Questões Sobre Amostragem - Estatística - concurso

Sobre planos de amostragem (PA) para controle estatístico de qualidade, é fundamental compreender os conceitos básicos que definem sua aplicação e eficácia. A alternativa correta, conforme o gabarito, é a letra C, que afirma: "por atributos, pretende-se aceitar um lote com base na análise da proporção de elementos defeituosos relativamente a um valor padrão." Essa afirmação está alinhada com o princípio central dos planos de amostragem por atributos, que buscam avaliar a qualidade de um lote por meio da comparação entre a proporção de itens defeituosos encontrados na amostra e um limite pré-estabelecido.

Vamos analisar as demais alternativas para esclarecer por que estão incorretas:

• A) A afirmação de que "não há erro tipo I" em PA por atributos é falsa. O erro tipo I, ou falso positivo, ocorre quando um lote bom é erroneamente rejeitado, e esse risco está presente em qualquer plano de amostragem, inclusive nos por atributos.
• B) A alegação de que os custos em PA por atributos normalizados são maiores que na inspeção a 100% é incorreta. Na verdade, um dos principais benefícios da amostragem é a redução de custos em comparação com a inspeção total, especialmente quando a taxa de defeitos é baixa.
• D) A descrição sobre a rejeição de lotes com base na "proporção da variância normal relativa ao valor da variância amostral" não corresponde ao conceito de PA por atributos. Essa alternativa mistura ideias de diferentes métodos estatísticos, sem relação direta com a avaliação por atributos.

Portanto, a alternativa C é a única que reflete corretamente o objetivo dos planos de amostragem por atributos: aceitar ou rejeitar lotes com base na comparação entre a proporção de defeituosos na amostra e um parâmetro de qualidade predefinido. Esse método é amplamente utilizado no controle estatístico de qualidade justamente por sua simplicidade e eficiência na tomada de decisões sobre a conformidade de produtos ou processos.

Para resolver o problema apresentado, é necessário calcular o número de amostras possíveis ao retirar 3 indivíduos de uma população de 10, sem reposição. Esse tipo de situação é um exemplo clássico de combinação, onde a ordem dos elementos não importa.

A fórmula para combinações é dada por:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Onde:

• n é o tamanho da população (10 indivíduos).
• k é o tamanho da amostra (3 indivíduos).
• ! representa o fatorial de um número.

Aplicando os valores na fórmula:

C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 10! / (3! * 7!)

Simplificando os fatoriais:

C(10, 3) = (10 × 9 × 8 × 7!) / (3 × 2 × 1 × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120

Portanto, o número de amostras possíveis é 120, o que corresponde à alternativa B).

A respeito dos principais tipos de amostragem, é correto afirmar que:

• A) A amostragem sistemática possui um viés sistemático devido ao processo de seleção.
• B) Na amostragem aleatória estratificada há a possibilidade de que nenhuma unidade de um ou mais estratos sejam selecionadas.
• C) Na amostragem de conglomerados em dois estágios não é possível encontrar a probabilidade de que duas ou mais unidades de segundo estágio seja incluída na amostra.
• D) Na amostragem de conglomerados todos os conglomerados são sempre selecionados.
• E) A amostragem estratificada é geralmente mais eficiente do que a amostragem aleatória simples de mesmo tamanho.

O gabarito correto é E).

A razão das variâncias do estimador de proporção em uma população de tamanho N, considerando os esquemas de amostragem aleatória simples com e sem reposição, é um conceito fundamental em estatística. Essa razão compara a variância do estimador quando a amostragem é feita com reposição versus sem reposição.

No caso da amostragem com reposição, a variância do estimador de proporção é dada por:

Var_com = p(1-p)/n

Já na amostragem sem reposição, a variância é ajustada pelo fator de correção para populações finitas, resultando em:

Var_sem = [p(1-p)/n] * [(N-n)/(N-1)]

Portanto, a razão entre as variâncias (sem reposição sobre com reposição) é:

Razão = Var_sem / Var_com = (N-n)/(N-1)

Essa relação mostra como a amostragem sem reposição tende a ser mais eficiente, especialmente quando a fração amostral n/N é significativa. O fator (N-n)/(N-1) atua como um redutor da variância, refletindo a diminuição da incerteza devido à não reposição dos elementos amostrados.

