Prova de Matemática do ENEM 2021 Resolvida

Questão 11

Disponível em: https://earthquake.usgs.gov/earthquakes/browser/m7-world.php. Acesso em: 13 ago. 2012 (adaptado).

Um pesquisador acredita que a mediana representa bem o número anual típico de terremotos em um período. Segundo esse pesquisador, o número anual típico de terremotos de magnitude maior ou igual a 7 é

A) 11.
B) 15.
C) 15,5.
D) 15,7.
E) 17,5.

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A mediana é o valor que está no meio da amostra. Para encontrarmos a mediana, vamos primeiro ordenar o nosso conjunto $T$ , contendo a quantidade de terremotos de magnitude maior ou igual a 7:

$T = left{ 11, 11, 12, 13, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 20, 24right}$

Como o nosso conjunto $T$ possui um número par de elemento, 12, a nossa mediana será a média dos dois valores centrais. Logo temos:

$frac{15+16}{2} = 15,5$

Portanto, a nossa mediana é 15,5.
Alternativa correta é Letra C.

Questão 12

No método, cada letra era trocada por uma letra que aparecia no alfabeto por um número fixo de casas adiante (ou atrás) de forma cíclica. A seguir temos um exemplo em que casa letra é substituída pela que vem três posições à frente.

Para quebrar um código como esse, análise de frequências das letras de um texto é uma ferramenta importante.

Uma análise do texto do romance O guarani, de José de Alencar, que é composto por 491 631 letras, gerou o seguinte gráfico de frequências:

Após codificar esse texto com a regra do exemplo fornecido, faz-se nova análise de frequência no texto codificado. As quatro mais frequentes, em ordem decrescente de frequência, do texto codificado são

A) A, E, O e S
B) D, E, F e G
C) D, H, R e V
D) R, L, B e X
E) X, B, L e P

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Observando o gráfico, é possível ver que as letras mais comuns no livro “o Guarani” são as letras A, E, O e S, em ordem decrescente.

Logo, ao se observar a transformação a ser feita pela Cifra de César, temos que:

A = D

E = H

O = R

S = V

Alternativa C

Questão 13

O gráfico ilustra a distribuição de frequências dos preços de venda dos apartamentos dessa lista (em mil reais), no qual as faixas de preço são dadas por ]300, 400], ]400, 500], ]500, 600], ]600, 700], ]700, 800], ]800, 900], ]900, 1 000], ]1 000, 1 100], ]1 100, 1 200] e ]1 200, 1 300].

A mesma corretora anuncia que cerca de 50% dos apartamentos de dois quartos nesse bairro, publicados em sua página, têm preço de venda inferior a 550 mil reais. No entanto, o casal achou que essa útlima informação não era compatível com o gráfico obtido.

Com base no gráfico obtido, o menor preço, p (em mil reais), para o qual pelo menos 50% dos apartamentos apresenta preço inferior a p é

A) 600.
B) 700.
C) 800.
D) 900.
E) 1 000.

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Como o preço de 105 imóveis foram consultados para elaboração do gráfico, 50% destes imóveis equivalem a 52,5 imóveis, ou seja, pelo menos 53 dos apartamentos devem ter um preço inferior a p.

Observando a distribuição no gráfico, nota-se que 35 dos apartamentos custam até 700 mil reais. 20 dos apartamentos estão na faixa entre 700 mil e 800 mil reais, totalizando 55 apartamentos que devem estar abaixo de 800 mil reais.

Alternativa C.

Questão 14

No período de 2005 a 2009, o aumento percentual no número de vendas foi de

A) 45,4.
B) 54,5.
C) 120.
D) 220.
E) 283,2.

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Para calcularmos o aumento percentual, vamos fazer o valor final menos o valor inicial e depois calcular o quanto esse resultado vale percentualmente do valor inicial. Sendo assim, temos:

$\519,2 - 236 = 283,2\ \ frac{283,2}{236} = 1,2\ \ 1,2cdot 100 = 120text{%}$

Portanto, o aumento percentual no volume de vendas foi de 120%.

Alternativa correta é Letra C.

Questão 15

A previsão para os próximos meses é que o lucro mensal não seja inferior ao maior lucro obtido até o mês de maio.

Nessas condições, o lucro mensal para os próximos meses deve ser maior ou igual ao do mês de

A) janeiro.
B) fevereiro.
C) março.
D) abril.
E) maio.

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Sabemos que o lucro é dado pela diferença entre receita e custo. Buscamos o mês com maior lucro.

Assim, encontrando o lucro em cada mês:

Janeiro:
10-5 = 5

Fevereiro:
20-10 = 10

Março:
15-10 = 5

Abril:
20-15 = 5

Maio:
28-25 = 3

Logo, o maior lucro foi em fevereiro.

Alternativa B.

16) (ENEM – 2021) A demografia médica é o estudo da população de médicos no Brasil nos aspectos quantitativo e qualitativo, sendo um dos seus objetivos fazer projeções sobre a necessidade da formação de novos médicos. Um desses estudos gerou um conjunto de dados que aborda a evolução do número de médicos e da população brasileira por várias décadas. O quadro apresenta parte desses dados.

A) 0,17.
B) 0,49.
C) 1,71.
D) 2,06.
E) 3,32.

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Primeiramente, deve-se encontrar a média das variações para determinar o número de médicos e da população brasileira em em 2020.

