Questões Sobre Amostragem - Estatística - concurso

Análise sobre a inferência estatística em estudos amostrais

O texto apresentado aborda um cenário comum em pesquisas estatísticas, no qual um pesquisador observa uma diferença entre médias de grupos amostrais e extrapola essa relação para a população sem considerar aspectos fundamentais da inferência estatística. A afirmação de que o pesquisador não seguiu os princípios essenciais para elaboração de inferências está correta, conforme indicado pelo gabarito (C).

A inferência estatística requer mais do que uma simples comparação descritiva de médias amostrais. Para que conclusões sobre a população sejam válidas, é necessário avaliar:

• O tamanho da amostra em cada grupo, que afeta a precisão das estimativas
• A variabilidade das medidas dentro de cada grupo
• A representatividade da amostra em relação à população
• A significância estatística da diferença observada

O pesquisador do caso em questão cometeu o erro de inferir uma relação populacional baseada apenas na comparação superficial de médias amostrais, sem realizar testes estatísticos adequados ou considerar outros fatores relevantes. Essa abordagem pode levar a conclusões equivocadas, pois diferenças aparentes em amostras podem não ser estatisticamente significativas ou podem resultar de variações aleatórias.

Portanto, a afirmação está correta ao destacar que a simples avaliação descritiva de diferenças entre médias de grupos não constitui uma inferência estatística válida sobre o comportamento populacional, sendo necessário considerar múltiplos aspectos metodológicos para conclusões confiáveis.

O problema apresentado envolve a determinação do valor do parâmetro ( K ) para que o estimador ( E = frac{X}{2} + frac{Y}{3} + KZ ) seja não viesado para a média ( mu ) de uma população normal. Para resolver essa questão, é necessário compreender as propriedades dos estimadores não viesados e aplicar conceitos de esperança matemática.

Um estimador é considerado não viesado quando sua esperança é igual ao parâmetro que ele pretende estimar. Neste caso, queremos que ( E[E] = mu ). Como ( X, Y ) e ( Z ) são amostras aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) de uma população normal com média ( mu ), temos que ( E[X] = E[Y] = E[Z] = mu ).

Aplicando a linearidade da esperança, podemos calcular:

[ E[E] = Eleft[frac{X}{2} + frac{Y}{3} + KZright] = frac{E[X]}{2} + frac{E[Y]}{3} + K cdot E[Z] = frac{mu}{2} + frac{mu}{3} + Kmu. ]

Para que ( E[E] = mu ), devemos ter:

[ frac{mu}{2} + frac{mu}{3} + Kmu = mu. ]

Simplificando a equação, dividindo ambos os lados por ( mu ) (já que ( mu neq 0 )):

[ frac{1}{2} + frac{1}{3} + K = 1. ]

Resolvendo as frações:

[ frac{3}{6} + frac{2}{6} + K = 1 implies frac{5}{6} + K = 1. ]

Isolando ( K ):

[ K = 1 - frac{5}{6} = frac{1}{6} approx 0,1667. ]

O valor de ( K ) encontrado é aproximadamente ( 0,1667 ), o que se enquadra no intervalo ( 0,10 < K le 0,20 ). Portanto, a alternativa correta é a B).

Esse resultado demonstra a importância de verificar as propriedades dos estimadores, como o não viés, para garantir a qualidade das inferências estatísticas. Além disso, reforça a aplicação prática de conceitos teóricos em problemas de estimação.

Uma amostra aleatória simples de tamanho n é extraída de uma população de tamanho N, onde se sabe que N = 10n. A variância populacional é denotada por σ². Nesse contexto, a variância da média amostral é um conceito fundamental em estatística, especialmente quando se trabalha com inferências sobre a população a partir dos dados amostrais.

Quando a população é finita e o tamanho da amostra não é desprezível em relação ao tamanho da população, é necessário aplicar um fator de correção para populações finitas (FCP) no cálculo da variância da média amostral. A fórmula correta para a variância da média amostral (Var(Ȳ)) é dada por:

Var(Ȳ) = (σ²/n) * [(N - n)/(N - 1)]

Substituindo N = 10n na fórmula, temos:

Var(Ȳ) = (σ²/n) * [(10n - n)/(10n - 1)] = (σ²/n) * (9n)/(10n - 1)

Simplificando a expressão, obtemos:

Var(Ȳ) = σ² * (9)/(10n - 1)

Portanto, a alternativa correta é a B), que corresponde à expressão derivada acima. É importante ressaltar que o fator de correção para populações finitas se torna irrelevante quando a amostra é muito pequena em relação à população, mas, neste caso, como n representa 10% de N, sua inclusão é necessária para um cálculo preciso da variância.

Instruções: Para resolver às questões de números 38 a 40, considere as informações a seguir:

Se Z tem distribuição normal padrão, então:

• P(Z < 0,84) = 0,80
• P(Z < 1,5) = 0,933
• P(Z < 1,96) = 0,975
• P(Z < 2,5) = 0,994

Testes realizados pela indústria Cookwell indicam que seu forno de microondas tem probabilidade 0,1 de apresentar a 1^a falha antes de 1000 horas de uso. Um novo método de produção está sendo implantado, e os técnicos garantem que a probabilidade acima deve diminuir. Com o objetivo de verificar esta afirmação, tomou-se uma amostra de 144 aparelhos, e os resultados indicaram 9 com a 1^a falha antes de 1000 horas de uso. O valor do nível descritivo do teste, calculado através da proporção amostral, supondo que a mesma tem distribuição aproximadamente normal e não considerando qualquer correção de continuidade, é:

• A) 0,6%
• B) 1%
• C) 2,5%
• D) 6%
• E) 6,7%

O gabarito correto é E).