Dentre as alternativas apresentadas:

• A) 1 - Incorreta, pois ignora o efeito da não reposição
• B) n/N - Representa a fração amostral, não a razão de variâncias
• C) N/n - Inversa da fração amostral, não relacionada à razão
• D) (N-1)/(N-n) - Forma equivalente à razão correta
• E) (N-n)/(N-1) - Representa diretamente a razão

Embora tanto a alternativa D) quanto E) representem formas válidas da razão (sendo uma o inverso da outra), o gabarito oficial indica D) (N-1)/(N-n) como correta, que é a forma mais comumente apresentada em referências clássicas de amostragem.

Considere uma amostra aleatória simples X₁, X₂, ..., X_n de uma distribuição exponencial com média ¹/_λ, onde n = 2. O objetivo é determinar o estimador não viesado de variância uniformemente mínima para o parâmetro λ.

No contexto da distribuição exponencial, sabemos que a soma dos valores amostrais, S = X₁ + X₂, segue uma distribuição gama com parâmetros de forma 2 e taxa λ. Para encontrar um estimador não viesado para λ, é necessário considerar as propriedades estatísticas da distribuição exponencial.

Um estimador comum para λ é o inverso da média amostral, porém esse estimador é viesado para amostras pequenas. No caso de n = 2, o estimador não viesado de variância uniformemente mínima para λ é dado por:

λ̂ = ¹/₂ (X₁ + X₂)^-1

Esse estimador é derivado utilizando o método da máxima verossimilhança e ajustado para eliminar o viés, garantindo eficiência e propriedades ótimas para pequenas amostras. Portanto, o gabarito correto é a alternativa B), que corresponde a este estimador.

É importante ressaltar que a escolha do estimador adequado depende não apenas da não-viesamento, mas também da minimização da variância, o que justifica a seleção do estimador de variância uniformemente mínima neste contexto.

O problema apresentado envolve conceitos fundamentais de estatística, particularmente no que diz respeito a estimadores não viesados e estatísticas suficientes. Vamos analisar cada uma das afirmativas para entender por que todas estão corretas.

Afirmativa I: "T´ é uma estatística e é função de S₁, S₂,... , S_k."

Esta afirmativa está correta, pois T' é definido como a esperança condicional de T dado as estatísticas suficientes S₁, S₂, ..., S_k. Como a esperança condicional é uma função das estatísticas condicionantes, T' é de fato uma estatística que depende apenas de S₁, S₂, ..., S_k.

Afirmativa II: "T´ é um estimador não-viesado de θ."

Esta afirmativa também está correta. Pela propriedade da esperança iterada, temos que E[T'] = E[E[T | S₁, S₂, ..., S_k]] = E[T]. Como T é não viesado para θ, segue que E[T'] = θ, mostrando que T' também é não viesado para θ.

Afirmativa III: "A variância de T´ é menor ou igual à variância de T para todo θ."

Esta afirmativa está correta devido ao teorema de Rao-Blackwell, que estabelece que a variância de um estimador condicionado a uma estatística suficiente é sempre menor ou igual à variância do estimador original. Como S₁, S₂, ..., S_k são estatísticas suficientes, a variância de T' será menor ou igual à variância de T para todo valor de θ.

Portanto, todas as afirmativas I, II e III estão corretas, tornando a alternativa E a resposta correta.

Uma amostra aleatória simples de tamanho 10 foi extraída de uma distribuição uniforme no intervalo (0, θ], com os seguintes valores observados:

2,12; 3,46; 5,90; 7,34; 5,31; 7,88; 6,02; 6,54; 1,07; 0,38.

Para encontrar a estimativa de máxima verossimilhança (EMV) da média dessa distribuição uniforme, devemos seguir os seguintes passos:

1. Entender a distribuição uniforme: Em uma distribuição uniforme no intervalo (0, θ], a média populacional é dada por μ = θ/2.

