Questões Sobre Amostragem - Estatística - concurso

O problema apresentado envolve a aplicação da distribuição binomial negativa em um contexto de controle de qualidade em uma fábrica. A situação descreve que 10% das peças produzidas são defeituosas e questiona se essa distribuição é adequada para calcular a probabilidade de a primeira peça defeituosa ocorrer exatamente na décima retirada, considerando amostragem aleatória simples com reposição.

A distribuição binomial negativa é frequentemente utilizada para modelar o número de tentativas necessárias até que um determinado número de sucessos (ou fracassos) ocorra. No caso em questão, o "sucesso" seria a retirada de uma peça defeituosa, e o objetivo é determinar a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na décima tentativa.

Dado que a amostragem é feita com reposição, cada retirada é independente e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) permanece constante em 10% (ou 0,1). A probabilidade de a primeira peça defeituosa aparecer exatamente na décima retirada pode ser calculada pela distribuição geométrica, que é um caso especial da binomial negativa quando o número de sucessos desejados é um.

A fórmula para essa probabilidade é:

P(X = k) = (1 - p)^(k-1) * p

Onde:

• p = probabilidade de sucesso (0,1)
• k = número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso (10)

Substituindo os valores, temos:

P(X = 10) = (0,9)⁹ * 0,1 ≈ 0,0387 ou 3,87%

Portanto, a afirmação de que a distribuição binomial negativa (ou geométrica, neste caso específico) é adequada para calcular essa probabilidade está correta. O gabarito C) é, de fato, o correto.

O uso da distribuição binomial negativa é apropriado para calcular a probabilidade de um determinado número de falhas ocorrer antes de um número específico de sucessos. No contexto apresentado, a fábrica produz peças com uma taxa de defeitos de 10%, o que caracteriza uma probabilidade de sucesso (peça defeituosa) como p = 0,10 e de fracasso (peça não defeituosa) como q = 0,90.

A situação descrita busca a probabilidade de a terceira peça defeituosa ocorrer exatamente na décima retirada. Isso se encaixa perfeitamente na definição da binomial negativa, que modela o número de tentativas necessárias para obter k sucessos em uma sequência de ensaios independentes. Aqui, k = 3 (peças defeituosas) e o décimo ensaio corresponde à ocorrência do terceiro sucesso.

A fórmula da binomial negativa é dada por:

P(X = x) = C(x-1, k-1) * p^k * q^(x-k)

Onde x é o número total de tentativas (10), k é o número de sucessos desejados (3), e C(x-1, k-1) representa a combinação dos eventos anteriores ao último sucesso.

Portanto, a afirmação está correta (C), pois a distribuição binomial negativa é a ferramenta estatística adequada para resolver esse problema, calculando a probabilidade de a terceira peça defeituosa aparecer precisamente na décima retirada.

A respeito de estimadores, julgue os itens a seguir.

A média amostral obtida com base em uma amostra aleatória simples é um estimador inconsistente da média populacional.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é E) ERRADO. A média amostral, quando calculada a partir de uma amostra aleatória simples, é um estimador consistente da média populacional. Isso significa que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, a média amostral converge para o valor verdadeiro da média populacional, demonstrando sua consistência.

Com relação aos planos amostrais, é importante destacar as diferenças entre a amostragem estratificada e a amostragem por conglomerados. O item em questão afirma que, na amostragem estratificada, a população é dividida artificialmente em estratos, enquanto na amostragem por conglomerados, a população já é naturalmente dividida em subpopulações.

No entanto, essa afirmação está incorreta. A principal diferença entre os dois métodos não reside na divisão "artificial" ou "natural" da população, mas sim na forma como os elementos são selecionados. Na amostragem estratificada, a população é dividida em grupos homogêneos (estratos) com base em características conhecidas, e amostras são retiradas de cada estrato. Já na amostragem por conglomerados, a população é dividida em grupos heterogêneos (conglomerados), que são semelhantes entre si, e alguns desses conglomerados são selecionados aleatoriamente para compor a amostra.

Portanto, o gabarito correto é E) ERRADO, pois a afirmação não captura adequadamente a essência da diferença entre os dois métodos amostrais.

Com relação às técnicas de amostragem de populações finitas, é importante diferenciar entre os planos de amostragem probabilísticos e não probabilísticos. O enunciado afirma que as amostragens aleatórias simples, sistemática, estratificada e por cotas representam planos de amostragem probabilísticos, o que está incorreto.

As amostragens aleatórias simples, sistemática e estratificada são, de fato, técnicas probabilísticas, pois cada elemento da população tem uma chance conhecida e não nula de ser selecionado. No entanto, a amostragem por cotas é um método não probabilístico, pois a seleção dos elementos é baseada em critérios subjetivos do pesquisador, sem garantia de aleatoriedade.

Portanto, como o item inclui a amostragem por cotas como um plano probabilístico, o gabarito correto é E) ERRADO, já que nem todas as técnicas mencionadas são probabilísticas.

Com relação às técnicas de amostragem de populações finitas, a amostragem estratificada é um método amplamente utilizado para garantir maior precisão nas estimativas. Dentro desse contexto, a alocação de Neyman se destaca como um critério eficiente para determinar os tamanhos amostrais dos estratos.

A alocação de Neyman tem como objetivo principal minimizar a variância do estimador da média populacional. Para isso, ela leva em consideração não apenas o tamanho de cada estrato, mas também a variabilidade interna de cada um deles. Dessa forma, estratos com maior variabilidade recebem um tamanho amostral proporcionalmente maior, enquanto estratos mais homogêneos recebem uma amostra menor.

Esse método é particularmente útil quando as variâncias dos estratos são heterogêneas, pois permite otimizar a precisão da estimativa final. Portanto, a afirmação de que a alocação de Neyman consiste em um critério que minimiza a variância do estimador da média está correta.

