Questões Sobre Amostragem - Estatística - concurso

A questão apresenta um problema de cálculo relacionado à quantidade de lixo que é destinada ao aterro sanitário de uma cidade, com base em dados populacionais, geração per capita de resíduos e eficiência do sistema de coleta. Para resolver, é necessário seguir uma sequência lógica de cálculos.

Primeiramente, calcula-se a geração total de lixo por dia na cidade. Com uma população de 10.000 habitantes e uma geração per capita de 0,76 kg/hab.dia, temos:

Geração total de lixo = População × Geração per capita
Geração total = 10.000 hab × 0,76 kg/hab.dia = 7.600 kg/dia

No entanto, o sistema de coleta atende apenas 82% da população, o que significa que apenas 82% do lixo gerado é coletado. Portanto, a quantidade coletada diariamente é:

Lixo coletado = Geração total × Nível de atendimento
Lixo coletado = 7.600 kg/dia × 0,82 = 6.232 kg/dia

O problema também menciona uma "compressividade de ¼", que pode ser interpretada como uma redução no volume do lixo devido à compactação no aterro. Contudo, como a pergunta solicita a quantidade de lixo que vai para o aterro (em massa, não em volume), e a alternativa correta corresponde ao valor do lixo coletado (6.232 kg/dia), conclui-se que a compressividade não altera a massa, apenas o volume. Portanto, a resposta correta é:

Resposta: C) 6.232

O problema apresentado envolve o cálculo do erro padrão da distribuição amostral da média, considerando uma população com distribuição normal. Para resolver essa questão, é necessário compreender os conceitos básicos de estatística, especialmente aqueles relacionados à distribuição amostral.

Dados do problema:

• Média populacional (μ) = 500
• Variância populacional (σ²) = 900
• Tamanho da amostra (n) = 16

O erro padrão da distribuição amostral da média (também chamado de desvio padrão da distribuição amostral) é calculado pela fórmula:

Erro Padrão = σ / √n

Onde:

• σ = desvio padrão populacional (raiz quadrada da variância)
• n = tamanho da amostra

Calculando passo a passo:

1. Primeiro, encontramos o desvio padrão populacional:
   σ = √σ² = √900 = 30
2. Em seguida, calculamos o erro padrão:
   Erro Padrão = 30 / √16 = 30 / 4 = 7,5

Portanto, o erro padrão da distribuição amostral da média é 7,5, o que corresponde à alternativa D) no conjunto de opções apresentadas.

É importante destacar que o erro padrão diminui à medida que o tamanho da amostra aumenta, pois há uma relação inversamente proporcional entre essas duas grandezas. Esse conceito é fundamental para compreender como a precisão das estimativas amostrais melhora com amostras maiores.

O texto apresenta uma análise sobre uma variável aleatória com distribuição Normal, destacando três afirmativas relacionadas a intervalos de confiança e propriedades da média amostral. A seguir, é feita uma avaliação de cada uma delas para identificar quais estão corretas.

Afirmativa I: "O intervalo de confiança de 90% para a média populacional independe do tamanho da amostra." Esta afirmação está incorreta, pois o intervalo de confiança depende diretamente do tamanho da amostra (n). Quanto maior o n, menor será a margem de erro e, consequentemente, mais estreito será o intervalo de confiança.

Afirmativa II: "Em um intervalo de confiança de 99% para a média populacional, espera-se que, extraindo todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo contenha µ 99% das vezes." Esta afirmação está correta, pois reflete a definição clássica de intervalo de confiança. Um IC de 99% indica que, se repetíssemos o processo de amostragem infinitas vezes, 99% dos intervalos gerados conteriam o verdadeiro valor da média populacional (µ).

Afirmativa III: "A média amostral é uma variável aleatória com distribuição Normal com média µ e variância s²/n." Esta afirmação também está correta, pois, de acordo com o Teorema Central do Limite, a média amostral de uma população com distribuição Normal (ou para amostras suficientemente grandes) segue uma distribuição Normal com média igual à média populacional (µ) e variância igual à variância populacional (s²) dividida pelo tamanho da amostra (n).

Portanto, apenas as afirmativas II e III estão corretas, o que corresponde à alternativa E).

