Prova de Matemática do ENEM 2021 Resolvida

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21) Um nutricionista verificou, na dieta diária do seu cliente, a falta de 800 mg do mineral A, de 1 000 mgno mineral B e de 1 200 mg do mineral C. Por isso, recomendou a compra de suplementos alimentares que forneçam os minerais faltantes e informou que não haveria problema se consumisse mais desses minerais do que o recomendado.

A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.

Como é permitido que o cliente coma nutrientes a mais do que o recomendado em sua dieta, é necessário conferir a quantidade de cada suplemento suficiente para que ele obtenha toda a quantidade de minerais que estão lhe faltando. Analisando os preços em relação à quantidade de sachês necessária de cada suplemento:

Para conseguir toda a quantidade de nutrientes com o suplemento I, o cliente precisará de 16 sachês do suplemento devido à quantidade do mineral A. Logo:

$16 times 2 = 32$

Para conseguir toda a quantidade de nutrientes com o suplemento II, o cliente precisará de 6 sachês do suplemento devido à quantidade do mineral C, logo:

$6 times 3 = 18$

Para conseguir toda a quantidade de nutrientes com o suplemento III, o cliente precisará de 4 sachês do suplemento devido à quantidade dos minerais A e C, logo:

$4 times 5 = 20$

Para conseguir toda a quantidade de nutrientes com o suplemento IV, o cliente precisará de 2 sachês do suplemento devido à quantidade dos minerais A, B e C, logo:

$2 times 6 = 12$

Para conseguir toda a quantidade de nutrientes com o suplemento V, o cliente precisará de 2 sachês do suplemento devido à quantidade dos minerais A e B, logo:

$2 times 8 = 16$

O suplemento IV é a forma mais barata.

22) Em uma corrida automobilística, os carros podem fazer paradas nos bozes para efetuar trocas de pneus. Nessas trocas, o trabalho é feito por um grupo de três pessoas em cada pneu. Considere que os grupos iniciam o trabalho no mesmo instante, trabalham à mesma velocidade e cada grupo trabalha em um único pneu. Com os quatro grupos completos, são necessários 4 segundos para que a troca seja efetuada. O tempo gasto por um grupo para trocar um pneu é inversamente proporiconal ao número de pessoas trabalhando nele. Em uma dessas paradas, um dos trabalhadores passou mal, não pôde participar da troca e nem foi substituído, de forma que um dos quatro grupos de troca ficou reduzido.

A) 6,0
B) 5,7
C) 5,0
D) 4,5
E) 4,4

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A troca é normalmente feita por 3 pessoas levando 4 segundos para ser efetuada. Sabendo que o tempo é inversamente proporcional à quantidade de trabalhadores, de maneira geral temos a seguinte igualdade:

$frac{t_{1}}{frac{1}{n_{1}}} = frac{t_{2}}{frac{1}{n_{2}}}$

Onde t1 e t2 são os tempos e n1 e n2 são os números de trabalhadores, substituindo com os valores do nosso problema, teremos:

$frac{4}{frac{1}{3}} = frac{x}{frac{1}{2}} rightarrow 12 = 2xrightarrow x =6$

Portanto, 2 trabalhadores vão demorar 6 segundos para efetuar a troca dos pneus.

Alternativa correta é Letra A.

23) Para realizar um voo entre duas cidades que distam 2 000 km uma da outra, uma companhia aérea utilizava um modelo de aeronave A, capaz de transportar até 200 passageiros. Quando uma dessas aeronaves está lotada de passageiros, o consumo de combustível é de 0,02 litro por quilômetro e por passageiro. Essa companhia resolveu trocar o modelo de aeronave A pelo modelo de aeronave B, que é capaz de transportar 10% de passageiros a mais do que o modelo A, mas consumindo 10% menos combustível por quilômetro e por passageiro.

A) 10% menor.
B) 1% menor.
C) igual.
D) 1% maior.
E) 11% maior.

