Com relação à amostragem aleatória simples em população de tamanho finito, julgue os itens seguintes.Considere os métodos clássicos para a determinação do tamanho mínimo da amostra para a estimação da média populacional com base em uma amostra aleatória simples. Nesse caso, se o tamanho mínimo da amostra para uma seleção com reposição — nc — for 3⁄2 do tamanho mínimo correspondente para uma seleção sem reposição — ns —, então o tamanho da população será igual ao triplo de nc.

No contexto da amostragem aleatória simples em populações de tamanho finito, é importante analisar as relações entre os tamanhos mínimos das amostras para seleções com e sem reposição. O enunciado apresenta uma afirmação específica sobre essa relação, que deve ser julgada como certa ou errada.

O problema proposto estabelece que, se o tamanho mínimo da amostra para seleção com reposição (n_c) for igual a 3/2 do tamanho mínimo correspondente para seleção sem reposição (n_s), então o tamanho da população (N) seria igual ao triplo de n_c. Matematicamente, isso seria expresso como:

n_c = (3/2) * n_s ⇒ N = 3 * n_c

Para verificar a validade dessa afirmação, é necessário recorrer às fórmulas clássicas de determinação do tamanho amostral. Na amostragem com reposição, a variância do estimador da média é dada por σ²/n_c, enquanto na amostragem sem reposição, a variância incorpora o fator de correção para populações finitas, sendo expressa como (σ²/n_s) * (1 - n_s/N).

Igualando as precisões (variâncias) dos dois métodos para que sejam comparáveis, obtemos a relação conhecida:

1/n_c = (1/n_s) * (1 - n_s/N)

Substituindo a relação n_c = (3/2)*n_s nesta equação, temos:

1/((3/2)*n_s) = (1/n_s) * (1 - n_s/N)

Simplificando a equação:

2/(3n_s) = 1/n_s - n_s/(N*n_s)

2/3 = 1 - n_s/N

n_s/N = 1 - 2/3 = 1/3

Portanto, N = 3n_s

Como n_c = (3/2)*n_s, temos que n_s = (2/3)*n_c. Substituindo na expressão para N:

N = 3*(2/3)*n_c = 2n_c

Este resultado mostra que o tamanho da população seria igual ao dobro de n_c, e não ao triplo como afirmado no enunciado. Portanto, a afirmação original está incorreta.

Concluindo, o gabar