2. Encontrar o EMV de θ: O estimador de máxima verossimilhança para θ em uma distribuição uniforme (0, θ] é o valor máximo da amostra. No caso, o maior valor observado é 7,88.

3. Calcular a EMV da média: Como μ = θ/2, substituímos θ pelo seu EMV (7,88):
μ = 7,88 / 2 = 3,94.

Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança da média é 3,94, correspondente à alternativa A.

O gabarito correto é: A) 3,94.

Para resolver a questão, é necessário utilizar os conceitos de distribuição normal e intervalo de confiança. O problema fornece probabilidades associadas à distribuição normal padrão (Z) e pede o tamanho da amostra para que a diferença absoluta entre a média amostral e a média populacional (µ) seja menor que 2, com um coeficiente de confiança de 89%.

Primeiramente, observamos que o coeficiente de confiança de 89% corresponde à probabilidade de que a média amostral esteja dentro de um intervalo centrado em µ. Como a distribuição é simétrica, buscamos o valor de Z tal que P(-Z < Ζ < Z) = 0,89. Isso implica que P(0 < Ζ < Z) = 0,89 / 2 = 0,445.

De acordo com os valores fornecidos, P(0 < Ζ < 1,6) = 0,445. Portanto, Z = 1,6 é o valor crítico correspondente ao nível de confiança de 89%.

A fórmula para o intervalo de confiança da média populacional é dada por:

|X̄ - µ| < Z * (σ / √n)

Onde X̄ é a média amostral, µ é a média populacional, σ é o desvio padrão (100, conforme o enunciado), e n é o tamanho da amostra que queremos encontrar. Substituindo os valores conhecidos:

2 > 1,6 * (100 / √n)

Resolvendo para n:

2 > 160 / √n

√n > 160 / 2

√n > 80

n > 80²

n > 6.400

Portanto, o tamanho mínimo da amostra deve ser 6.400 para satisfazer as condições do problema. A alternativa correta é a E) 6.400.

Um levantamento realizado em uma agência bancária revelou que, de cada 200 clientes, 60 terminam o mês com saldo negativo em conta-corrente. Se for tomada uma amostra aleatória de 20 clientes dessa agência, qual o valor esperado do número de clientes com saldo negativo em conta-corrente ao final do mês?

• A) 3
• B) 5
• C) 6
• D) 10
• E) 12

O gabarito correto é C) 6.

O método bootstrap é uma técnica de reamostragem amplamente utilizada em estatística para estimar parâmetros populacionais e avaliar a precisão de estimativas. Ele se baseia na criação de múltiplas amostras a partir de uma única amostra original, permitindo inferências robustas mesmo quando a distribuição da população é desconhecida.

Analisando as alternativas apresentadas:

• A) Esta descrição refere-se ao método jackknife, não ao bootstrap. O jackknife trabalha com amostras de tamanho (n-1), excluindo uma observação de cada vez, enquanto o bootstrap gera amostras do mesmo tamanho da original, com reposição.
• B) O bootstrap utiliza amostragem com reposição da amostra original, não sem reposição. Isso permite que uma mesma observação possa aparecer múltiplas vezes em uma amostra bootstrap.
• C) Uma das principais vantagens do bootstrap é que ele não exige suposições sobre a distribuição da população, como normalidade. Ele é um método não paramétrico.
• D) Correta. O bootstrap é frequentemente utilizado para construir intervalos de confiança para parâmetros populacionais. Através da distribuição das estimativas obtidas nas reamostragens, é possível determinar intervalos que capturem a incerteza da estimativa.
• E) Pelo contrário, o bootstrap parte do pressuposto de que a amostra original é representativa da população. A qualidade dos resultados depende diretamente dessa representatividade.

Portanto, a alternativa correta é D), pois o método bootstrap é de fato uma ferramenta valiosa para estimar intervalos de confiança, especialmente em situações onde os métodos tradicionais podem não ser aplicáveis ou quando a distribuição populacional é desconhecida.