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Quantidade de combustível consumida pela aeronave A:

$Q_A=0,02cdot 2000cdot 200=8000; litros$

Capacidade da aeronave B:

$200cdot 110%=220; passageiros$

Fator de consumo da aeronave B:

$0,02 cdot 90%=0,018$

Quantidade de combustível consumida pela aeronave B:

$Q_B=0,018cdot 2000cdot220=7920; litros$

Diferença de consumo de B em relação a A:

$8000-7920=80$

$frac{80}{8000}cdot 100%=1%$

O consumo de B é 1% menor que o consumo de A.

Alternativa correta é Letra B.

24) Uma construtora, pretendendo investir na construção de imóveis em uma metrópole com cinco grandes regiões, fez uma pesquisa sobre a quantidade de famílias que mudaram de uma região para outra, de modo a determinar qual região foi o destino do maior fluxo de famílias, sem levar em consideração oo número de famílias que deixaram a região. Os valores de pesquisa estão dispostos em uma matriz A = [aij], i, j {1, 2 , 3, 4, 5} em que o elemento aij corresponde ao total de familias (em dezenas) que se mudaram da região i para a região j durante um certo período, e o elemento aij é considerando nulo, uma vez que somente são consideradas mudanças entre regiões distintas. A seguir, está apresentada a matriz com os dados da pesquisa.

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

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Queremos encontrar para qual região mais famílias se mudaram. Sabemos que o elemento a_ij define a quantidade de famílias que saíram de i e foram para_j, como somente nos interessa o destino final das famílias e não de onde saíram, podemos relacionar cada coluna da matriz a uma região. A soma dos elementos da coluna k da matriz define quantas famílias se mudaram para a região k:

Coluna 1: 0+0+2+1+1=4

Coluna 2: 4+0+2+0+2=8

Coluna 3: 2+6+0+2+0=10

Coluna 4: 2+2+3+0+4=11

Coluna 5: 5+3+0+4+0=12

O investimento foi direcionado para a região 5. Alternativa correta é Letra E.

25) (ENEM – 2021) O administrador de um teatro percebeu que, com o ingresso do evento a R$ 20,00, um show conseguia atrair 200 pessoas e que, a cada R$ 1,00 de redução no preço do ingresso, o número de pessoas aumentava em 40. Ele sabe que os donos do teatro só admitem trabalhar com valores inteiros para os ingressos, pela dificuldade de disponibilizar troco, e pretende convencê-los a diminuir o preço do ingresso. Assim, apresentará um gráfico da arrecadação em função do valor do desconto no preço atual dos ingressos.

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A arrecadação é o produto do valor de um ingresso pela quantidade de pessoas que comprou ingresso.

$A(x) = (20-1cdot x)(200+40cdot x)=4000+800x-200x-40x^2=-40x^2+600x+4000$

A arrecadação é descrita por uma função de segundo grau, temos as opções D e E.

Como só aparecem valores inteiros, pelo que foi descrito no enunciado, a alternativa correta é Letra E.

26) O quadro representa a relação entre o preço de um produto (R) e seu respectivo imposto devido (I).

A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

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Como o produto é isento de imposto até 5000 reais, temos que o gráfico deve ser constante e com imposto igual a 0 até este ponto.

Para 5 000 $<$ R $leq$ 10 000, o gráfico tem equação da forma:

$frac{10}{100}(R -5000)$

$frac{R}{10} - 500$

Que é a equação de uma reta.

Para 10 000 $<$ R $leq$ 15 000, o gráfico tem equação da forma:

$500 + frac{30}{100} (R -10000)$

$frac{3R}{10} - 2500$

Que é a equação de uma reta com inclinação maior do que a reta anterior.

Logo, a alternativa A é a única que representa corretamente a relação entre o preço e o imposto.

27) Um povoado com 100 habitantes está passando por uma situação de seca prolongada e os responsáveis pela administração pública local decidem contratar a construção de um reservatório. Ele deverá ter a forma de um cilindro circular reto cuja base tenha 5 metros de diâmetro interno, e atender à demanda de água da população por um período de exatamente sete dias consecutivos. No oitavo dia, o reservatório vazio é completamente reabastecido por carros-pipa.

