Os estimadores θn e θ*n são estimadores pontuais do parâmetro θ de certa distribuição, em que n representa o tamanho da amostra. Nesse caso, o estimador θ
Os estimadores θn e θ*n são estimadores pontuais do parâmetro θ de certa distribuição, em que n representa o tamanho da amostra. Nesse caso, o estimador θ
- A)limn➝∞P(|θn - θ|≥ ∈) = 0; para todo ∈ > 0.
- B)P( X1 , Xp ..., Xn |θn ), em que X1 ,X2 ..., Xn são observações amostrais, não dependentes de θ.
- C)σ²(θn) ≤ σ²(θ*n), em que σ²(.)é a variância do estimador.
- D)L(θn | X1 , X2 ,..., Xn) ≥ L(θn | X1 , X2 ,..., Xn), em que L(.) é a função de verossimilhança associada ao modelo e X1 , X2 ,..., Xn são as
- E)E(θn)=θ
Resposta:
A alternativa correta é A)
No contexto da estatística, os estimadores pontuais são ferramentas fundamentais para inferir parâmetros desconhecidos de uma distribuição com base em dados amostrais. O exercício apresentado aborda dois estimadores, θn e θ*n, utilizados para estimar o parâmetro θ, onde n representa o tamanho da amostra. Entre as alternativas fornecidas, a correta é a letra A), que descreve uma propriedade essencial de um estimador consistente.
A alternativa A) afirma que limn→∞ P(|θn - θ| ≥ ε) = 0, para todo ε > 0. Essa expressão define a consistência de um estimador, indicando que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a probabilidade de o estimador diferir do parâmetro verdadeiro por mais de uma quantidade arbitrária ε tende a zero. Em outras palavras, um estimador consistente converge em probabilidade para o valor real do parâmetro à medida que a amostra cresce.
As demais alternativas apresentam conceitos relevantes, mas não correspondem à definição de consistência:
- B) Refere-se à independência entre as observações amostrais e o estimador, o que não está diretamente relacionado à consistência.
- C) Compara as variâncias dos dois estimadores, indicando eficiência relativa, mas não garante consistência.
- D) Envolve a função de verossimilhança, associada ao método de máxima verossimilhança, mas não define consistência por si só.
- E) Define não tendenciosidade (ou ausência de viés), uma propriedade distinta da consistência.
Portanto, a resposta correta é A), pois captura a essência da consistência, uma propriedade desejável em estimadores, garantindo que eles se aproximem do parâmetro verdadeiro à medida que a amostra aumenta.
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