Questões Sobre Amostragem - Estatística - concurso

O estudo realizado pelo instituto de pesquisa busca analisar o impacto da redução do IPI sobre veículos automotores nas vendas de carros novos. Para isso, foram coletados dados antes (X1) e depois (X2) da medida, com as seguintes estatísticas descritivas:

Antes da redução (X1):
- Tamanho da amostra (n₁): 31
- Média amostral (x₁): 90
- Variância amostral (s²₁): 12

Depois da redução (X2):
- Tamanho da amostra (n₂): 28
- Média amostral (x₂): 115
- Variância amostral (s²₂): 9

Para avaliar se a estimativa da variância combinada seria inferior a 10,5 sob a hipótese de igualdade das variâncias populacionais (σ²₁ = σ²₂), é necessário calcular a variância combinada (s²_p) usando a fórmula:

s²_p = [(n₁-1)s²₁ + (n₂-1)s²₂] / (n₁ + n₂ - 2)

Substituindo os valores:
s²_p = [(31-1)*12 + (28-1)*9] / (31 + 28 - 2)
s²_p = [30*12 + 27*9] / 57
s²_p = [360 + 243] / 57
s²_p = 603 / 57 ≈ 10,5789

Como o valor obtido (≈10,5789) é superior a 10,5, conclui-se que a afirmação está incorreta. Portanto, o gabarito E) ERRADO está correto.

O enunciado apresenta uma tabela de distribuição de frequências que relaciona o número de clientes em atraso (N) com os respectivos meses em atraso (X). A amostra total é composta por 80 clientes, e a questão propõe a análise de uma nova amostra aleatória simples, questionando se a média amostral da variável X seria igual à da primeira amostra.

Para resolver essa questão, é fundamental compreender o conceito de média amostral e sua relação com amostras aleatórias simples. A média amostral é uma medida estatística que representa o valor central de um conjunto de dados e é calculada como a soma dos valores observados dividida pelo número de observações. No entanto, em uma amostra aleatória simples, os valores observados podem variar, mesmo que a população subjacente permaneça a mesma.

No caso apresentado, a primeira amostra possui uma média específica para a variável X, calculada com base nos dados fornecidos. Se uma nova amostra aleatória simples for selecionada, é possível que a composição de clientes em atraso e seus respectivos meses de atraso seja diferente, o que resultaria em uma média amostral distinta. Portanto, não há garantia de que a média da nova amostra será igual à da primeira, pois a aleatoriedade da seleção pode levar a variações nos dados coletados.

Assim, a afirmação de que a média amostral da nova amostra será igual à da primeira é incorreta, pois desconsidera a variabilidade inerente ao processo de amostragem aleatória. O gabarito correto, portanto, é E) ERRADO.

O enunciado apresenta uma tabela de distribuição de frequências que relaciona o número de clientes em atraso (N) com os respectivos meses em atraso (X). A análise desses dados permite avaliar a assimetria da variável X, que representa os meses em atraso no pagamento de financiamentos.

Para determinar se a distribuição é assimétrica à direita, é necessário observar a concentração dos dados. Na tabela fornecida, temos:

• 45 clientes com 0 meses em atraso (X = 0)
• 20 clientes com 1 mês em atraso (X = 1)
• 10 clientes com 2 meses em atraso (X = 2)
• 3 clientes com 3 meses em atraso (X = 3)
• 2 clientes com 4 meses em atraso (X = 4)

Observa-se que a maioria dos clientes (45) não apresenta atraso (X = 0), enquanto o número de clientes diminui progressivamente conforme aumenta o número de meses em atraso. Essa característica - com a cauda da distribuição se estendendo para a direita (valores maiores de X) - é típica de uma distribuição assimétrica à direita.

Portanto, a afirmação de que "a variável X apresenta assimetria à direita" está correta, conforme indicado pelo gabarito (C) CERTO.

O problema apresenta uma tabela de distribuição de frequências relacionada ao atraso no pagamento de financiamentos por parte de clientes de uma empresa. Os dados fornecidos são:

Clientes em atraso (N): 45, 20, 10, 3, 2

Meses em atraso (X): 0, 1, 2, 3, 4

O total de clientes na amostra é 80, e o atraso é considerado quando X > 0. O item a ser julgado afirma: "A média de X é superior a 1 mês."