O estudo da distribuição da média amostral é um dos pilares da estatística inferencial, especialmente quando lidamos com populações infinitas e amostras aleatórias simples. O Teorema Central do Limite (TCL) desempenha um papel fundamental nesse contexto, mas é importante entender suas implicações e limitações.

Quando extraímos amostras de tamanho n de uma população com distribuição qualquer (não necessariamente normal), a distribuição das médias amostrais apresenta características específicas. A alternativa correta, neste caso, é a C), que afirma que a média amostral tem a mesma média da população, mas com variância reduzida por um fator de 1/n em relação à variância populacional.

Esta propriedade é válida independentemente da distribuição original da população (desde que a variância populacional seja finita). A média das médias amostrais será igual à média populacional (μ), enquanto a variância das médias amostrais será σ²/n, onde σ² é a variância populacional. Isso demonstra como o aumento do tamanho da amostra (n) leva a uma maior precisão nas estimativas.

Vale ressaltar que o TCL garante que, para n suficientemente grande, a distribuição das médias amostrais tenderá à normalidade, mesmo que a população original não seja normal. Porém, a alternativa C é correta porque descreve uma propriedade que vale para qualquer tamanho de amostra, não dependendo da aproximação normal.

As outras alternativas apresentam equívocos: A) e D) incorrem no erro de presumir normalidade em qualquer caso; B) erra ao afirmar que a variância permanece igual; e E) comete o erro inverso, sugerindo que a variância aumenta com o tamanho da amostra, quando na verdade diminui.

O problema apresentado envolve a seleção aleatória de três presidiários em um grupo de 500, sendo 150 réus primários e 350 reincidentes. O item afirma que o número esperado de réus primários na amostra é superior a 1, e solicita que se julgue se essa afirmação está correta ou incorreta.

Para resolver essa questão, é necessário calcular a probabilidade esperada de selecionar réus primários em uma amostra de três indivíduos, sem reposição. Como a seleção é aleatória e sem reposição, podemos tratar o problema utilizando a distribuição hipergeométrica ou, de forma aproximada, considerar a proporção de réus primários na população total.

A proporção de réus primários no presídio é de 150/500 = 0,3 (30%). Como a amostra é pequena em relação à população (3 em 500), podemos aproximar o valor esperado multiplicando o tamanho da amostra pela proporção de réus primários:

Valor esperado = 3 × 0,3 = 0,9.

O resultado obtido é 0,9, que é inferior a 1. Portanto, a afirmação de que o número esperado de réus primários na amostra é superior a 1 está incorreta.

Assim, o gabarito correto é E) ERRADO, pois o valor esperado de réus primários na amostra de três presidiários é 0,9, que não ultrapassa 1.

O conceito de curtose refere-se à medida que avalia o grau de achatamento de uma distribuição de dados em relação à distribuição normal. Ela é calculada com base no quarto momento central, que considera os desvios dos dados em relação à média elevados à quarta potência. No contexto da amostra apresentada, que contém os salários de 20 trabalhadores da construção civil, a afirmação de que a curtose é definida em função do quarto momento central está correta.

Para entender melhor, a fórmula da curtose (K) é dada por:

K = (μ₄ / σ⁴) - 3

onde μ₄ é o quarto momento central e σ é o desvio padrão. O termo "-3" é utilizado para que a curtose da distribuição normal seja igual a zero, facilitando comparações.

Portanto, a afirmação apresentada no item está correta, pois a curtose de fato depende do quarto momento central para determinar o achatamento da distribuição. O gabarito C) CERTO é o correto.

O coeficiente de assimetria, também conhecido como skewness, é uma medida estatística que avalia a assimetria da distribuição de dados em relação à sua média. No contexto da amostra fornecida, com os valores de remuneração mensal dos trabalhadores da construção civil, podemos analisar se a distribuição é simétrica, assimétrica à direita (positiva) ou assimétrica à esquerda (negativa).

Os dados apresentados são: 1, 3, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1. Observa-se que há uma concentração de valores baixos (especialmente 1 e 2), com poucas ocorrências de valores mais altos (3 e 4). Essa característica sugere uma cauda mais alongada à direita, indicando uma assimetria positiva.