Resposta: C) CERTO

Considere uma amostra aleatória de tamanho 4: (X, Y, Z, T) extraída de uma população normal com média μ e variância unitária. A classe de estimadores E é definida como:

E = (K - 2)X - KY + (2 - K)Z + (K + 1)T

onde K é um parâmetro real. O objetivo é encontrar, dentro dessa classe de estimadores, aquele que apresenta a menor variância possível, ou seja, o mais eficiente.

Para determinar o estimador mais eficiente, devemos calcular a variância de E e encontrar o valor de K que a minimiza. Como a variância da população é unitária (σ² = 1), a variância do estimador E pode ser expressa como:

Var(E) = (K - 2)²Var(X) + K²Var(Y) + (2 - K)²Var(Z) + (K + 1)²Var(T)

Como Var(X) = Var(Y) = Var(Z) = Var(T) = 1, temos:

Var(E) = (K - 2)² + K² + (2 - K)² + (K + 1)²

Expandindo os termos:

Var(E) = (K² - 4K + 4) + K² + (4 - 4K + K²) + (K² + 2K + 1)

Simplificando:

Var(E) = 4K² - 6K + 9

Para encontrar o valor de K que minimiza Var(E), derivamos em relação a K e igualamos a zero:

dVar(E)/dK = 8K - 6 = 0

Resolvendo para K:

8K = 6 → K = 6/8 = 3/4

Substituindo K = 3/4 na expressão da variância:

Var(E) = 4(3/4)² - 6(3/4) + 9 = 4(9/16) - 18/4 + 9 = 9/4 - 9/2 + 9 = (9 - 18 + 36)/4 = 27/4

No entanto, o gabarito indica que a resposta correta é A), o que sugere que a variância mínima encontrada é diferente. Revisando os cálculos, pode haver um erro na interpretação do problema ou na expansão dos termos. O correto seria verificar se a classe de estimadores foi definida adequadamente ou se há restrições adicionais não mencionadas.

Portanto, o estimador mais eficiente dentro dessa classe, com K = 3/4, apresenta uma variância de 27/4. Contudo, conforme o gabarito, a resposta correta é A), indicando que a variância mínima pode ser outra. Recomenda-se revisar a formulação do problema ou a interpretação dos coeficientes.

O problema apresentado envolve a construção de um intervalo de confiança para a média populacional µ, utilizando a distribuição t de Student. A amostra possui 9 elementos, o que implica em 8 graus de liberdade (n - 1 = 9 - 1 = 8). O desvio padrão amostral é 1,25, e o intervalo de confiança obtido foi [14, 16], com um nível de confiança de (1 - a).

Para resolver, partimos da fórmula do intervalo de confiança para a média com variância desconhecida:

IC = [x̄ - T * (s/√n), x̄ + T * (s/√n)]

Sabemos que o intervalo é [14, 16], então a média amostral x̄ é o ponto médio:

x̄ = (14 + 16)/2 = 15

A amplitude do intervalo é 16 - 14 = 2, e cada metade da amplitude é igual a T * (s/√n). Portanto:

T * (1,25/√9) = 1

Simplificando:

T * (1,25/3) = 1

T = 1 / (1,25/3) = 3 / 1,25 = 2,4

Assim, o valor de T é 2,4, correspondendo à alternativa A).

Para resolver o problema, vamos calcular o intervalo de confiança de 95% para a média populacional µ, considerando os dados fornecidos.

Dados do problema:

• Variância populacional (σ²) = 0,81
• Desvio padrão populacional (σ) = √0,81 = 0,9
• Tamanho da amostra (n) = 144
• Nível de confiança = 95%, o que corresponde a um valor crítico Z de 1,96

A fórmula para o intervalo de confiança para a média é:

IC = [x̄ - Z * (σ/√n), x̄ + Z * (σ/√n)]

A amplitude do intervalo é a diferença entre os limites superior e inferior:

Amplitude = 2 * Z * (σ/√n)

Substituindo os valores:

Amplitude = 2 * 1,96 * (0,9/√144)

√144 = 12, então:

Amplitude = 2 * 1,96 * (0,9/12)

Amplitude = 2 * 1,96 * 0,075

Amplitude = 2 * 0,147

Amplitude = 0,294

Portanto, a alternativa correta é:

C) 0,294

No que diz respeito aos planos amostrais, é importante compreender as diferenças entre a amostragem estratificada e a amostragem por conglomerados, conforme apresentado no texto. Ambas as técnicas envolvem a divisão da população em grupos, mas os procedimentos subsequentes são distintos.

Na amostragem estratificada, a população é dividida em subgrupos homogêneos, chamados estratos. Em seguida, selecionam-se quais estratos serão amostrados e, dentro desses estratos, observam-se todos os elementos ou uma amostra aleatória de cada um. O objetivo é garantir que cada estrato esteja representado na amostra final.

Já na amostragem por conglomerados, a população também é dividida em grupos, porém esses grupos (conglomerados) são heterogêneos e representam miniaturas da população. Nesse caso, seleciona-se um conjunto de conglomerados e, dentro deles, todos os elementos são observados ou uma amostra adicional pode ser coletada. A diferença crucial é que, na estratificada, a seleção ocorre dentro dos estratos escolhidos, enquanto nos conglomerados, a seleção é feita entre os grupos.

O item em análise afirma que, na amostragem estratificada, devem-se selecionar quais estratos serão amostrados e, desses, observar todos os elementos. Essa afirmação está incorreta, pois nem sempre é necessário observar todos os elementos dos estratos selecionados – é possível realizar uma amostragem dentro de cada estrato. Portanto, o gabarito correto é E) ERRADO.