Prova de Matemática do ENEM 2021 Resolvida

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41) (ENEM – 2021) Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.

A) $frac{6!}{4!2!} cdot frac{15!}{10!5!}$
B) $frac {6!}{4!2!} + frac{15!}{10!5!}$
C) $frac{6!}{2!} +frac{15!}{5!}$
D) $frac{6!}{2!} cdot frac{15!}{5!}$
E) $frac {21!}{7!14!}$

Precisamos escolher 2 tecidos dentre 6 tipos diferentes de tecido e 5 pedras ornamentais dentre 15 pedras diferentes, para resolvermos isso podemos utilizar duas combinações simples, a primeira de 6 elementos tomados de 2 em 2 e a segunda de 15 elementos tomados de 5 em 5, sendo assim teremos:

$C_{2}^{6} = frac{6!}{(6-2)!cdot 2!} = frac{6!}{4!cdot 2!}$

$C_{5}^{15} = frac{15!}{(15-5)!cdot 5!} = frac{15!}{10!cdot 5!}$

Como o nosso conjunto final e fruto da junção das duas combinações, teremos uma multiplicação entre eles:

$C_{2}^{6}cdot C_{5}^{15} = frac{6!}{4!cdot 2!} cdot frac{15!}{10!cdot 5!}$

Alternativa correta é Letra A.

42) Uma unidade de medida comum usada para expressar áreas de terrenos de grandes dimensões é o hectare, que equivale a 10.000 m2. Um fazendeira decide fazer um loteamento utilizando 3 hectares de sua fazenda, dos quais 0,9 hectare será usado para a construção de ruas e calçadas e o restante será dividido em terrenos com área de 300 m2 cada um. Os 20 primeiros terrenos vendidos terão preços promocionais de R$ 20.000,00 cada, e os demais, R$30.000,00 cada.

A) 700.000.
B) 1.600.000.
C) 1.900.000.
D) 2.200.000.
E) 2.800.000.

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Vamos setorizar a área total do terreno, já convertendo as unidades para metro quadrado, sendo:

Área total do terreno: 3 hectares = 30.000 m^2
Área de pavimentação: 0,9 hectares = 9.000m^2
Área para os lotes: 30.000 - 9.000 = 21.000 m^2

Agora vamos descobrir quantos lotes nós conseguimos fazer com a área designada para eles, sabendo que cada lote tem uma área de 300 m², teremos:

$frac{21.000}{300} = 70$

Sendo assim, teremos 70 lotes, dos quais os 20 primeiros lotes serão vendidos por R$ 20.000,00 e os outros 50 por R$ 30.000,00. Portanto, o valor total obtida pelo fazendeiro no final será de:

$(20.000cdot 20)+(30.000cdot 50) = 1.900.000$

Alternativa correta é: Letra C.

43) Uma das bases mais utilizadas para representar um número é a base decimal. Entretanto, os computadores trabalham com números na base binária. Nessa base, qualques número natural é representado usando apenas os algarismos 0 e 1. Por exemplo, as representações dos números 9 e 12, na base binária, são 1001 e 1100, respectivamente. A operação de adição, na base decimal, como detalhado no quadro:

A) 101
B) 1101
C) 1111
D) 10101
E) 11001

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Realizando a soma como proposta na questão, algarismo por algarismo:

1001 + 1100

Algarismo das unidades:

1+0=1

Algarismo das dezenas:

0+0=0
Algarismo das centenas:

0+1 =1

Algarismo dos milhares:

1+1=10 (como proposto no enunciado)

Logo, o número formado é 10101

Outra forma de resolver a questão é conhecendo como funciona o código binário, onde decompomos o número nas potências de 2.

$12 + 9 = 21$

$21 = 16 + 4+1=2^{4}+2^{2}+2^{0}$

O número binário então é:

$1times 2^4 + 0times 2^3 + 1times 2^2 + 0times 2^1 + 1times 2^0$

Analisando-se os 0s e 1s na sequência binária, encontramos 10101.

Alternativa D

44) O sistema de numeração romano ainda é utilizado na indicação de capítulos e volumes de livros, na designação de séculos e, em ordem cronológica, de papas e reis de mesmo nome. são utilizadas sete letras do alfabeto:

A) 379
B) 381
C) 579
D) 581
E) 601

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A alternativa correta é letra D)

Vamos ler o número da esquerda para a direita, sempre que símbolo designar um número maior que o número designado pelo símbolo à esquerda, temos que esses dois símbolos são lidos em conjunto:

M+CD+L+X+IX=

1000+400+50+10+9=1469

Aniversário da cidade em 2050:

2050-1469=581

Alternativa correta é Letra D.

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