A) 1,12.
B) 3,10.
C) 4,35.
D) 4,48.
E) 5,60.

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Como o consumo diário por habitante é de 120 litros, tem-se que os 100 habitantes do povoado gastam 12 000 litros de água por dia. Como o abastecimento deve durar uma semana, o volume do reservatório deve ser no mínimo:

$7 times 12000 = 84000l = 84000dm^3=84m^3$

É dado que o reservatório tem formato de um cilindro com 5 metros de diâmetro, ou seja, 2,5 metros de raio. Assim, podemos utilizar o volume do cilindro para encontrar sua altura.

$pi r^2 times h = 84$

$3 times (2,5)^2 times h = 84$

$18,75h = 84$

$h = 4,48$

28) O projeto de um contêiner, em forma de paralelepípedo retangular, previa a pintura dos dois lados (interno e externo) de cada uma das quatro paredes com tinta acrílica e a pintura do piso interno com tinta epóxi. O construtor havia pedido, a cinco fornecedores diferentes, orçamentos das tintas necessárias, mas, antes de iniciar a obra, resolveu mudar o projeto original, alterando o comprimento e a largura para o dobro do originalmente previsto, mantendo inalterada a altura. Ao pedir novos orçamentos aos fornecedores, para as novas dimensões, cada um deu uma resposta diferente sobre as novas quantidades de tinta necessárias.

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

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A área de cada uma das paredes é dada pelo produto entre a altura e a largura, desta forma, sua área originalmente é:

$A_{parede}= l times h$

A área do piso é dado pelo produto entre o comprimento e a largura, desta forma, sua área originalmente é:

$A_{piso}= c times l$

Ao se dobrar a medida do comprimento e da largura, teremos como novas áreas:

$A_{parede} = 2l times h$

$A_{piso}= 2c times 2l = 4 (c times l)$

Logo, a área do piso ficou quatro vezes maior, e a área da parede duas vezes maior.

Alternativa B.

29) (ENEM – 2021) Uma pessoa pretende viajar por uma companhia aérea que despacha gratuitamente uma mala com até 10 kg.

A) 22
B) 24
C) 26
D) 33
E) 39

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Vamos chamar o peso da mala de M, o peso de uma camiseta de A, de uma calça de B e de um sapato de C. Pelos dados das viagens anteriores:

$i) M+12A+4B+3C=10$

$ii) M+18A+3B+2C=10$

Para a próxima viagem, o peso da bagagem também deve ter 10 kg, mas com uma quantidade n de camisetas ainda não descoberto:

$iii) M+nA+2B+C=10$

Vamos manipular as equações acima. Subtraindo i) e ii):

$-6A+B+C=0 (cdot 2) rightarrow -12A+2B+2C=0$

Subtraindo a nova equação de i):

$M+12A+4B+3C-(-12A+2B+2C)=10$

$M+24A+2B+C=10$

Descobrimos que $n=24$ .

Alternativa correta é Letra B.

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30) Um automóvel apresenta um desempenho médio de 16 km/L. Um engenheiro desenvolveu um novo motor a combustão que economiza, em relação ao consumo do motor anterior, 0,1 L de combustível a cada 20 km percorridos.

A) 15,9.
B) 16,1.
C) 16,4.
D) 17,4.
E) 18,0.

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Vamos calcular quantos litros de combustível o automóvel gasta para percorrer 20 km.

$\16text{ km}rightarrow 1text{ L}\ 20text{ km}rightarrow x$

$x = frac{20}{16} = frac{5}{4} = 1,25text{ L}$

Com o novo motor, para percorrermos essa mesma distância de 20 km, gastaremos 0,1 L a menos, ou seja, gastaremos 1,15 L. Agora fazendo uma nova regra de 3, temos:

$\20text{ km}rightarrow 1,15text{ L}\ text{ }text{ }text{ }text{ }text{ }text{ }y rightarrow 1text{ L}$

$y = frac{20}{1,15} approx 17,4 text{ km}$

Portanto, o desempenho médio do automóvel com o novo motor será de 17,4 km/L.

Alternativa correta é Letra D.

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