Para verificar essa afirmação, calculamos a média de X utilizando a fórmula da média ponderada:

Média = (Σ (X * N)) / (Σ N)

Substituindo os valores:

Média = [(0*45) + (1*20) + (2*10) + (3*3) + (4*2)] / 80

Média = [0 + 20 + 20 + 9 + 8] / 80

Média = 57 / 80

Média ≈ 0,7125

Como 0,7125 é menor que 1, concluímos que a afirmação "A média de X é superior a 1 mês" está incorreta.

Portanto, o gabarito correto é:

• E) ERRADO

O enunciado apresenta uma tabela de distribuição de frequências relacionada ao atraso no pagamento de financiamentos por parte de clientes de uma empresa. A variável X representa os meses em atraso, enquanto N indica a quantidade de clientes em cada faixa de atraso. Com base nessas informações, é solicitado que se avalie se a distribuição exponencial é um modelo adequado para descrever a variável X.

A distribuição exponencial é comumente utilizada para modelar fenômenos que envolvem tempo entre eventos em um processo de Poisson, como o tempo entre falhas em um sistema ou o tempo entre chegadas em uma fila. No entanto, essa distribuição é contínua e possui uma cauda longa à direita, sendo caracterizada por uma taxa de decaimento constante.

No contexto apresentado, a variável X representa meses em atraso, que é uma variável discreta, pois assume apenas valores inteiros (0, 1, 2, 3, 4). Além disso, a natureza dos dados – que descreve a quantidade de clientes em diferentes faixas de atraso – não sugere um decaimento exponencial típico. Portanto, a distribuição exponencial não seria a escolha mais adequada para modelar essa variável.

Alternativas mais apropriadas para descrever X seriam distribuições discretas, como a distribuição de Poisson (se os eventos fossem raros e independentes) ou mesmo uma distribuição empírica baseada diretamente nos dados observados. Dessa forma, a afirmação de que a distribuição exponencial descreve adequadamente a variável X está incorreta.

Resposta: E) ERRADO.

O diagrama de dispersão é uma ferramenta gráfica utilizada para representar a relação entre duas variáveis quantitativas, mostrando como uma variável pode influenciar a outra. No entanto, no contexto apresentado, a tabela de distribuição de frequências exibe dados categóricos (meses em atraso) e suas respectivas contagens (número de clientes). Essa estrutura não se adequa ao propósito do diagrama de dispersão, que requer pares ordenados de valores contínuos para análise de correlação ou tendência.

No caso em questão, a representação mais adequada seria um gráfico de barras ou um histograma, que permitem visualizar a frequência de ocorrência de cada categoria da variável X (meses em atraso). O diagrama de dispersão, por sua vez, não seria capaz de transmitir essa informação de forma clara, pois não há uma variável dependente para correlacionar com os meses em atraso.

Portanto, a afirmação de que o diagrama de dispersão permite representar corretamente a distribuição de frequências da variável X está errada, conforme indicado pelo gabarito (E). A escolha do tipo de gráfico deve sempre considerar a natureza dos dados e o objetivo da análise, garantindo que a visualização seja precisa e informativa.

O texto apresenta uma tabela de distribuição de frequências que relaciona o número de clientes em atraso (N) com os respectivos meses em atraso (X). Conforme os dados, temos:

• 45 clientes com 0 meses em atraso (X = 0)
• 20 clientes com 1 mês em atraso (X = 1)
• 10 clientes com 2 meses em atraso (X = 2)
• 3 clientes com 3 meses em atraso (X = 3)
• 2 clientes com 4 meses em atraso (X = 4)

O total de clientes na amostra é de 80. A questão pede para avaliar se o percentual de clientes com atrasos iguais ou superiores a 3 meses é inferior a 10%.

Para resolver, somamos os clientes com X ≥ 3:

3 (X = 3) + 2 (X = 4) = 5 clientes.

Calculando o percentual em relação ao total:

(5 / 80) × 100 = 6,25%.

