Considere uma variável aleatória com distribuição qualquer de uma população infinita. Em amostras aleatórias simples de tamanho n, retiradas desta população, a distribuição da média amostral tem:

O estudo da distribuição da média amostral é um dos pilares da estatística inferencial, especialmente quando lidamos com populações infinitas e amostras aleatórias simples. O Teorema Central do Limite (TCL) desempenha um papel fundamental nesse contexto, mas é importante entender suas implicações e limitações.

Quando extraímos amostras de tamanho n de uma população com distribuição qualquer (não necessariamente normal), a distribuição das médias amostrais apresenta características específicas. A alternativa correta, neste caso, é a C), que afirma que a média amostral tem a mesma média da população, mas com variância reduzida por um fator de 1/n em relação à variância populacional.

Esta propriedade é válida independentemente da distribuição original da população (desde que a variância populacional seja finita). A média das médias amostrais será igual à média populacional (μ), enquanto a variância das médias amostrais será σ²/n, onde σ² é a variância populacional. Isso demonstra como o aumento do tamanho da amostra (n) leva a uma maior precisão nas estimativas.

Vale ressaltar que o TCL garante que, para n suficientemente grande, a distribuição das médias amostrais tenderá à normalidade, mesmo que a população original não seja normal. Porém, a alternativa C é correta porque descreve uma propriedade que vale para qualquer tamanho de amostra, não dependendo da aproximação normal.

As outras alternativas apresentam equívocos: A) e D) incorrem no erro de presumir normalidade em qualquer caso; B) erra ao afirmar que a variância permanece igual; e E) comete o erro inverso, sugerindo que a variância aumenta com o tamanho da amostra, quando na verdade diminui.