Se, em determinada fábrica, 10% das peças produzidas sãodefeituosas, então, para fins de controle de qualidade, umadistribuição binomial negativa deve ser usada na situação em que se deseja calcular a probabilidade de a primeira peça defeituosa ocorrer na décima retirada, no caso de as peças serem retiradas por amostragem aleatória simples com reposição.

O problema apresentado envolve a aplicação da distribuição binomial negativa em um contexto de controle de qualidade em uma fábrica. A situação descreve que 10% das peças produzidas são defeituosas e questiona se essa distribuição é adequada para calcular a probabilidade de a primeira peça defeituosa ocorrer exatamente na décima retirada, considerando amostragem aleatória simples com reposição.

A distribuição binomial negativa é frequentemente utilizada para modelar o número de tentativas necessárias até que um determinado número de sucessos (ou fracassos) ocorra. No caso em questão, o "sucesso" seria a retirada de uma peça defeituosa, e o objetivo é determinar a probabilidade de que o primeiro sucesso ocorra na décima tentativa.

Dado que a amostragem é feita com reposição, cada retirada é independente e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) permanece constante em 10% (ou 0,1). A probabilidade de a primeira peça defeituosa aparecer exatamente na décima retirada pode ser calculada pela distribuição geométrica, que é um caso especial da binomial negativa quando o número de sucessos desejados é um.

A fórmula para essa probabilidade é:

P(X = k) = (1 - p)^(k-1) * p

Onde:

• p = probabilidade de sucesso (0,1)
• k = número da tentativa em que ocorre o primeiro sucesso (10)

Substituindo os valores, temos:

P(X = 10) = (0,9)⁹ * 0,1 ≈ 0,0387 ou 3,87%

Portanto, a afirmação de que a distribuição binomial negativa (ou geométrica, neste caso específico) é adequada para calcular essa probabilidade está correta. O gabarito C) é, de fato, o correto.