Para confirmar, calculamos o coeficiente de assimetria utilizando a fórmula apropriada. Como a média desses dados é menor que a mediana (que, por sua vez, é menor que a moda, seguindo a relação de assimetria positiva), o resultado do coeficiente será maior que zero. Portanto, a afirmação de que "o coeficiente de assimetria é igual ou superior a zero" está correta.

Conclui-se que o gabarito C) CERTO é o correto, pois a distribuição dos dados apresenta assimetria positiva, com o coeficiente de assimetria efetivamente maior que zero.

O objetivo principal da análise de conglomerados, também conhecida como cluster analysis, é de fato organizar as observações em grupos de modo que haja máxima homogeneidade dentro de cada grupo e máxima heterogeneidade entre os grupos distintos. Esse método é amplamente utilizado em estudos que envolvem múltiplas variáveis, como no caso da criação de um ranking de universidades brasileiras com base nos critérios mencionados (X1 a X5).

A afirmação apresentada está correta, pois a análise de conglomerados busca agrupar elementos semelhantes, garantindo que as diferenças internas ao grupo sejam mínimas, enquanto as diferenças entre os grupos sejam máximas. Dessa forma, o pesquisador pode identificar padrões e categorizar as universidades de acordo com suas características comuns, facilitando a comparação e a elaboração do ranking.

Portanto, a alternativa C) CERTO é a correta, conforme indicado no gabarito.

Para construir um ranking das universidades brasileiras, um pesquisador utiliza cinco variáveis principais: X1 (número de professores doutores), X2 (quantidade de pesquisas publicadas em periódicos nacionais), X3 (quantidade de pesquisas publicadas em periódicos internacionais), X4 (área total do campus) e X5 (quantidade de cursos de pós-graduação). Essas variáveis permitem uma avaliação multidimensional do desempenho e da estrutura das instituições de ensino superior.

No contexto da análise multivariada, técnicas como a análise de conglomerados (clusters) são frequentemente empregadas para agrupar universidades com características semelhantes. Nesse método, a similaridade entre as observações pode ser calculada utilizando diferentes métricas de distância, como a distância euclidiana e a distância de Mahalanobis.

A distância euclidiana é uma medida linear que calcula a distância geométrica entre dois pontos no espaço multidimensional, sendo amplamente utilizada por sua simplicidade. Já a distância de Mahalanobis leva em consideração a correlação entre as variáveis e as diferenças em suas escalas, oferecendo uma medida mais robusta, especialmente quando os dados apresentam covariâncias significativas.

Portanto, a afirmação de que a similaridade entre as observações na análise de conglomerados pode ser medida com base na distância euclidiana ou na distância de Mahalanobis está correta, conforme indicado pelo gabarito (C). Ambas as métricas são válidas e aplicáveis, dependendo dos objetivos da análise e das características dos dados.

O texto apresenta uma situação em que um analista precisa inspecionar um lote de 500 pacotes com encomendas internacionais, utilizando métodos de amostragem para selecionar uma quantidade menor de pacotes (n). O foco da questão é avaliar se a afirmação sobre a amostragem sistemática está correta.

De acordo com o enunciado, se o analista optar pela amostragem sistemática com n = 50, a seleção seria feita de 10 em 10 pacotes, e o primeiro pacote inspecionado seria, necessariamente, o primeiro registrado no cadastro. No entanto, essa afirmação está incorreta.

A amostragem sistemática consiste em selecionar elementos de uma população a intervalos fixos (k), calculado como k = N/n, onde N é o tamanho da população e n o tamanho da amostra. No caso, k = 500/50 = 10, então a seleção seria, de fato, a cada 10 pacotes.

Contudo, o primeiro elemento da amostra não precisa ser obrigatoriamente o primeiro da lista. Ele pode ser escolhido aleatoriamente entre os primeiros k elementos (no caso, entre os 10 primeiros). A partir desse ponto, os demais são selecionados somando-se o intervalo k. Portanto, a afirmação de que o primeiro pacote inspecionado será necessariamente o primeiro do cadastro está errada.

Assim, o gabarito correto é E) ERRADO, pois a amostragem sistemática não exige que a seleção comece exatamente no primeiro elemento da população.