Média da variação da população brasileira:

$frac{(170000 - 147000) + (191000 - 170000)}{2}$

$frac{23000 + 21000}{2} = 22000$

Logo, o número esperado da população brasileira é:

191000 + 22000 = 213000 milhares

Média da variação do número de médicos:

$frac{(292000 - 219000) + (365000 - 292000)}{2}$

$frac{73000+73000}{2}=73000$

Logo, o número esperado de médicos é:

365000 + 73000 = 438000

O número de médicos a cada mil habitantes será:

$frac{438000}{213000} approx 2,06$

Alternativa D

Questão 17

O castelo possui uma ponte de 38,4 m de comprimento e 1,68 m de largura. O artesão que trabalhou para o parque produziu a réplica do castelo, em escala. Nessa obra, as medidas do comprimento e da largura da ponte eram, respectivamente, 160 cm e 7 cm.

A escala utilizada para fazer a réplica é

A) 1 : 576
B) 1 : 240
C) 1 : 24
D) 1 : 4,2
E) 1 : 2,4

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Primeiramente vamos converter as medidas para uma mesma unidade, usando centímetros temos:

Medidas reais: 3 840 cm e 168 cm
Medidas na escala: 160 cm e 7 cm

Agora basta dividirmos uma pela outra de modo a encontrar a escala utilizada, para o comprimento temos:

$frac{160}{3840} = frac{1}{24}$

Conferindo para a medida da largura também:

$frac{7}{168} = frac{1}{24}$

Portanto, a escala utilizada para fazer a réplica é 1 : 24.

Alternativa correta é letra C.

Questão 18

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada $b$ , que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação $(a Delta b) * (b Delta a) = 0$ . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada $b = 1$ .

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

A) $sqrt 5$
B) $sqrt 3$
C) $sqrt 1$
D) $frac{-1 + sqrt 5}{2}$
E) $frac{3 + sqrt5}{2}$

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Já conhecemos o valor de entrada b=1 e desejamos encontrar o valor de saída.

$(aDelta b)*(bDelta a)=0$

Vamos resolver as operações separadamente:

i) $(aDelta b)=a^2+ab-b^2=a^2+a-1$

ii) $(bDelta a)=b^2+ba-a^2=1+a-a^2$

iii) $(aDelta b)cdot (bDelta a)=0$

$(a^2+a-1) cdot (1+a-a^2)=0$

$(a^2+a-1) cdot (1+a-a^2)+(a^2+a-1) =0$

$a^2+a^3-a^4+a+a^2-1-a+a^2+a^2+a-1=0$

$-a^4+4a^2+a-2=0$

$a^2(-a^2+4)+a-2=0$

$a^2(2-a)(2+a)-1(2-a)=0$

$(2-a)(2a^2-a^3-1)=0$

$(2-a)(a-a^3+a^2-1)=0$

$(2-a)[a^2(1-a)+(a+1)(a-1)]=0$

$(2-a)(1-a)(a^2+a-1)=0$

Primeiras raízes descobertas: 2 e 1.

$a^2+a-1=0$

$Delta =1+4=5$

$a=frac{-1pm sqrt{5}}{2}$

Vamos dispor as raízes em ordem crescente:

$frac{-1- sqrt{5}}{2}, 1,frac{-1+ sqrt{5}}{2}, 2$

O valor de saída é a soma das duas maiores soluções:

$frac{-1+ sqrt{5}}{2}+2=frac{-1+ sqrt{5}+4}{2}=frac{3+ sqrt{5}}{2}$

Alternativa correta é Letra E.

Questão 19

Considera a ausência de quaisquer forças dissipativas.

A expressão algébrica que representa as posições P(t) da massa m, ao longo do tempo no gráfico, é

A) - 3 cos (2t)
B) - 3 sen (2t)
C) 3 cos (2t)
D) -6 cos (2t)
E) 6 sen (2t)

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O período pode ser encontrado através da distância entre dois máximos ou dois mínimos da função. No gráfico é dada a distância de 2 mínimos como $pi$ , logo, o período é igual a $pi$ . Utilizando a informação dada na questão:

$omega = frac{2pi}{pi}$

$omega = 2$

Como não há deslocamento da função, podemos conferir se é uma função seno ou cosseno, $sen(0)=0$ , logo, se a função fosse seno, o gráfico deveria começar na origem, o que não é o caso. Trata-se de uma função cosseno.

Porém, a função $f(t) = A cdot cos(2t)$ tem como característica:

$f(0)= A cos (2 times 0) = A cos (0) = A$

Como podemos ver no gráfico que $f(0)=-3$ ,

$A = -3$

Alternativa A.

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Questão 20

Em relação a esses preços, haverá um aumento de 50% no preço do quilograma de batata-doce, e os outros preços não serão alterados. O atleta deseja manter o custo da refeição, a quantidade de batata-doce a hortaliça. Portanto, terá que reduzir a quantidade de frango.

Qual deve ser a redução percentual da quantidade de frango para que o atleta alcance seu objetivo?

A) 12,5
B) 28,0
C) 30,0
D) 50,0
E) 70,0

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Novo preço da batata-doce:

$5 cdot 150%=7,50$

Novos custos e quantidades:

$mcdot 12,5+0,6 cdot 7,50+2=10$

$12,5m+4,5=8$

$12,5m=3,5$

$m=0,28$

Redução de (0,400 - 0,280 = 0,120) gramas na quantidade de frango. Redução percentual:

$frac{0,120}{0,400}cdot 100%=30%$

Alternativa correta é Letra C.

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