Julgue o item subsecutivo, relativo a planejamento e organização de pesquisas.

As diferenças entre população-alvo e população acessível devem ser avaliadas no processo de amostragem e na consequente inferência.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C).

Acerca da inferência estatística, o item em questão aborda o cálculo do tamanho mínimo de uma amostra para garantir um erro máximo de estimação da média populacional, considerando um nível de confiança de 95%. A análise desse problema envolve conceitos fundamentais da estatística, como variância populacional, distribuição normal e margem de erro.

O enunciado fornece os seguintes dados:

• Erro máximo de estimação (E): 10 unidades
• Variância populacional (σ²): 150
• Percentil z da distribuição normal padrão para 95% de confiança: z = 2

Para determinar o tamanho mínimo da amostra (n), utiliza-se a fórmula:

n = (z² * σ²) / E²

Substituindo os valores fornecidos:

n = (2² * 150) / 10² = (4 * 150) / 100 = 600 / 100 = 6

O resultado indica que o tamanho mínimo da amostra deve ser 6 observações para atender às condições estabelecidas. Portanto, a afirmação de que o tamanho mínimo deverá ser superior a 10 observações está incorreta.

Conclui-se que o gabarito correto é E) ERRADO, pois o cálculo demonstra que a amostra necessária é menor do que 10 observações.

Acerca da inferência estatística e da construção de intervalos de confiança para a proporção p, é importante analisar as afirmações apresentadas no enunciado. O texto aborda dois métodos para a construção desse intervalo: o conservativo e o não conservativo, destacando suas diferenças em relação à amplitude do intervalo de confiança.

O intervalo de confiança para a proporção p, baseado em uma amostra aleatória simples de uma distribuição de Bernoulli, pode ser aproximado pela distribuição normal, conforme o Teorema Central do Limite. No entanto, como a média e a variância da distribuição de Bernoulli dependem do parâmetro p, é necessário escolher entre duas abordagens para estimar a variância populacional:

1. Método conservativo: utiliza o valor máximo possível para a variância, que ocorre quando p = 0,5. Isso garante que o intervalo seja mais amplo, evitando subestimar a incerteza.
2. Método não conservativo: emprega a estimativa de máxima verossimilhança para p, calculada a partir da proporção amostral. Nesse caso, a amplitude do intervalo varia conforme o valor estimado de p.

O enunciado afirma que, no método conservativo, a amplitude do intervalo será menor que a do não conservativo apenas se o verdadeiro valor de p for inferior a 1/4 ou superior a 3/4. Essa afirmação está incorreta, pois o método conservativo sempre produz um intervalo de maior ou igual amplitude em comparação ao não conservativo, independentemente do valor de p. Isso ocorre porque a variância máxima (em p = 0,5) é usada no cálculo, resultando em uma margem de erro maior ou igual em qualquer situação.

Portanto, a afirmação apresentada está errada, e o gabarito correto é E) ERRADO.

Acerca de inferência estatística, o item em questão aborda a suficiência de uma estatística para a estimação do parâmetro λ^–1 em uma distribuição exponencial. A análise correta do problema leva à conclusão de que a estatística T(x) = ∑X₁ é, de fato, suficiente para estimar λ^–1.

Para compreender essa afirmação, é fundamental recorrer ao critério da fatoração de Fisher-Neyman, que estabelece as condições para que uma estatística seja considerada suficiente. Segundo esse critério, uma estatística T(X) é suficiente para um parâmetro θ se a função de verossimilhança da amostra puder ser fatorada em duas partes: uma que depende apenas dos dados através de T(X) e outra que depende apenas dos dados, mas não de θ.

No caso da distribuição exponencial com média λ^–1, a função de densidade de probabilidade é dada por:

f(x|λ) = λe^–λx, para x ≥ 0.

A função de verossimilhança para uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n é:

L(λ|x) = ∏_i=1ⁿ λe^–λx_i = λⁿ e^–λ∑x_i.

Observa-se que essa verossimilhança pode ser expressa como:

L(λ|x) = λⁿ e^–λT(x),

onde T(x) = ∑x_i. Pelo critério da fatoração, como a verossimilhança depende dos dados apenas através de T(x), conclui-se que T(x) é uma estatística suficiente para λ. Além disso, como λ e λ^–1 estão diretamente relacionados, a suficiência se estende à estimação de λ^–1.

Portanto, o item está CERTO (C), conforme indicado no gabarito.

Julgue o item subsequente, relativo à família exponencial de distribuições.

Se x₁, x₂, ..., x_n for uma amostra aleatória simples retirada de uma distribuição geométrica de parâmetro p, então ∑x_i será uma estatística suficiente para p.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C) CERTO.

Com relação aos procedimentos de Amostragem Aleatória Simples (AAS), Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) e Amostragem Aleatória por Conglomerados (AAC), NÃO é correto afirmar que:

• A) na AAS, a variância da média amostral é menor quando os elementos da amostra são selecionados com reposição do que quando os elementos da amostra são selecionados sem reposição.
• B) na AAS, a variância da média amostral depende do tamanho da população se os elementos da amostra são selecionados sem reposição.
• C) na AAE, as estimativas possuem menor variância quando a variabilidade da variável estudada dentro dos estratos formados é menor do que a variabilidade dessa variável entre esses estratos.
• D) na AAC, considerando um só estágio com conglomerados de tamanhos iguais e selecionados por AAS, a média aritmética simples das médias amostrais dos conglomerados é um estimador não viciado da média de uma variável quantitativa na população de interesse.

O gabarito correto é A).