Como 6,25% é inferior a 10%, a afirmação está correta.

Portanto, o gabarito C) CERTO é o correto.

O enunciado apresenta uma tabela de distribuição de frequências relacionando o número de clientes em atraso (N) e os respectivos meses em atraso (X). A questão afirma que a variável X representa uma variável qualitativa em escala ordinal, e solicita que se julgue se essa afirmação está correta ou incorreta.

Uma variável qualitativa é aquela que descreve características ou categorias que não podem ser medidas numericamente, como gênero ou cor. Já uma variável quantitativa é aquela que pode ser expressa numericamente, permitindo operações matemáticas. No caso apresentado, a variável X representa os meses em atraso, que são valores numéricos (0, 1, 2, 3, 4), indicando uma contagem de tempo. Portanto, X é uma variável quantitativa discreta, pois assume valores inteiros e específicos.

Além disso, a escala ordinal é utilizada para variáveis qualitativas que possuem uma ordem ou hierarquia, como classificações de "ruim", "regular" e "bom". Como X é uma variável quantitativa, não faz sentido classificá-la em uma escala ordinal. Dessa forma, a afirmação de que X é uma variável qualitativa em escala ordinal está incorreta.

Conclui-se que o gabarito E) ERRADO está correto, pois a variável X é quantitativa e não qualitativa em escala ordinal.

O problema apresentado envolve o cálculo de intervalos de confiança para uma distribuição normal, considerando diferentes tamanhos de amostra. A variável aleatória X possui uma distribuição normal com variância conhecida (σ² = 2,25) e uma população de tamanho infinito. Inicialmente, uma amostra de tamanho n = 144 apresentou uma média amostral de 20 e um intervalo de confiança com amplitude 0,55, para um nível de confiança (1-α).

Para resolver o problema, é necessário entender como a amplitude do intervalo de confiança é afetada pelo tamanho da amostra. A amplitude (A) de um intervalo de confiança para a média populacional, com variância conhecida, é dada por:

A = 2 * z * (σ / √n)

Onde:

• z é o valor crítico da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (1-α).
• σ é o desvio padrão populacional (σ = √2,25 = 1,5).
• n é o tamanho da amostra.

No primeiro cenário (n = 144), a amplitude é 0,55. Podemos usar essa informação para encontrar o valor crítico z:

0,55 = 2 * z * (1,5 / √144)

0,55 = 2 * z * (1,5 / 12)

0,55 = z * 0,25

z = 0,55 / 0,25 = 2,2

Esse valor de z corresponde ao nível de confiança (1-α). Agora, para o segundo cenário (n = 100), mantendo o mesmo nível de confiança, a amplitude do intervalo será:

A = 2 * 2,2 * (1,5 / √100)

A = 4,4 * (1,5 / 10)

A = 4,4 * 0,15 = 0,66

Portanto, o intervalo de confiança para a média amostral de 20, com amplitude 0,66, será:

Limite inferior = 20 - (0,66 / 2) = 20 - 0,33 = 19,67

Limite superior = 20 + (0,66 / 2) = 20 + 0,33 = 20,33

Comparando com as alternativas, a opção que mais se aproxima desse intervalo é a alternativa D) [19,670 ; 20,330]. Pequenas diferenças podem ocorrer devido a arredondamentos, mas o gabarito correto é de fato a letra D.

O problema apresentado envolve a seleção de uma amostra de caminhões para inspeção de poluentes, onde a variável aleatória X representa o número de caminhões com excesso de poluentes na amostra. Sabendo que a média de X é 2,4 e que o total de caminhões é 30 (sendo 6 poluentes), devemos determinar o tamanho da amostra n.

Este é um caso de distribuição hipergeométrica, em que a média (valor esperado) de X é dada por:

E(X) = n * (K / N)

Onde:

• N = 30 (total de caminhões)
• K = 6 (caminhões poluentes)
• E(X) = 2,4 (média dada)

Substituindo os valores na fórmula:

2,4 = n * (6 / 30)

2,4 = n * 0,2

n = 2,4 / 0,2

n = 12

Portanto, o valor correto de n é 12, correspondente à alternativa D).