Instruções: Para responder à questão utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar adequadas. Se Ζ tem distribuição normal padrão, então: P(0< Ζ < 1) = 0,341 , P(0< Ζ < 1,6) = 0,445 , P(0< Ζ < 2) = 0,477Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão 100. O tamanho da amostra para que a diferença, em valor absoluto, entre a média amostral e µ seja menor do que 2, com coeficiente de confiança de 89%, é
Instruções: Para responder à questão utilize, dentre as informações abaixo, as que julgar
adequadas. Se Ζ tem distribuição normal padrão,
então:
P(0< Ζ < 1) = 0,341 , P(0< Ζ < 1,6) = 0,445 , P(0< Ζ < 2) = 0,477
Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média µ e desvio padrão 100. O tamanho da amostra para que a diferença, em valor absoluto, entre a média amostral e µ seja menor do que 2, com coeficiente de confiança de 89%, é
- A)1.000
- B)2.200
- C)2.800
- D)3.600
- E)6.400
Resposta:
A alternativa correta é E)
Para resolver a questão, é necessário utilizar os conceitos de distribuição normal e intervalo de confiança. O problema fornece probabilidades associadas à distribuição normal padrão (Z) e pede o tamanho da amostra para que a diferença absoluta entre a média amostral e a média populacional (µ) seja menor que 2, com um coeficiente de confiança de 89%.
Primeiramente, observamos que o coeficiente de confiança de 89% corresponde à probabilidade de que a média amostral esteja dentro de um intervalo centrado em µ. Como a distribuição é simétrica, buscamos o valor de Z tal que P(-Z < Ζ < Z) = 0,89. Isso implica que P(0 < Ζ < Z) = 0,89 / 2 = 0,445.
De acordo com os valores fornecidos, P(0 < Ζ < 1,6) = 0,445. Portanto, Z = 1,6 é o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 89%.
A fórmula para o intervalo de confiança da média populacional é dada por:
|X̄ - µ| < Z * (σ / √n)
Onde X̄ é a média amostral, µ é a média populacional, σ é o desvio padrão (100, conforme o enunciado), e n é o tamanho da amostra que queremos encontrar. Substituindo os valores conhecidos:
2 > 1,6 * (100 / √n)
Resolvendo para n:
2 > 160 / √n
√n > 160 / 2
√n > 80
n > 80²
n > 6.400
Portanto, o tamanho mínimo da amostra deve ser 6.400 para satisfazer as condições do problema. A alternativa correta é a E) 6.400.
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