecnista pretende testar se uma nova ração para coelhos é mais eficiente do que a que ele vem utilizando atualmente. A ração atual proporciona uma massa média de 10kg por coelho, com um desvio padrão de 1kg, alimentado com essa ração durante o período de três meses. O zootecnista selecionou uma amostra de coelhos e os alimentou com a nova ração pelo mesmo período de tempo. Ao final, anotou a massa de cada coelho, obtendo um desvio padrão de 1,5 kg para a distribuição das massas dos coelhos dessa amostra. Para avaliar a eficiência dessa ração, ele utilizará o coeficiente de variação (CV) que é uma medida de dispersão definida por , em que representa o desvio padrão e , a média das massas dos coelhos que foram alimentados com uma determinada ração. O zootecnista substituirá a ração que vinha utilizando pela nova, caso o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a nova ração for menor do que o coeficiente de variação da distribuição das massas dos coelhos que foram alimentados com a ração atual.
A substituição da ração ocorrerá se a média da distribuição das massas dos coelhos da amostra, em quilograma, for superior a
- A) 5,0.
- B) 9,5.
- C) 10,0.
- D) 10,5.
- E) 15,0.
[E]
O coeficiente de variação é dado pela razão entre o desvio padrão e a média das massas dos coelhos.
Com a ração atual, o coeficiente de variação é:
A ração será substituída se o coeficiente de variação da nova ração, que tem desvio padrão 1,5, for menor do que a ração atual, logo, precisamos que:
8) Em um estudo realizado pelo IBGE em quatro estados e no Distrito Federal, com mais de 5 mil pessoas com 10 anos ou mais, observou-se que a leitura ocupa, em média, apenas seis minutos do dia de cada pessoa. Na faixa de idade de 10 a 24 anos, a média diária é de três minutos. No entanto, no grupo de idades entre 24 e 60 anos, o tempo médio diário dedicado à leitura é de 5 minutos. Entre os mais velhos, com 60 anos ou mais, a média é de 12 minutos.
A quantidade de pessoas entrevistadas de cada faixa de idade seguiu a distribuição percentual descrita no quadro.
| Faixa etária | Percentual de entrevistados |
|---|---|
| De 10 a 24 anos | x |
| Entre 24 e 60 anos | y |
| A partir de 60 anos | x |
Disponível em: www.oglobo.globo.com. Acesso em: 16 ago. 2013 (adaptado).
Os valores de x e y do quadro são, respectivamente, iguais a
- A) 10 e 80.
- B) 10 e 90.
- C) 20 e 60.
- D) 20 e 80.
- E) 25 e 50.
Sabendo a média geral da população, basta substituirmos na fórmula da média:
Mas como 2x + y = 100%, então:
Substituindo :
600 = 15x + 5(100 – 2x)
600 = 15x + 500 – 10x
100 = 5x
x = 20
y = 60
9) Uma pessoa realizou uma pesquisa com alguns alunos de uma escola, coletando suas idades, e organizou esses dados no gráfico.
Qual é a média das idades, em ano, desses alunos?
- A) 9
- B) 12
- C) 18
- D) 19
- E) 27
Seja a média:
10) O gráfico apresenta o nível de ocupação dos cinco reservatórios de água que abasteciam uma cidade em 2 de fevereiro de 2015.
Nessa data, o reservatório com o maior volume de água era o
- A) I.
- B) II.
- C) III.
- D) IV.
- E) V.
Basta fazer a porcentagem de cada reservatório:
I) 0,2.105 = 21
II) 0,3.100 = 30
III) 0,5.20 = 10
IV) 0,4.80 = 32
V) 0,4.40 = 24
Logo o reservatório IV é o mais cheio, letra D.